partie du nombre à partager, par b l'excès de la moyenne

plus petite, et par c l'excès de la plus grande sur la moyeni

a reconnu que la somme St+^M"^ devait être égale à ce

bre^ et, comme ce nombre 'était représenté par a, on s

l'égalité

De là, ensuite, on est parvenu facilement à la valeur de x.

Proposons-nous encore ce problème : Trouver un ru dont le quintuple diminué de i3 soit égala son triple aug deiu

En représentant par x le nombre inconnu, son quintuple nué de i3 sera exprimé par 5^; — 13, et son triple augmenté le sera par 3a:+ii« Or, d'après l'énoncé, il faut que ces quantités soient égales ; donc on doit avoir

Sx — 13 w 3z+ II.

^Ajoutons i3 à chaque membre -de cette ^alitë^ pub retranchonsen 3xy on aura

5x — i3+iJ — 3x=3j:+h + i3 *— 3*,

. oii bien, en effectuant les réductions,

Alors, en divisant par 2, on obtient

c*estrà-dire que le nombre cherché est 12. En effet, si on 6te i3 du quintuple de 12, il reste 47 ) et si on ajoute 1 1 au triple de 12, 6n trouve encore le même nombre 47*

La question précédente ne renfermait qu'une seule inconnue, et elle n'a conduit qu^à une seule égalité. D'autres questions pourraient contenir plus d'une inconnue et donner plus d'une égalité* Mais quel que soit le nombre des inconnues, la solution de la question devra toujours offrir deux parties bien distinctes. Dans la prenûère, on exprimera au moyen des signes algébriques les relations entre les quantités connues et les quantités inconnues, ce qui mènera à égaler entre elles certaines expressions ^ et , dans la seconde , on déduira de ces égalités les valeurs des inconnues. La première partie ne peut être soumise i\ aucune règle précise; mais la deulième est assujettie à des règles générales qui font l'objet principal de l'algèbre, et dont je vais commencer Fexposilion après avoir expliqué quelques nouvelles dénominations dont rusage est continuel.

63. Lorsque deux expressions algébriques ne sont pais actuellement égales, mais qu'elles renferment une ou plusieurs quantités inconnues qu'il faut déterminer de manière qu'elles deviennent ^es, on les joint par le signe =:, comme si elles étaient actuelib:| lement égales, et l'on donne à l'ensemble des deux expressions, ^nsî réunies, le nom adéquation, .

Par exemple, désignez par xune quantité inconnue, et posex

ce 9era lî une équation. La quantité 2X'^3 étant la même chose

55 LIÇOVS D^fiflftCRg.

qae a>4-7*|*JI>*-4> ^^ reconnaît sar-le-champ qa*dle ne peat devenir égale à :r-)-7 qu^en donnant à or la valeur 4-

Lorsqu^on peut démontrer que deux expressioos ont des valeurs égales y et qu'on les joint par le signe = , elles forment une

Ainsi, en posant

on aurait une égalité : car en effectuant le produit (ar-4-i) (^ — a)>. on trouve x* — x — 2.

Si ou désigne par a, by Cyd^ quatre nombres connus en proportion géométrique, et quW écrive

ce sera encore une égalité : car il est démontré que dans toute proportion géométrique le produit des extrénies est égal à celui des moyens.

Si les deux quantités séparées par le signe =: sont égales et exprimées tout-à-fait de la même manière , elles forment une identité.

Par exemple, on a des identités quand on écrit

Qu'il s'agisse d'une équation, d'une ^alité, ou d'une identitét il est inutile d'avertir que les noms de premier membre et de second membre désignent toujours les deux quantités séparées parle signe ss.

64* D'après les définitions précédentes, quand on parle â^équationsj on doit toujours entendre qu'il y a des inconnues à trouver, et que les valeurs de ces inconnue; doivent être telles, qu'en les substituant à la place des lettres qui les représentent, les équations doivent se changer en de véritables égalités. Le mot égalité rappelle des quantités qui sont actuellement égales, mais dont réalité doit être démonUée, si elle ne l'a déjà été. Enfin Videntité est une égalité évidente d'elle-même.

Dans l'usage, on s'écarte souvent de l'acception rigoureuse des ttnats, et l'on confond l'équation et réalité. Gda tient à ce que,

LBÇOKS d'aLAÈIAB* Si

ôans les raisonnemens, on a besoin presque toujours de supposer qaé les inconnues soient remplacées par leurs valeurs ; et, comme ces Yalenrs doivent rendre effectivement les deux membres de chaque équation égaux entre eux, on conçoit que, sous ce point de YaCy les équations deviennent des ^alités.

