Exemple Y. Soit Féquation
Gomme Tinconnue x est engagée dans les dénominateurs , on ne voit pas comment tirer de cette équation la valeur de Xy si on ne les fait pas disparaître. Mais en les chassant, il vient
2 + 2a: + .i— a:*=j: — x* y puis, en transposant et réduisant ,
Remarque. Les règles pour chasser }es dénominateurs sont fondées sur le prin^pe du n*^ 69 , lequel peut cesser d'être vrai quand rinconnue se trouve dans la quantité par laquelle on mul-* tiplie ou on divise Féquation. Or, Tévanouissement des dénominateurs revient à multiplier toute Féquation par un produit divisiUe par chaque dénominateur 3 par conséquent, lorsque Finconnue entre dans les dénominateurs, et c'est ce qui arrive à Féquation [5], il y a lieu d'examiner si toute valeur de x qui satisfait à Féquation, ayant la disparition de ces dénominateurs, y satisfait encore après, et vice versé.
Afin de n'effectuer que des changemens qui n'altèrent point
riaconnuey transportons le a* membre dam le i*% et réduisons tout aa même dénominateur ; il vient
Si on ^^e le numérateur à zéro, on a x=: —3 y c'est la valeur trouvée plus haut, et elle convient véritablement à Téquation ci-dessus, car^ en la substituant à la place de Xj le i'*^ membre devient ^al à zéro. Il est évident d'ailleurs qu'aucune autre valeur ne le rendrait ^al à zéro^ ainsi, dans ce cas , on peut ne tenir aucun compte du dénominateur.
U n*en est pas toujours de même : car, dans certains cas , une valeur qui rend nul le numérateur d'une fraction peut aussi rendre nol son dénominateur, et alors la fraction peut n'être pas nulle. Je reviendrai plus tard , avec quelques développemens , sur cette observation, et en même temps je parlerai des valeurs infimes dont j'ai fait abstraction jusqu'ici. Voyez le Chap» V.
7g. Laissant pour le moment ces difficultés de c&té , je résumerai toutes les explications dans lesquelles je suis entré, au sujet des équations du i" degré , dans la règle suivante :
I* Chassez les dénominateurs, s'ilj- en «, et effectuez lesopérations nécessaires pour que V équation ne contienne plus que des termes multipliés par f inconnue , et des termes tout connus,
2* Transposez dans le i*' membre les termes affectés de V inconnue j et dans le 2* les termes tout connus ^
3* Donnez au i«' membre la forme d^ un produit dont. Pinçon'* nue soit Fun des facteurs y et alors divisez les deux membre» par k multiplicateur de cette inconnue.
Le lecteur qui voudrait dès à présent s'exercer à la résolution
les problèmes peut se transporter à la page 7 1 ^ et suivre ensuite
Ul i^ttqu'au problème de la page 7g.
Résolution de deux équations du 1^' degré à deux inconnues,
80. Quand on a à résoudre deux équations du i^' degré, qu i ^ntieiinent deux inconnues , le moyen qu'on emploie consiste iflil fOQcqpalement k éliminer l'une de ces deux inconnues, c'est-i*
6o LEÇONS D^ALGàBRE.
dire, à déduire des deux équations données une noiivelle équation qui ne renferme plus cette inconnue,, et de laquelle on puisse tirer la valeur de l'inconnue restante. Plusieurs méthodes peuvent être employées pour efifectuer cette élimination : je vais les exposer successivement.
8i. PfiEMiERE MÉTHODE, dans laquelle V élimination est faite par coHFAAAison. L'explication sera plus facile en prenant un exemple. Soient les deux équations
[2] ay + 5x = 22 .
