CHAPITRE V

Interprétation et usage des quantités négatives dans les problèmes. De V impossibilité et de tindéiemiination dans le 1" degré. Discussion des problèmes. Des symboles ^ et ^. Remarques sur les équations oit il, y a des dénominateurs contenant [inconnue.

Interprétation cl usage des quantités nc§aiiues dans les problèmes»

100. Pour ne point embarrasser les commençans fei laisse de côté»certaines particularités fort remarquables qui peuvent se rencoD- 5 trer dans les équations et dans les problèmes du i*' degré. JciMl-

LIÇONS D^ALOEB&I. 89

piopose de les faire connaître dans ce chapitre; et d^abord je parlerai de riiiterprëtation et de Tusage des quanlilés négatives dans les problèmes en gcncral Pour être bien comprise , cette importante théorie doit être expliquée sur des exemples.

Zoi • Pbobleme. Un particulier a employé dans Vêlé un ou" yrier pendant i^ journées; et dans F hiver pendant 17 journées^ pour chacune desquelles il lui donnait 2 francs de moins que pour une journée d'été. La première fois^ Vouvrier a subi une retenue de ^% francs pour quelques dégâts qu^il avait causés \ la secmdejbis^ il a mérité par son zèle une gratification de o&fr» ; et cependant il a reçu chaque fois la même somme. Quel est le prix d^une journée d'élé7

Soit jr le prix d'une journée d'été. La somme que Touvrier a d& receroir, la première fois, sera etprimée par iSar^-aa. Comme fl a par journée d'hiver 2 fr. de moins que par journée d'été, la lomme qu'il a dû recevoir, la seconde fois, sera exprimée par

Ii7(j>— d)-|-28. Or, d'après l'énoncé , il reçoit chaque fois la même somme ^ donc on doit avoir

De ]h on déduit successivement

17.V — 34+283= i3:r — 22, 17*— I Sx = 34 — 28 — 22, 4^ == — iG, »r = — 4*

Ainsi, pour répondre ù la question, ii faudrait dire que le gain de l'ouvrier, pendant un jour d'cic, est — 4 ^^'« 7 ce qui n'offre absolument aucan sens. Il faut donc conclure que l'énoncé renferme des conditions impossibles.

Pour mettre celte conséquence dans tout son jour, remarquons d*abord que les changemens opérés sur l'équation [i], pour arriver à l'équation a:=— 4) n'allèrent point l'inconnue. Or, la dernière est vérifiée en remplaçant .r par — 4j ^^ ^^ pcwi pas l'être autrement ; donc il en doit être de même de l'équation [1].

En second lieu, remarquons encore que, s'il existe une valeur de X qui convienne k la question, elle doit nécessairement vérifier

90 LEÇOVS DALGEBRS. ^

Féquation [i]. Donc, puisque cette Térification ne peut s^opérer que par une yaleur négative, ou a raison de conclure que la ques» tion est impossible.

Mais une observation qui est bien importante, c^est que la valeur négative j:= — 4? devant vérifier Féquation [i], qui est l'expression immédiate des conditions du problème, indique par cela même comment on peut modifier Tcnoncé en un autre qui ne renfermera plus aucune impossibilité, et qui, après cette rectification, admettra pour solution la valeur de x déjà trouvée, mais prise positivement. C'est ce qu'on va expliquer.

Dans Féquation [i] remplacez x par — x^ elle devient

[2] 17 ( — X — 2)+ 28 = — \Zx — 22.