Souvent aussi , lorsqu^on veut désigner une égalité telle que 3x4=^X6, ou {a^i)(a — i)=:a»— i, on se sert du mot identité : c'est que, par la pensée, on regarde les opérations indiquées comme déjà effectuées, et qu^alors en effet on aurait de vraies identités, ias=:i2^ ou a* — is=a* — i.

65» Déterminer les valeurs des inconnues qui sont engagées dans des équations , c^est chsrclker toutes les valeurs qui , étant mises dans ces équations à la place des inconnues, peuvent rendre ks deux membres égaux entre eux. Gela s'appelle résoudre les équations.

n soit de là qu'on peut vérifier les valeurs des inconnues, en les substituant dans les équations, et en effectuant tous les calculs indiqués dans les deux membres de chacune d'elles. Alors les équation! devront être identiques, c'est-à-dire se réduire à des identités. On dit alors que les équations sont vérifiées^ ou bien encore qu'elles s'ont satisfaites,

66. Les équations qu'on peut avoir à résoudre ne sont pas toutes également simples. Dans un très-grand nombre de cas, on les ramène à ne contenir que des termes joints entre eux par les signes -4" ^ — > ^^^^ lesquels les inconnues sont élevées à des puissances positives, et multipliées soit entre elles, soit par des quantités données. Alors, ce qu'on nomme le degré d'une équation, c'est la somme des exposans des inconnues, prise dans le terme où cette somme est la plus forte.

Ainsi, par exemple, considérons les équations

[i] 20? — a= b — Xj [2] ax — hfz=cx^-'df

[3] 2x'+a=s4^+2 [4] xj^-^2^^=jr^'^'i y

dans lesquelles les inconnues sont x et y. Les équations [i] et [2]

seront du premier degré; Féquation [3], du second; etl'équa-

d4 tion [4], du cinquième.

aii<l

Quelques principes généraux relatifs aux équations. Transposition des termes. Evanouissement des dénominateurs*

67. On peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres àHuns équationy sans que les valeurs des incon- \ nues soient altérées.

Il est évident en effet que les mêmes valeurs , qui satisfont à rëquatioii dans son état primitif, doivent y satisfaire également dans le second état, et vice versa.

68. De là il résulte qu'ow peut effacer^ dans Vun des deux membres étune équation ^ une quantité qui est "ajoutée ou retranchée à ce membre^ pourvu qu*Si récrive dans l'autre membre avec un signe contraire. Gela revient évidemment à ajouter à chaque membre de Téquation cette quantité , prise avec un signe contraire à celui dont elle est précédée dans le membre où elle se trouve.

Au moyen de cette règle, on pourra faire passer d'^nn membre dans Fautre, tels termes qu'on voudra, en ayant soin de cliânger leurs signes. C'est ce qu^on appelle la transposition des termes. Ainsi, qu^on ait Téquation

17a: — 3 = 45+1 IX.

Si on veut mettre dans le premier membre les termes qui con-* tiennent x, et les autres dans le second, on effacera -f-i ix dans le second membre , et on écrira — i ix dans le premier ^ et pareil* lement on effacera — 3 dans le premier, et on écrira -f"3 dans le second. Alors Féquation devient

17X — I ix == 45 + 3.

6g. On peut aussi ^ çans que les valeurs des inconnues en soient altérées, multiplier ou diviser les deux membres d^une équation par une même quantité, pourvu que cette quantité ne renferme aucune inconnue.

En effet,. les mêmes valeurs des inconnues doivent évidemment satisfaire à Féquation dans les deux états (^;.

(*) Il est bien entendu , sans qu'il soit nécessaire de le dire , que la quantité f>ar laquelle on multiplie ou divise l'équation n'est ni nulle ni infinie.

LEÇOKi D*ALGEB&E. 53

Mais il faut bien remarquer que la proposition pourrait cesser . d'être yraiei si la quantité par laquelle on multiplie ou on divise les deux membres contenait les inconnues : car, si cela était, certaines valeurs des inconnues, qui satisfont àFéquation dans un des deux états, pourraient n'y pas ssilifaire dans Fautre. Par exemple, qu'on ait Féquation 2x=4 j ^^ qu'on multiplie chaque membre par X — I, il viendra 2x{x — i) = ^{x — ^^i) : cette dernière équation admettra évidemment la valeur x= i , qui ne satisfait pas à la première.

70. De la proposition précédente il résulte que , si une quantité donnée est facteur dans les deux membres, on pourra simplifier Fécpiation en divisant les deux membres par cette quantité* Par exemple, si on a

27a' Ax + ï 8a^A = ga'i* — ^Sa^x ,

on pourra divber tous les termes par ga', et Féquation deviendra

36a: + 2ab = &* — 5ax.

