X . Sx 3x

question. G est pour* quoi Ton applique alors la dénomination S!absurde ou d^impos^ sible à Féquation et à la question.

^impossibilité peut se rendre sensible sur Féquation [i], en faisant, dans son i*''' membre, la réduction des termes semblablest Par là elle devient

et dèf'lon il est évident que les denx membre* «tvont toa)oaiiP'

ttre enx une différence de 9 unités, quelque ?aleur qu'on mette lit place de x.

Cette impossibilité est bien différente de celle qui avait lieu ans le n* loi. Si alors le problème était impossible, ce n^était oint parce qu^il n'existait aucune quantité qui pût se prêter aux érifications de calcul exigées par l'énoncé, mais bien parce que à Taleor de x était négative, et que Ténoncé repoussait toute ralear de cette espèce. Dans le problème qui vient de nous occu« per, rim possibilité est absolue y c'est-à-dire qu'aucune quantité, de quelque nature qu'elle soit, ne peut donner Fégalité établie dans son énoncé.

1 1 0. Pboblème. Trouver un nombre tel qu'en ajoutant la moitié de ce nombre augmenté de 1 0, les f de ce même nombre aug-" menié de 20, et encore les f de ce nombre diminué de 34, on ait Bfie sofnme égale à deux fois l'excès de ce nombre sur 5.

Ici l'équation du problème est

x+\o . 2(a:+2o) , 5Car— 34) , ^,

En chassant les dénominateurs, réduisant et transposant, il vient

Comme on . arrive à deux^ membres qui sont identiques, on eu

condnt que l'inconnue x doit rester tout*à-fait indéterminée :

(fcst-à-dire qu'on peut prendre x égA à 2, ou à 3^ ou à tel autre

nombre qu'on voudra.

Et en effet , si on remonte à l'équation [a], et si on effectue les

cdcob indiqués dans son i^^ membre, on trouve qu'il équivaut

. 3jr-4-3o+4*+8o4-5r — 170 ,, , . 12* — 60

a ' '-^ — r; ^— , ou, en réduisant, à ■ ■ -

oabien encore, en simplifiant, à 2x — 10. Ce résultat étant pré-

[.diëment égal au a* membre 2{x — 5), il s'ensuit que l'équation [2]

a'est autre chose qu'une véritable égalité , qui a lieu quel que soit

«. Dans tons les cas analogues^ l'équation et la question sont dites

g8 LEÇ0I7S P^ALGÂBRE.

III. Problème, jivez'vous abattu beaucoup de pièces de gU ; bier? demande- t-on à un chasseur. Celui-ci répond : Il faudrait en ajouter 5 au tiets de celles que fai tuées Van passée pour a\foir la moitié de ce que f ai tué cette année; mais si^ du triple de cette dernière moitié^ vous ôtez 5, vous aurez juste ce quefdî tué Fan passé. Combien U chasseur a-t-il abattu de gibier cha^ que année ?

Eu nommant x le nombre de pièces tuées cette année^ et^ celui des pièces tuées Tannée précédente^ on doit avoir

Après avoir mis dans la i'* équation la valeur de y donnée par la 2", il vient

3* — 3ar = 3o — 10, • i:

■■if

égalité absurde, de laquelle on conclut qu'il n'existe pas des valeurs de X et de j* qui satisfassent aux deux équations. Par conséquent , le problème renferme des , conditions impossibles à remplir.