Supposons pour uù moment qu^on soit assuré qu^D existe deux nombres qui, mis à la place de x et de ^, satisfassent en même ' temps à ces deux équations, et considérons a: et 7* comme représentant ces nombres eux-mêmes : alors on pourra raisonner sur ces équations comme si elles étaient des égalités actuelles. Or ces équations donnent
et comme ces valeurs doivent être égales, on a
Yoici donc une équation du i®' degré à laquelle Finconnue x doit satisfaire^ et par conséquent on en pourra tirer la valeur de cette inconnue. Par les procédés établis dans le paragraphe précédent,
n* 74> ^^ Ai^^
En mettant cette valeur de x dans une des deux expressions de j^, qui sont écrites plus haut , on connaîtra la valeur de cette inconnue. Il est d'ailleurs évident qu'en faisant cette substitution dans Tune ou dans l'autre, on doit trouver le même résultat : car la yalçur de xi ayant été déduite de Féquatioo [S] , doit rendre
LEÇ0H8 D'aLGEBBS. &1
idmliqaes lei deux membres de cette équation, lesquels sont précisëment les deux expressions de y dont il s*agit. La substitution étant iaite dans la première, il Tient
Ainsi les Taleurs des deux inconnues sont
Par la manière dont ces valeurs ont été trouvées, on est certain qu'elles conviennent aux deux équations données. En effet, elles conviennent évidemment aux deux équations [3] et [4] ; et comme edles-ci^ en chassant les dénominateurs et en transposant dans k premier membre les termes en x, ramènent aux proposées [i] et [a] y il s^ensuit que les valeurs de or et de 7- doivent aussi satisfidre à ces équations.
Cette dernière remarque était nécessaire : car, pour arriver aux valeurs j:=:2,,7*=6, on a supposé qu^il y avait des valeurs de x et de jr qui vérifiaient les deux équations données, et rien ne prouvait que cette supposition fut vraie. Il restait donc encore à examiner si les valeurs trouvées, pour x et ^, satisfabaient réellement aux deux équations.
* Dans cette vue > on aurait pu substituer ces valeurs immédiatement dans les équations, afin de -voir si elles les rendent identiques. Cest en effet ce qui a lieu : car, par cette substitution , la première devient
3x6 — 7Xa = 4> ^^ 18 — i4==4> ou4 = 4î et la seconde, 2X6 4-5X2 = 22, ou 12 + 10 = 22, ou 22 = 22.
Toutefois on doit comprendre qu'une pareille vérification ne prouve rien pour le c«'is où Ton aurait d'autres équations à résoudre 5 par conséquent une démonstration^ fondée sur le procédé même qui sert à trouver les valeurs des inconnues, était indispensable pouif prouver que ces valeurs doivent toujours satisfaire équations.
B% LBÇOirf D^LLGÈBRE.
• 82. DiuxilocE MifTHODÈ , dans laquelle réliminaiion est faite par SUBSTITUTION. Reprenons les deux équations
et considérons toujours x d y comme représentant deux nombres qui satisfont à ces équations. De la première, on tire
On peut donc , dans la seconde équation , remplacer j^ par cette yaleur^ et cette équation, ne renfermant plus alors que la seule inconnue x sans cesser d'être du i""" degré, servira à déterminer cette inconnue. La substitution donne
et de cette équation on déduit successivement
il^x + 8 + i5j: = 66 , 29X = 58 ,
Cette valeur étant mise dans celle de j*, qui a été tirée de la première équation, ou trouve encore
On a donc, pour x et j-, les mêmes valeurs que tout-à-Pheure, Mais il. faut s'assurer que ce nouveau procédé doit toujours donner des valeurs qui conviennent aux équations proposées.
Remarquons d'abord que la valeur j^=6 ayant été trouvée en faisant j:=2 dans l'équation [8], il s'ensuit que les valeurs a:=2, r=6, doivent satisfaire à cette équation. Or, en multipliant par 3 et remettant 7^ dans le premier membre, cette équation devient l'équation [6]^ donc déjà les valeurs x =2,^^=6, satisfont i Féquation [6].
Ensuite , la valeur :r=6 doit vérifier Féquation [g] d*oii elle est déduite. Mais, dans cette équation , la fraction qui est mvlti-»
LEÇONS D^ÀLftàllK. 63
pliëe par a^ n^étant antre chose que le deuxième membre de réqaatlon [8], doit devenir égale à 6 quand on remplace x par a ; donc il revient tout-à-fait au même de faire j:a=a dans Téquation [g], ou bien de faire x=^2. et ^=6 dans Féquation [7] ; par conséquent cette dernière se trouve aussi vérifiée par les valeurs
83* Teoisiève méthode, dans laquelle rélimmation est faite par BiDUCTioir. Il faut d^abord, par des préparations convenables, amener chacune des deux équations à la forme
Alors on voit que si, dans les deux équations^ Tune des inconnues avait le même coefficient, on ferait disparaître cette inconnue en retranchant| membre à membre, les équations Tune de l'autre, ou bien en' les ajoutant, selon que les termes qui contiennent cette inconnue seraient de même signe ou de signes contraires. De cette manière, on formerait une nouvelle équation qui ne renfermerait plus que Fautre inconnue, et on en pourrait tirer la valeur de cette inconnue. Or, il est évident qu on amènera toujours une inconnue à avoir le même coefficient dans les deux équations > en multipliant les deux membres de chaque équation par le coefficient dont cette iaconnue est affectée dans Tautre équation : ainsi, voilà un nouveau moyen de résoudre les deux équations. Pour exemple, reprenons encore les équations
Si on veut d'abord connaître or, on multipliera les deux membres de la première équation par 3 , coefficient de jr dans la seconde, et les deux membres de la seconde par 3, coefficient de j* dans la première. Par ces multiplications il vient
(àj + i5a: = 66;
et eu retranchant ces équations l'une de l'autre, membre à mem-
bre, on a
agx = 58, d'où jp rs a.