Or, soit qu'on mette — 4 dan& la première, ou 4 dans la seconde, il est évident que les deux substitutions doivent donner exacte* ment le même résultat \ donc, puisque la première équation doit être vérifiée par la valeur ^= — ^4i 1* deuxième le sera par la valeur x=^. Ainsi toute question dont Fenoncé sera expringié par Féquation [2] aura pour solution ^=4* ^^^'^ comme il n'en existe aucune qui puisse conduire à ne mettre dans le second membre que des termes négatifs, je changerai tous les signes de cette équation, et jeFécrirai ainsi

Alors, pour que la question proposée admette la solution ax=4, on voit quHl suffit de modifier son énoncé de telle manière que le prix de la journée d'hiver surpasse de 2 fr, celui de la journée d'été; que la somme gagnée dans les 1 3 jours d'été soit aug^ mentée de ^^fr,, au lieu d'être diminuée; et qu'au contraire la somme gagnée pendant les 17 jours d'hi^^r subisse une retenue de2.^fr.j au lieu d'un accroissement. De cette manière le nouvel énoncé sera celui-ci :

Un particulier a employé dans Vééé un ouvrier pendant iZ journées; et dans F hiver pendant 17 journées^ pour chacune desquelles il recevait 2 fr. de plus que pour une journée d^été* La première fois, V ouvrier a mérité en outre pfir son zèle une gratification de :i2fr. \ maisy la seconde foisj il a subi une r^

L£ÇOHS D^ALGÈBU. gi

tmue de 28 Jr,^ à raison de quelques dégâts qu^il as^ait causés. lia reçu chtiquefois la même somme .^ et Von veut connàîire le jnx de la journée d'été.

AînM rectifiée, il est de toule évidence que la question conduit kFéquation [3], qui admet la même valeur .r=4 que Téquation [2]* Bv conséquent cette valeur résout la question dans le sens précis il noai[el énoncé. On doit remarquer surtout que les quantités données dans Pénoncé primitif sont restées sans altération dans le Bonfeaa. Seolement quelques unes d'entre elles, qui étaient dé- Bgnées d^abord comme soustractives, sont devenues additives^ ou vice versd.

loa. En général, quel que soit le problème proposé , si son énoncé exige que Finconuue x soit positive, et si l'équation donne nne ▼aleor négative j:= — a, on doit conclure que le problème est iapoMihle. Pour rectifier l'énoncé, on remplace dans l'équation x fir-— «, ce qui changera les signes de certains termes; puis, sans ihérer les quantités données, on modifie Facccption sous laquelle dies sont considérées, de telle sorte que les cliangemens de signes de l'équation correspondent exactement à ce changement d'acception. Alors on sera sûr, sans qu'il soit besoin de résoudre aucune nouvelle équation, que la valeur positive x^=a conviendra &11 dernier énoncé. A moins toutefois qu^il ne renferme encore quelques conditions , qu'on n'aurait pas pu exprimer dans l'équation : comme si , par exemple , il exigeait que l'inconnue fût un nombre entier.

An reste, on conçoit que cette rectification peut se faire d'une infinité de manières différentes; mais il faut toujours, dans le nouvel énoncé , avoir soin de se tenir le plus près qu^on pourra de renoncé primitif.

io3. Pbobleme. Deux courriers partent de deux points A et B, situés sur la même route ABX, et vont dans la même direction vers un point C, placé au-delà de Bjjar rapport à A. On connaît les distances des points AetB au point C, savoir: AC=iio kilomètres et BC=5oib/7om. De plus on sait tpte la vitesse du courrier parti du point A est de 10 hilonupar heure, et que celle du courrier parti du point B est de 6 hilom. On demande à quel point de la route les courriers se joindront.

Supposons que la jonction se fasse au point R 9 et soit la distance CR=j:. Les cliemios parcourus par les deux courriers seront AR=iio— j: et BR=5o — x. Puisque le premier fait 10 kilom. par heure, et le second 6, les nombres d'heures employées par eux pour parcourir les distances AR et BR seront exprimes

par et — rr— • Gomme ils sont partis en même temps ,

ces deux nombres doivent être égaux; doue Fëquation du problème est

En multipliant les deux membres par 3o pour chasser les divi*' seurs; puis continuant les calculs, ii vient

33o — 3jr = 25o — 5x, 5a?— 3a: = 25o — 33o,

aras — ^o.