71. Une autre remarque, qui découle immédiatement de la mime proposition^ c^est qu'on peut changer les signes de tous les termes d'une équation : car cela revient à multiplier les deux membres par — i. Il est d'ailleurs évident (82) que, parce changement de signes, les valeurs des deux membres ne font que changer de signe, et que par conséquent si elles sont égales avant, elles le sont encore après, et vice versd.

72. Mais cette proposition est surtout d'une grande utilité pour ramener une équation^ qui renferme des dénominateurs, à n'avoir plus que des termes entiers. On obtient sur-le-champ cette trans* formation en multipliant les deux membres par une quantité qui soit divisible par chaque dénominateur de Féquation. Alors, eu effet, chaque terme fractionnaire contiendra dans son numérateur tons les facteurs de son dénominateur ; de sorte qu'en les supprimant, la division indiquée par ce dénominateur se trouvera effectuée, et il n'y aura plus que des termes entiers. Quant à la quantité par laquelle on multiplie Féquation, il convient de choisir toujours la plus simple possible, comme on le fait dans la réduction desfractiens au même dénominateur. De là résulte la règle suivante :

Pour chasser ks {Unominateurs d'une équation, on forme une

$1 tstùoiê d^algIbre;

quantité ^i soit divisible par chaque dénominateur^ ei ordinairement on la prend la plus simple possible ; on multiplie e/isuite chaque terme entier par cette quantité, et le numérateur de chaque terme fractionnaire par le quotient que donne cette qutmtité divisée par le dénormnSieur s puis on supprime tous les dénominateurs.

Gomme exemple, prenons d'abord Fëquation

ax , à . 5x b 3 2

Ici la quantité la plus simple qui soit divisible par les différeus dénominateurs n'est autre que leur produit. Alors la règle revient à multiplier le numérateur de chaque fraction par le produit des dénominateurs des autres^ et chaque terme entier par le produit de tous ces dénominateurs. De cetlé manière il vient

ouy en effectuant les multiplicalionS|

6ax — 6b* = aab + i5bx.

En second liçi, soit Fëquation

^ ^^ a^x ^^ 3a' bx

La quantité la plus simple qui soit divisible par les dénominateurs est 36a6', et les quotiens sont 2a, ga^, 4^'* 1^ faudra donc multiplier les numérateurs des fractions par ces quotiens, et le terme entier Sa par 36a6'. On a ainsi

5a X 36aô» + a^x X aa = 3a» X gaô -- bx X 46* J et, en effectuant les produits,

i8oa*À' + 7,a?x = a/a^ô — l\h^x* Soit encore IVqnation

- ax a*x 3a'b

^b'^Trr

6b ab+b^ aa*— 2^»' En décomposant les dénominateurs en facteurs, ils deviennent

Liçom D^ALoàiiit. 55

et oni Toit qae la quantité la plus simple qui pniist le dttiser jMur cbacun d'eux, est 2.3.6(a-4-6)(a — b) ou 60*6— 6&'« Les qoo* ticna font

par coDsëquent, pour chasser les dénoininatears de Péquation, je multiplierai les numérateurs des fractions par ces quotiens, et le terme entier ab par la quantité 6ab^ — 6b^. Alors il yient

i2a&' — laM — a^x + ab^x = Ga^x-^Sa^bx — ga'i*.

73. Ce qui a été dit dans ce paragraphe est applicable à toute etpèoe d'équation, et suffit pour résoudre celles du i«' degré.

Bésolulion dune équation du 1*' degré a une seule inconnue*

74« La difficulté de résoudre les équations dépend de leur degré et du nombre des inconnues. Je yais parcourir ici , dans différens exemples^ tous les cas que peut présenter une équation du i*' de* gré à une seule inconnue.

ExxMPLB I. Soit Féquation [i] i8jî— 6iŒ i3a:— Si.

En transposant i3j: dans le premier membre, et -—61 dans le second, on aura

et , en effectuant les réductions ,

Sx ssi 3o.

Enfin , en diyisant les deux membres par 5, on obtient

De là on conclut que Tinconnue x est égale à 6. Et en effet remarquez que , d'après les principes des n**« 68 et 69 , les équations successives par lesquelles on est passé doivent admettre les lûêmes valeurs de x que Féquatiou [i]. Or il est évident que la dernière, xssôj est satisfaite en mettant 6 à la place deor, et qu'elle Ae peut pas l'être autrement; par conséquent il eu doit être de

&6 LÈÇ0N9 B^lLOisBRE*

même de réquation [i]. Ce raisoùnemènt s^applique à tous le» exemple qui vont suivre.

Pour yérifier si les calculs ont été faits ayec exactitude, on sub* stituera la valeur de x dans Féquation , et on examinera si elle la rend identique. Cest eiFectivement ce qui arrive ; car on trouve successivemment

108 — Çi = 78 — 31,