Pour avoir y^ on pourrait substituer cette valeur dans Tune
-64 LEÇOICS D*ALGEBRÈ.
^des deux équations proposées. Mais si on veut trouver^ par le même procédé que ir, on multipliera la première de bes équations par 5, coefficient de x dans la deuxième, et la deuxième par 7, coefficient de x dans la première. Par là^ elles deviennent
i5/ — 35:c = 20, i^jr + 35a: = i54 ;
puis en ajoutant celles-ci, membre à membre, on a
297^=174^ d'où j^&.
On retrouve donc encore les mêmes valeurs, x=7, et j'=6, que par les deux autres procédés.
Cette troisième méthode est , comme on voit, assez simple ; mais il importe, comme dans les deux précédentes, de faire voir que les valeurs de x et de j*, auxquelles elle conduit, ne peuvent pas manquer de satisfaire aux deux équations. Gomme ceci exige des explications qu^il serait difficile de suivre sur des équations particulières , je représenterai les doux équations d'une manière sénérale par
Cela posé, si on les multiplie respectivement par des nombres quelconques m et n, et qu'ensuite on les ajoute, on a mAr^nA' =mB-^nB' j et je vais montrer quW peut remplacer par cette équation l'une des deux proposées, la deuxième, par exemple : c^est-à-dire que les deux équations [a] ont absolument les mêmes solutions que celles-ci
>-^J • \m^ + nA' =zmB + nB'
En effet, si de la dernière on retranche le produit de la précécédente par m, il vient i2-^'r=/2-5', ou, en divisant paru, A'=iB'. Donc, de même que le système des équations [^] est une conséquence du système [a], réciproquement le système [a] est une conséquence du système [by Donc les valeurs de x et de ^ qui conviennent au dernier ne peuvent pas manquer de convenir aussi au premier. Or, si les multiplicateurs m et ti sont ehoiaisy comme on le fait dans la 3** méthode^ de manière que réqua*
LEÇOUS D^ALGEBMt. 65
don mA'\»nA'^s^mB'\'nB' ne contienne plus j*, 5I de cette éqoaUon on tire la valeur de x^ et si on la substitue dans Téquation ^=^ pour en tirer ensuite la valeur de j*; il est évident qu^on aura ainsi des valeurs de x et de j* qui conviendront aux équations [6] : donc elles conviendront aussi aux proposées [a].
Maintenant il faut encore justifier le procédé dans lequel on calcule la secondç inconnue de la même manière que la première. Supposons, à cet effet, qu^après avoir déduit des équations \a\ , Téqaation mA'\'nA'=mB'\'nB' ^ on les multiplie de nouveau par d'autres nombres mf et nf^ et qu'on les ajoute encore. On aura une nouvelle équation nil A'\'n' A' ^s-w! B'\'n' B' \ et je dis qu'on peut aussi considérer les équations \a\ comme des consé* qnences de relles-ci
mA + nA' = m'B + nt? , m'A + n' ^' = w!B -f n'B'.
Pour le montrer, multiplions ces dernières respectivement par n' et R, pais retranchons-les l'une de Tautre : A' et B' disparaissent^ et il Tient
{mnf '^nmf)A=i{mn' '^nm')Bj ou A^=^B.
Pareillement, en multipliant les équations [c] par mf et m, et en retranchant la première de la seconde, il vient
{mn' — nm!)A^ — {mnf — nrnf )fi', ou A' m B' .