Voici encore une valeur négative , et cependant on aurait tort d^affirmer que la question est impossible. Il est évident, en effet, que le courrier qui, au départ, est derrière, allant plus vite que celui qui est devant, doit finir par Fatteindre. Mais nous avons supposé en formant Féqualion [4] que la rencontre se faisait en R avant le point G , et rien n^autorîsait une pareille supposition. Ainsi c^est dans cette supposition , et non dans Pénoncé, que se trouve l'absurdité accusée par la valeur négative.

Il faut donc faire une supposition contraire, c'est-à-dire, placer la rencontre en quelque point tel que R^, au-delà de G. Alors, en posant CR^=x, Tcquation à résoudre sera

iio-f-o: 5o-4-3:

lo b

Mais aucun calcul nouveau n'est nécessaire. Eu effet, cette équation n'est autre que Téquation [4] oti l'on aurait mis — x aa lieu dex f donc, puisque celle-ci est satisfaite par la valeur xts^^o.

LEÇONS D^ALGÈB&E. ^3

rëijuttioli ci^essus doit Tétre par la valear positive xsa/^o.De cette manière, on apprend que la rencontras a véritablement lieu aa-delà da point G, à la distance de 4^ kllom.

U ndt de là que Téquation [4J donnera toujours la solution du problème^ pourvu qu'on regarde la yaleur négative de x comme deviDt être portée à droite du point G, c'est-à-dire , du c6té opposé à celui où on Favait supposée située.

io4« L'exemple que je viens de traiter montre qu'une valeur négative de rinconnue peut aussi , dans certains cas, provenir d'une faoise supposition qui a été faite pour arriver à l'équation du problème. Et en même temps on doit soigneusement remarquer que non-seulement le signe — , qui se trouve devant la valeur de l'incomitiey indique de quelle manière l'erreur doit être rectifiée, mais encore que la valeur de cette inconnue , en faisant abstraction du ôgne^ donne la vraie solution du problème.

Remarque. On aurait pu résoudre le dernier problème en prenant la distance BR pour inconnue; et ensuite, pour connaître la distance du point G au point de rencontre , on aurait retrancbé BR de BG. Alors on voit bien que si le reste est négatif, c'est que la rencontre a eu lieu en un point R^ situé au-delà de C^ et à une distance GR', précisément égale à ce reste pris positivement.

io5. Problèue. Deux courriers sont partis en même temps de deux villes différentes et parcourent la même ligne* On connaît la distance des deux villes ^ ainsi que la vitesse de chaque cour" ricTf c'est'à'dircj le nombre de kilomètres que chacun d'eux Jait en une heure. On demande en quel point de la route ils sejoin-^ droni.

Ainsi conçue en termes généraux , la question présente deux cas distincts : celui où les courriers vont dans le même sens, et celui où ils vont à la rencontre l'un de l'autre.

Premier cas. Je suppose que les deux courriers tendent vers le point Gy situé au-delà du point B par rapport au point A, et que K soit le point où ils se joignent. Je nommerai d la distance des points de départ A et B , m la vitesse du courrier parti du point A,

g/| LEÇONS D^ALGBBKE.

n celle an courrier parti du point B , X la distance inconnue AR, parcourue par le premier courrier au moment où il atteint Fautre.

Gela posé 7 le chemin BRiait par le second courrier sera AR •^AB ou a>-- /7. En divisant x par m , on aura le temps que le premier courrier emploie à fiadre le chemin AR ^ et en diyisant :r-— a par 71, on aura le temps employé par le second courrier à faire le chemin BR. Ces chemins doivent être parcourus dans le même temps; donc on a

De là ou tire

nx — mx — mdy

mx — nx=imd^

md m — n

Deuxième cas. Je suppose que les df^ux courriers aillent à la rencontre Fun de Fautre, et que leur jonction ait lieu au point R, situé comme ci-dessous :

En conservant les mêmes dénominations que tout-à-Fheure, Fégalité entré les temps employés par les courriers pour faire, Fun le chemin AR, et Fautre le chemin BR, sera