On peut d'ailleurs rendre l'impossibilité sensible sur les équations mêmes : car, eii chassant les dénominateurs et transposant, elles deviennent

Zx — 2;^ =30, 3jf- — 2J*=I0J ^

et alors on voit que les deux premiers membres sont les mêmes, !i^ tandis que les seconds sont des nombres différens. >2

Remarquez bien que chacune des deux équations, si on la prend ' ; isolément, est possible, et que même elle admet une infinité de so« 't lutions. L'impossibilité consisté donc en ce que les deux ëqaationi ^ ne peuvent avoir aucune solution commune^ ou, ce qui est la i'^^ même chose, en ce que les deux conditions du problème ne péit» ^ vent jamais avoir lieu ensemble. C'est pourquoi l'on dit d« èël ^

LEÇOI78 D'ALGiBlE. gg

aonditionsy et aussi des équations qui les expriment, qu'elles sont tpntradictoirês ou incompatibles*

1 12. Supposons que la première condition du problème restant k même, ou change seulement la seconde, et qu'on y remplace le londireS par i5. Alors les équations du problème seraient

ety en mettant dans la i'* la valeur de y donnée par la 2*, il fient

d'où o =

Dé là on conclut qu'on peut attribuer à l'inconnue x telle valeur fo'oQ voudra y et qu'en lui adjoignant la valeur correspondante de J'y déduite de l'une des deux équations, on satisfera toujours i l'autre.

On rendra ceci évident sur les équations mêmes en chassant les dénominateurs et en transposant les termes : car on les ramène ainsi toutes deux à l'équation unique 3a; — 2;'=3o, ce qui prouve que les deux conditions indiquées dans renonce du problème ne sont différentes qu'en apparence. Alors les dcu^ équations, aussi lueu que la question dont elles sont la traduction, sont dites zVidél^rminéeSj attendu qu'on peut y satisfaire d'une infinité de manières.

1 13. J'ai énoncé comme règle générale, n° 90, que des équations du 1^ degré, en nombre égal aux inconnues, déterminent un sys. tème de valeurs pour ces inconnues, et n'en déterminent qu'un seul. Mais en même temps j'ai prévenu que cette règle était sujette à quelques exceptions. Les exemples précédens ont montré en effet qu'il pouvait y avoir dans les équations impossibilité oxi indéiermination. De plus, je vais montrer que dans tous les cas où fl y aura exception , ce sera toujours V impossibilité ou Yindéterniinalion qu'on devra rencontrer.

Par les procédés de calcul qui servent à effectuer les éliminatioMy- il est dair qu'il ne peut arriver que trois cas :

lOO ItCOVS D ALGEBRE.

1^ On peut parvenir à une équation unique du i^' degré à une ^ seule inconnue. Dans ce cas, qui est le plus ordinaire, on déter- ,^ mine pour Tinconnue restante une valeur unique , puis en remon- ^ tant aux équations précédentes , on détermine aussi une valeur unique pour chacune des autres inconnues.

2t** On peut trouver, à la fin ou dans le cours des opérations , ^^ une équation dans laquelle les termes inconnus se détruisent mu* ^ tuellement, et où les deux membres soient des quantités données . différentes Tune de Fautre. Il y a alors absurdité évidente, et Ton doit conclure que quelques valeurs quVn attribue aux inconnues (je suppose qu^il y en ait plusieurs), on ne pourra point satisfaire aux équations primitives , ni par conséquent à la question dont elles dérivent.

3** Si aucun de ces deux cas n^a lieu , on doit trouver une ou plusieurs équations dans lesquelles les inconnues disparaissent, et dont les deux membres soient égaux à la même quantité. On reconnsut alors qu^on peut donner à ces inconnues telles valeurs qu^on voudra , et qu^ensuite, au moyen de ces valeurs, on pourra calculer les autres inconnues. Il y a donc Ici une véritable indé" terminatîon dans les équations primitives, et par conséquent aussi dans le problème dont elles expriment les conditiou$.

' 1 1 4* Quand on ne considère que deux équations à deux inconnues, si on arrive à une égalité absurde^ comme il est évident que chaque équation prise séparément est possible , on doit conclure, ainsi qu^on Ta fait n® 1 1 1 , que les deux équations sont contradictoires ou incompatibles ; et, si on arrive à une égalité évidente, on conclut que l'une des équations est toujours vérifiée quand Fautre l'est , ce qui revient à dire qu'elle en est une conséquence.