Ainsi, les deux systèmes [a] et [e] sont réciproquement une conséquence Tan de Fautre. Or, on peut choisir les multiplicateurs m, H, m', n' de telle sorte que la première équation [c] ne renferme plus j*, et que la deuxième ne renferme, plus x, 11 est donc évident que les valeurs qu'on en tire immédiatement, pour x et^% )rt| Vivent convenir aux proposées. C'est ce qui restait à démontrer. r t| 84. Remarques. J'ai supposé qu'on obtenait les équations [r] par voie d'addition. Cette manière d'opérer comprend celle où ] \ fon emploierait la soustraction : car si, par exemple, après avoir iel BuilUplié les équations [/7] par 771 et ti, on voulait retrancher la 2* ve4 '^k I'*, cela reviendrait évidemment à les ajouter après les avoir oîs| ooltipliées par m et — n.
I^ai wm fupposé tacitement que mnf^nm' a^était pas léro. Si
es LEÇONS D*ALGÈBRE»
cela était, les éqaations dans lesquelles la quantité mnf — nm^ était \ facteur des deux membres, se réduiraient identiquement à 0=0, i et Ton n'en pourrait plus conclure ^^=-5, A'^B'. Il suit de là j qiic, pour remplacer les équations [a] par les équations [c], il faut j choisir m, n, m',7i'de manière qu'on n'ait pas mn' — fw/=o, ou,
oe qui est la même chose, — = -y : c est donc à dire que les
nombres m et n ne doivent pas être proportioiAiels à mf et n'. Or, quand on fait l'élimination par réduction (83), on prend pour m et 71 les coefficiens de j^ dans les équations proposées, et pour . m^ etnf ceux de x : si donc les coefficiens de x sont proportionnels à ceux de j-^ la méthode semblera en défaut. Cette difficulté '■ sera- éclaircie plus tard ( 1 3 1 ) . ^ ,
L'opération par laquelle on rend égaux les coefficiens de Fin* j connue qu'on fait disparaître est parfaitement analogue à la ré- ^ duction des fractions au même dénominateur, et elle présente les mêmes simplifications. Par exemple, si les équations étaient
2ij^ + 2oar= i65, 77.r — 3oa: = 2g5 ,
Mmme les coefficiens de y se décomposent en 7X3 et 7X1 1 9 on les rendrait égaux en multipliant les équations respectivement par 1 1 et par 3. Semblablement, ceux de x deviendraient égaux en multipliant les équations par 3 et par 2.
Les deux premières méthodes amènent le plus souvent des dénominateurs qu'il faut faire disparaître. Cet inconvénient n'a pas lieu dans la troisième ; et même il est à observer qu'avec un peu d'habitude on pourra, quand les coefficiens seront peu compliqués, effectuer d'un seul coup, comme si c'était une opération unique, et les multiplications qui réduisent à l'égalité les coefficiens d'une inconnue, et l'addition ou la soustraction qui fait disparaître cette inconnue.
Quelque méthode qu'on emploie, il est clair qn'^prèç l'ëlimina* tion d'une inconnue, l'équation résultante doit toujours donner la même valeur pour l'inconnue restante. Il suit de là que n^ en £siisant usage d'un procédé d'élimination, on ramène réquatiom «r résultante à la forme ax^^b^ attb étant des quantités oonnaes^ - ^j
LEÇONS D'ALCiEnS* 67
on sera sàr que tont antre procède donnera oa la même ëqoation, iia une équation qui ne di£fërera de ceUe-Ià que par un fiictenr eommun à ses deux membres : autrement , on n'aurait pas la Bkème yalenr pour x.
SéfoUitionxrun nombre quelconque d'équations dui*' degré, contenant
un pareil nombre d'inconnues,
85* Soient les équations [i] 4a: — 3j'4-2z = 4o,
[a] 5x + giy — 7^ = 47»
Par Tune des trois méthodes connues, on pourra éliminer Tineonnae z entre la première équation et chacune des deux autres. Si on emploie l'élimination par réduction, il vient sur-le^hamp
[5] . 3oa:4-7/ = 3i4.
LesYalenrs de a? et de^ devront satisfaire à ces deux équations. et par conséquent on saura les déterminer.
Si entre ces deux équations on élimine j-, toujgurs par réd tbn, on trouve
356a: = 356o, d'où a: = lo.
En mettant cette valeur dans Féquation [4]> on aura
^1 38o •— Sj- = 874 , d'où j* = 2.
^1 Enfin, en portant les valeurs de x et dej- dans l'équation [i],
I ona ^°| 4^ — 6 + 2z = 40, d'où z = 3.