Cette équation n'est autre que Féquation [5] dans laquelle on aurait remplacé n par -^/t; car alors le second membre devient ,^

jr— rf . d-—x

, ce qui est la même chose que . De là on conclut qne ^

Féquation [5] suffira pour résoudre les deux cas du problème i ' pourvu que Fon convienne de regarder la vitesse du courrier parti du point B comme changeant de signe quand la direction de ce "^ Goarrier vient à changer.

io6. Par la question qui vient d^être traitée, on voit queks quantités négatives peuvent servir à renfermer dans tin^e seule équation, et par conséquent aussi dans une seule Ibrmdb, pla« -"

LEÇ0X8 D'aLgIsBRE. gS

■eun cas d'une même question, dont chacun semblerait, au premier i(»erça , exiger une solution distincte. C'est là aussi ce qui fait que cet quantités sont d'un usage presque continuel dans toutes les kniches des mathématiques. Il n'est pas possible de caractériser ifco précision les questions dans lesquelles la solution d'un seul CM peut s'étendre ainsi à plusieurs autres, par de simples change- ■ Mns de signes; cependant on doit comprendre dès à présent que cette extension a lieu surtout dans les questions générales, oii il hnt considérer plusieurs cas qui ne différent entre eux que par l'acception de certaines quantités, lesquelles sont additiyes pour quelques cas et soustractives pour les autres. Ainsi, la mcme lettre sera regardée comme représentant une quantité positive ou n^ative ^ idon qu'elle désignera un gain ou une perte, une yitesse imprimée dans un sens on une vitesse de sens contraire, une distance située à droite d'un point ou une distance située à gauche , etc.

lo^. Les remarques auxquelles ont donné lieu les trois problèmes qu'on Tient de traiter s'appliquent à toute espèce de questîdUy quel que soit le nombre des inconnues et le degré des équations. Elles se résument comme il suit :

i^ La yaleur négative d*une inconnue peut indiquer quelquefois une condition impossible dans Fcnoncé d'un problème. Alors il suffit de donner, dans cet énoncé, à quelques quantités des acceptions contraires, pour faire cesser toute impossibilité ^ et la valeur négative, qui a été trouvée d'abord, étant prise positivement , donnera la solution de la question ainsi rectiQée (102).

a* La valeur négative de l'inconnue peut aussi indiquer, non une absurdité, mais une supposition erronée ; et, dans ce cas, die donne tonjonrs la solution du problème, pourvu qu'on prenne la quantité qu'elle représente dans un sens contraire à celui qu'on lui a d'abord attribué (io4).

^3* Enfin , en considérant certaines quantités comme positives on négatives, selon qu^on les envisage sous certaines acceptions, on sous des acceptions contraires, on peut réunir en une seule équation, ou en une seule formule, les difFérens cas d'une même question (106).

io8. Après ces remarques , le lecteur traitera lui-même y sans èfficaltéy la question suivante :

g6 Leçmi D^ALcioiRE.

Problème. Un aubergiste fait avec un chasseur ce marché g

Tous les jours ou le chasseur apportera une pièce de gibier^ il

recevra de V aubergiste une somme z^ mais aussi il lui rendra

une somme h tous les jours ou il n'en apportera point. Apres un

nombre n de jours ^ il peut arriver que V aubergiste et le chas"

seur ne se doivent rien^ ou que le premier doive au second^ ou

le second au premier y une somme c. Trouver une formule qui

fasse connaître dans les trois cas le nombre de jours ou le chas^

bn 1 c seur a apporté du gibier. Réponse : x = — ^^.

Cas d'impossibilité et d^ indétermination dans les équations et dans les

problèmes du i" degré.

109. Problême. Trouver un nombre dont le tiers augmenté de 75, et les cinq douzièmes diminués de 35, fassent autant que ses trois quarts ajoutés à ^g.

On voit immédiatemeat que Féquation du problème est

En transposant et en chassant les dénominatears, il vient