Mais quand on a plus de deux équations (cependant toujours ^ en nombre égal aux inconnues) , l'impossibilité et Findétermination peuvent tenir à des causes plus variées. Par exemple , lorsqu^on a ^ trois équations à trois inconnues, il y aura impossibilité si une ^' équation est incompatible avec chacune des deux autres , ou bien ^ seulement avec leur ensemble sans l'être avec aucune d'elles sépa- -" rément. £t pareillement il y aura indétermination, si une équa- ^* tion est une conséquence de l'une des deux autres, ou si deux ^'-^ équations sont des conséquences de la troisième , ou encore fi ^

LIÇ6KS t>*ÀLGSBBE; SOI

rime det ëquaticns est une conséquence de Tensemble des deux i mires, tans l'être d'aucune d^elles prises séparément.

En .général , quand on voudra savoir si une équation est ineotn^ patible avec l'ensemble de plusieurs équations, ou bien si elle en est une conséquence, oh considérera dans ces équations des inconnues en nombre égal à ces équations, on en tirera les valeurs ea fonction des autres inconnues^ comme si elles étaient données, puis on les substituera dans la première équation. Si alors on tombe sur une égalité absurde, la première équation sera incompttiUe avec le système des autres équations^ et au contraire elle en sera nne conséquence, si on tombe sur une égalité identique.

Il 5. Yoici deux exemples sur lesquels le lecteur peut s'exercer :

^-"^^ f — 4-2^ — 2z/=i5, Î2ar-- 5^ lOZr— 9l/=I2,

4x— jr — 5z-|- 5w=c3o, j2:c-- 4,7' — 8z — 9w=i4,

&r+I07* 22Z — 20W=3(). ' Sx-^-ÏIJ' 242 — 2^lt=:3^.

Le premier exemple conduit a une absurdité, et l'on reconnaîtra qu'en effet la 4*^ équation est incompatible avec l'ensemble des deux premières.

Le second exemple conduit à une identité , et il sera facile de reconnaître que la 4' équation est une conséquence des trois tutres prises ensemble, tandis qu'elle ne Test d'aucune d'elles prise isolément y ui même de la réunion de deux quelconques d'entre dles. Pour satisfaire à ces équations, on trouve

1/= — 2, ar=2, ^=2z — 2,

et finconnue z reste arbitraire.

1 16. Je terminerai cet article en remarquant que les cas d'impossibilité dont j'ai parlé sont bien les seuls qui puissent se présenter dans les équations, mais que dans les problèmes il peut y en avoir beaucoup d'autres. Par exemple , il pourra se faire que , d'après renoncé, une inconnue doive être un nombre entier, et que l'on trouve une fraction ; ou bien que celte inconnue doive être moindre qu'un certain nombre , et que l'on trouve une valeur plus grande ^ etc.

En général , l'énoncé d'un problème peut imposer à une in« connue, ou à plusieurs, des restrictions qu'il est impossible d'ex««

loa LEÇONS d'algèbre*

primer par 'des équations^ et dans ces cas, après qu^on a trouvé"*' les valeurs des inconnues, il reste encore à vérifier si elles satis* < font à toutes ces restrictions. Cest ainsi que dans le Problème III^ p. '^49 quelques conditions n'ont pas été introduites dans Féqua- %\ tion , et que nous avons du reconnaître si elles étaient remplies par la solution déduite de cette équation.

Discussion des problèmes.

nj. Lorsqu'on a résolu un problème dans lequel les quantités * données sont repiésentées par des lettres, la valeur de Tinconnue y (je suppose, pour fixer les idées, qu'il n'y en a qu une) est expri- •. mée par une formule qui indique les opérations à exécuter sur les . données. Or, on peut concevoir que ces données reçoivent toutes f, les valeui-s possibles, et examiner s'il en résulté quelques cas qui .^ offrent des particularités remarquables : c'est là ce qui s^appcUe discuter ^Q problème. L'exemple suivant montrera comment on doit se diriger dans ces discussions. *^