Donc les valeurs des trois inconnues seront a:= lo, j^=2, z=3.
n est bien évident que ces valeurs sont les seules qui puissent HdBiaire aux trois équations proposées ; mais est-il certain qu'elles Satisfassent? Pour s'en assurer, il faut observer que, par la maaûl*'^ dont ces valeurs ont été trouvées, on est sur qu'elles doivent aii|<nUûre aux équations [i], [4]» [5]* Mais, d'après ce qui a été
exposé n^ 83, Tëquation [2] est une conséquence des équations [i] g, et [4]*; et l'équation [3] est une conséquence de [i] et [5] : donc les valeurs de *, jr, 2, qui vérifient les équations [i], [4], [5], ne peuvent pas manquer de vérifier aussi les équations [i.], [2], [3]«
86. En généralisant le procédé qui vient d'être employé pour '4 trois équations, on peut établir la règle suivante :
Pour résoudre plusieurs équations du i*' degré en nombre égal aux inconnues j éliminez une inconnue entre l'une de ces "^ équations et chacune des autres .- vous aurez ainsi de nouvelles équations^ qui renfermeront une inconnue de moina^ qui seront, '. en nombre égal à celui des. inconnues restantes j et qui seront \ encore du 1" degré. Opérez sur ces équations comme sur les proposées^ c^est'à-direj éliminez encore une inconnue entre Vune de ces nouvelles équations et chacune des autres. En continuctnt '■ toujours de même ^ vous parviendrez à une équation du 1*' degré J qui ne renfermera plus qu'une seule inconnue, Alors^ de cette c dernière équation vous tirerez la valeur de cette inconnue ; puis , remontant aux équations précédente^ j vous déterminerez successivement les valeurs des autres inconnues.
87. Quand on apercevra des facteurs communs à tous les termes d'une équation, il ne faut pas oublier de les supprimer : par là on rendra les calculs plus simples. Soient , par exemple , les équations
lox — 20^ -)- 3o« = 60 ,
On voit que la i'* peut se diviser par 10, la 2* par 4, et la 3* par g. Eu conséquence , au lieu des équations ci-dessus , on aura à ré« . foudre les suivantes :
3a: — 2jf 4" 5^ =5 26. e-^
L'élimination de Xj entre la i'* de ces équations et lesdevs^'^ autres, donne ces deux* ci
^^^,oz=:8, 5^
LEÇOHS D*ALOBBBI. (Jg
00 bien, si on simplifie la dernière en la divisant par 4 ,
2r — loz = 8, j— z =2.
L'âimination de^ entre celles-ci donne
3z = 6, d'où z = a.
On substitue cette valeoi* dans l'équation j* — 2=2, et il vient
^ — 2 = 2, d'où j- = 4-
Enfin on met les valeurs de j- et de z dans l'équation x— 2x+3z s6| et l'on a
X— 8 + 6=6, d'où a: = 8.
88. Un cas doit être prévu ici parce qu'il embarrasse quelquelois les commençans : c'est celui où toutes les inconnues n'entrent |il dans chacune des équations. La méthode ne change pas pour cda; seulement il y aura quelques éliminations de moins à cffBCtuer*
Comme exemple, prenons les quatre équations
3m-|- i4x= 57, iq^.-. 3a:= II ,
U est visible qu'en éliminant l'inconnue u entre les deux preaieres, l'équation résultante ne contiendra que les deux incon«naes a: et z; par conséquent, en la joignant à la dernière, on aura leox équations qui feront connaître ces deux inconnues. Ces deux estions sont
2'X — iiz =5o.
Ponr éliminer x, multiplions la dernière équation par 49> ^^ re« tranchons-la de la précédente, il vient
5782 = — 23i2, d'où 2= — 4- Substituons cette valeur dans l'équation 2x — i i2=5o, on a
rt
On voit par là que les conventions de Talgèbre constituent une Tdritable langue , dans laquelle on peut traduire Fënoncé d^un problème, et représenter avec la plus exacte fidélité toutes les relations de grandeur qu^ont entre elles les quantités connues et les quantités inconnues. Etablir ces relations par des équations, cela s^appelle mettre le problème en équation^ ou le traduire en langage algébrique. Les réflexions précédentes serviront de guide pour y parvenir.
On peut aussi les réduire à cette règle générale : Aprhs avoir choisi la quantité ou les quantités qiion prend pour inconnues, on les représente par des lettres; puis on indique ^ à Vaide des signes algébriques , les opérations qu'il faudrait effectuer pour vérifier les valeurs des inconnues^ si elles étaient données.
Mais , pour bien comprendre toute Futilité de cette règle , les commençans doivent rappliquer à un grand nombre d^exemples ^ et bientôt, par cet exercice, ils acquerront une sagacité qui leur tiendra lieu de préceptes.
Souvent une question, qui- au premier aspect présente plusieurs inconnues, se résout cependant avec un nombre moindre d^inconnues, et quelquefois même avec une seule. Ce dernier cas, païuexemple, arrive quand on reconnaît tout d* abord que Tune des inconnues étant trouvée, les autres pourraient s^en déduire immédiatement par des opérations très simples, par une addition, par une soustraction, etc. C'est ce qu'on verra dans quelques uns des problèmes dont je vais développer les solutions.
exemples de problèmes a une seule inconnue,
92. Problème I. Trousser deux nombres dont la somme soit égale à 36, et la différence égale à 10.
Je prendrai pour inconnue le plus grand des deux nombres cbercbés, et je le désignerai par x. Puisque la différence des deux nombres doit être 10, le plus petit sera désigné par a: — 10 5 et comme la sonune de ces deux nombres doit être égale à 36^ on posera Téquation
» ' « + a: — xo s=5 36.
LECOHS D*ALCEBEC.
Elle revient à celle-ci 2x = 4^ 9
d'où
Doncle plus grand des deux nombres est 23, et par suite le plus petit est 23—10 ou i3. En effet, on a 23+13=36.
SoLunoir générale. Le problème peut s'énoncer généralement en ces termes: Trouver deux quantités dont on connaît la somme et la différence.
Ici il y a deux quantités connues qui doivent rester quelcon* qiics, et il faudra aussi les représenter par des lettres. Je dési'gneràî par a la somme donnée, par b la différence, et toujours par X la plus grande des quantités cbcrcbées. La plus petite s'exprimera alors par X — bj et l'équation du problème sera
X '\' X — b -==■ a ^ ou bien ix = a + ^ j
doBc
Yoid Fexp^ession de la plus grande partie. Il faut en retranchera
pour avoir l'autre partie, et il vient
- « + /> , rt + ^ — 2^ a — h
X— ©"rs— ï ^ = — ^! = .
Ainsi , pour calculer les deux quantités inconnues , on a les
formules
Elles peuvent aussi s'écrire de cette manière
' et sous cette forme elles font voir que, quand on connaît la somme et la différence de deux quantités , la plus grande est est égale à la demi-somme plus la demi-différence j et la plus petite est égale à la demi-somme moins la demi-différence.
Supposez que la somme connue soit 36 et que la différence soit 20 : on aura
la plus grande quantité = ^ 1
et la plus petite .•••••=; — — — = 18 — 5 = i3.
74 LEÇONS dVlgÈBRI.
Ces valeurs sont celles qui conyiennent à Tënoncé particulier qui a été proposé d'abord,
93. Problème II. Dçux fontaine^ versent uniformément leur eau dans le même bassin y et Von cqnnaît le temps que chacune , coulant seulcy met à remplir ce bassin : on demande combien de temps il leur faudrait pour le remplir j si elles coulaient ensemble.
Je représente par a le nooibre d^heures quUl faut à la première fontaine» coulant seule, pour remplir le bassin ; par 6, celui qu^il faut à la secopde ^ par x , celui qu^il faut aux deux fontaines coulant ensemble.
Pour vérifier le temps x^ s^il était donné, je chercherais la partie du bassin que remplit la première fontaine pendant ce temps ^ celle que remplit la seconde pendant ce même temps ; et les deux parties réunies devraient donner la capacité entière du bassin.
Or, en prenant cette capacité pour unité, les parties de cette capacité, que fournissent les deux fontaines dans le temps x^ sont les quatrièmes termes des proportions
donc, puisque ces parties réunies doivent donner le bassin entier, on aura Féquatiôn
a b Si on chasse les dénominateurs, il vient
ôx+fla?=sfir^, d'où a: =
Pour prendre un cas 'particulier, supposons que la première fontaine mette i^\ à remplir le bassin , et que la ^conde mette , 2*^. Il faudra, dans la valeur de x, faire a = 17 et 6 = 2{. Alors cette valeur devient
,. 'TXaj |Xf a7 9
g4» Problème III. Un père ordonne par son testament que Vaine de ses enfans prendra^ sur le bien qu il leur laisscp une sommt a
plus la n"* partie, du reste ; que le second prendra^ après que Tàiné aura prélevé sa pnrtj une somme 2a plus la n"** partie du reste; que le troisième prendra^ après le prélèvement de ces deux parts j la somme 3a plus la n"* partie du reste ; et ainsi de suite • Or^ il arrive que tous les enfans se trouvent ainsi également partagés et que le bien du père est tout'à^fait épuisé. On demande quel est le bien du père y la part (/e chaque enfant y et h nombre des enfans.
Si le bien du përe était connu, on pourrait aisément former {a part da 1** enfant, et puisqu'ils sont également partagés, elle lerait celle de tous les autres. Ensuite, en divisant le bien du père par cette part, on aurait le nombre des enfans. Cest pourquoi je prendrai pour inconnue le bien du père.
Si cette inconnue était donnée, pour la yérifier,^ on formerait la part de chaque enfant, diaprés la loi qu^indique Fénoncé; et quand on arriverait à celle du dernier enfant, le bien du père devrait être entièrement épuisé, et toutes les parts devraient être ^les. Mais il est évident que la seule condition d'égalité entre la i" part et la a* suffira pour déterminer la valeur de l'inconnue^ il restera donc encore, après l'avoir trouvée, à examiner si les antres conditions sont remplies.
Comme la solution du problème, considérée dans toute sa généralité, pourrait paraître trop difficile, je l'expliquerai d'abord sur les nombres particuliers. Par exemple, je supposerai que le premier enfant prenne sur le bien du père une somme de loooyr., plus le 5* de ce qui reste; que le deuxième enfant prenne ^ après jue la première part aura été prélevée ^ une somme de 2000 Jr,j plus le 5* du reste ; ainsi de suite.
Soit jc le bien du père. Après avoir prélevé 1 000 fr. le reste estx-«»iooo; par conséquent la part du i" enfant est
1 000-1 = ou ' — ^-! — •... r'part.
Eo 6tant cette part du bien total Xy il reste à partager entre les antres enfans
jp *•■ I ou I j •
Sur cela le gt* enfant doit prendre 2000 £p. plus le 5* du reste. Or, après avoir pris 2000 fr., le reste est
4jp — 4ooo kx — i4ooo
•i rr^ 2000 OU =— î ;
par conséquent, en ajoutant a 2000 le 5* de ce reste, on aura la part du 2" enfant, savoir :
, Ùlx — * i4ooo 36000 + 4^ e
2000 + -i- =-ï ou ■ • • . • 2 part.
Sans s'occuper des autres enfans, on peut des à présent former Téquation du problème. En effet, Ténoncé indiquant quHls sont tous également partagés , il faut que les deux premières parts soient égales ; et de là résulte Téqualion
P - [\o^o -4- X 36ooo + 4^
En chassant les dénominateurs, il vient
20000 -f- 5a: = 36ooo + 4^ , d'où X = 16000.
Si on remplace x par cette valeur dans l'expression de la i"' part, on aura la valeur de cette part
4ooo + .16000 , ^ = 4000 5
et, puisque toutes les parts doivent être égalés, en divisant le bien du père par cette part, le quotient 4 sera le nombre des enfans.
Donc le bien du père = 16000 ,
la part de chaque enfant = 4^^^ 9
et le nombre des enfans = 4* Il se présente ici une observation importante. La valeur de x a été déduite de Féquation [1], qui exprime seulement Fégalité de la 2' part à la 1'* : il reste donc encore à examiner si les deux autres parts lui sont aussi égales. Or, en défalquant de lliéritage "^ entier les deux premières parts, qui font ensemble 8000, il reste 8000 fr.; et, sur ces 8000 fr., le 3^ enfant doit prendre 3ooo fr..
plus le 5* du reste : donc il aura ^
, , 8000 — 3ooo 20000 . 0000 -}- =s ■■ ^ ■< =t 4^00. i:
Ensuite, cette part étant 6tëe de 8000 fr., ii reste 4ooo fr., sur quoi le 4* enfant doit prendre 4ooo fr. et le 5* du reste. Il aura donc aussi 4000 fr., et l'héritage sera épuisé. Ainsi toutes les yérifications sont satisfaisantes.
Exposons maintenant la solution générale. En nommant toujours X le bien du père, on aura
i part s=s a H :
etj après le prélèvement de cette part, ce qui reste du bien est
a: — a — — ou i.
Par suite, on aura
o* «o^» o^ l (/^-- 0(3? — a) —2an 2 part =s 2a -f- .
Donc, en égalant la 1'^ part à la 2*, on aura l'équation
+ x — a . (/2 — 1) (a: — a) — ^an
Après Févanouissement des dénominateurs, elle devient celle-ci an* -f* nx — a/i = 20/1* -f-na: — x — a/i + a — 211/1,
d'où le bien du père x = an* — 7,an + a ,
ou, autrement, x = a (/i — i)'.
An moyen de cette valeur, on peut calculer la i^'^ part, qui sera aussi celle de chaque enfant. On a donc
,, ^ .X — a . on* — 25w+a — a part dun enfant=a -4 = a-4
= a + ''w ■"• 2a = fl (/i — i)#
Enfin^ en divisant le bien total par cette part , ou trouve
le nombre des enfans = 71 — - 1 •
Mais Fobservation faite plus haut se reproduit ici. Par la manière dont on a établi Téquation du problème , on est bien sûr que la 2* part sera égale à la i'*j mais il reste à vérifier s^il en est de même de. toutes les autres.
Du bien enûtra^n — i)* 6tez la pan du i^ enCaiiii;, il reste
La part du 2*^ enfant sera donc
Elle est ëgale à la première, ainsi qu'on devait s y attendre. Du bien entier 6tez les deux premières parts, il restera
a(71 — l)» — 2a(7ï— ,l) = û(7l — i)(n 1 2)=a(7l l)(fl 3).
Par suite^ la part du 3* enfant sera
a(n — i)f7l — 3) — Za a{n — i) (/i— 3)4"3û(« — i)
oa + ■ = ■
Elle est égale aux précédentes, et par conséquent le reste du bien, en défeJquant les trois premières parts, sera
a{n — 1)' — 3a(/i— i)-=ra(7i — i){n — i — 3)=a(7i — 1)(«— 4)«
En continuant ainsi , on voit clairement que les calculs s'effectueront toujours de telle sorte que toutes les parts seront ^ales à a(n — 1). Par conséquent, il est clair aussi qu'après avoir formé 72 — I paris f le bien sera totalement épuisé : car la somme . de toutes ces parts sera a {n — i) X (1 — i)? on a {n — !)•, ce ^ qui est la valeur du bien à partager.
Il peut se faire qu'on éprouve de la difficulté à comprendre que les calculs doivent toujours amener des parts égales^ mais en >^ calculant encore quelques parts, les lois selon lesquelles s'effec- ^ tuent les réductions ne pourront point échapper. Au reste^ voici un raisonnement qui ne peut laisser aucun doute.
Admettons qu'après avoir calculé un certain nombre de parts, on les ait toujours trouvées égales entre elles, et examinons si It ;^ part suivante leur sera aussi égale. Soit k le nombre des parts déjl
LEÇONS D'aLGJSBU. «jg
ctlcnleeSi lesquelles sont toutes égales à â(;»-— i). Ce qui reste dnbîen total, en défalquant toutes ces parts, est
La part suivante sera
. a (n — i) (ai — I — k)'\'a{k-[' i) {n — i)
et Ton Yoit^que cette pari est égale aux précédentes.
Remarquez maintenant que k est un nombre entier quelcon- ^; donc si on fait A = 2, on conclura que lu 2* part est ^ale ait i**} si on fait it = 3, on conclura que la 3*^ part est égale aux deux premières; et ainsi de suite. Donc toutes les parts semât ^jales.
Exemples de problèmes à plusieurs inconnues.
gS. Paobleme IV. Un entrepreneur a payé io5 fr. pour 17 ^'l journées de maçon et 10 journées de manœuvre*^ et plus tard y umt que le travail ait changé de prix y il a pajré 84 Jr. pour 10 j^l journées de maçon et ij journées de manœui^re. Combien gagnait par jour le maçon^ et combien le manœui^re?
Appelons x le gain du maçon , et / celui du manœuvre. Pour 1 7 journées de maçon et 10 journées de manœuvre, Fentrepreneur doit 1 7a: -|- 107* 5 donc, d'après Ténoncé, on a i7:c+ioj-=io5.
Pour zo journées de maçon et 1 7 journées de manœuvre, il doit lox^- 17/5 donc, d'après Fénoncé, on a ioj:+ l'jys^S^.
Ainsi y les deux équations à résoudre sont
. 17X+ 10/*= ïo5,
io.r+i7^= 84 j
et pour cela on pourra employer celle des trois méthodes qu^on Nidra.
80 LÊÇOir$ D'ÀLG^BaB.