1 18. Problème. Deux mobiles M et Mf se meuvent uniforme" Jtiei ment sur la droite indéfinie XY, avec des vitesses données a et b, '^t tous deux dans la direction XY. On sait que le mobile M est ili arrivé au point A un certain nombre d'heures h avant que le îjjr mobile M' ne soit parvenu en B, et Von connaît la distance d des iii points A et B. On demande en quel point de la droite XY se/ait r.pi la rencontre des deux mobiles. Ce problème est extrait , sauf un <i\ léger changement, de FAlgèbic de M. Lacroix, p. ^.60. <^

îi

Supposons que la rencontre soit en R du coté BY : je nommerai X la distance inconnue BR. La distance AR sera d-^-x, et les temps employés par les deux. mobiles M et M', pour pai courir respectivement les dislances AR et BR, seront -^-^ et r» Or, d'après

l'énoncé, le mobile M est arrivé en A, un nombre h d'heures avant que M' ne fût parvenu en B 3 donc le premier temps doit surpaner ^

LEÇ01I8 d'algèbre. I03

b Mcond de la quantité h y et par conséquent on a Féquation

De là on tire facilement

hd -f- bx --^axss: abh , aX'^ bx= h(d — ah) ,

Discussion. Il peut se faire que la rencontre des mobiles ait Eea après ou ayant le point B, et la solution ci-dessus a été éta- Hie comme ti c'était le premier cas qui dût avoir lieu. Mais en in- ViprétaDt les résultats conformément aux remarques résumées iuii le II** lo^, on va voir qu'elle a toute la généralité désirable.

i«« Le numérateur et le dénominateur de x seront tous deux poâtifs lorsqu'on aura à la fois

a'^b et d'^ah.

Alors la valeur de x est positive, et par conséquent il y a vérîta- Uement rencontre des mobiles du c6té BY , ainsi qu'on Fa supposé. Cette conclusion est conforme à celle qui se tire immédiatement de la question elle-même. En efFet, observons que ah est le chemin parcouru par le mobile M pendant le temps /?, qui s'écoule entre l'arrivée de ce mobile au point A et celle de M^ au point B. Ainsi y supposer a^b et d^ah^ c'est admettre que le mobile M va plus vite que M'^ et qu'il n'est pas encore en B quand M' y arrive ; donc il devra atteindre W du côté BY. Quand on4t à la fois

a<^b et d<^ahy

la valeur de x est encore positive , et par cftnséqucUt les mobiles se rencontrent encore du coté BY. Et en effet, il est clair qu'alors le mobile M a un mouvement moins rapide que M% et qu'il a dépassé le point B quand M' y arrive. 11 ne peut donc pas manquer d'être atteint par lui du côté BY. 2*. Quand on a à la fois '

a<Cb et d'^ahy ou a'^b et d<^ahf

la valeur de x est négative. Cette circonstance indique que la ren-

104 LEÇOKS t>*ALO£BAE.

contre des mobiles a lieu da c6të oppose à celui oit on ravaita. placée, c'est-à-dire qu'elle se fait du coté BX, et à la distance :1b inarquée par la valeur de Xy abstraction faite du signe (107, 2*^). ^

En remontant à la question, comme on Ta fait tout-à-l'heure^ x on aperçoit facilement ici qu'au moment où M^ arrive en B, celai :i des deux mobiles qui a la plus grande vitesse se trouve alors de-* •■ vaut l'autre. Aucune rencontre ne peut donc avoir lieu du c6té BY, et il est évident au contraire que les deux mobiles ont dà se 1 rencontrer du côté BX. ^

Que si on veut démontrer la justesse de Finterprétation donnée ^ à la valeur négative, on le fera comme il suit. D'abord , comme ^ on a supposé que les mobiles devaient se rencontrer du c6lé BT^ la valeur négative prouve seulement que cette supposition est inadmissible. Mais il est possible que la rencontre ait lieu du côté BX, soit avant le point A, soit dans l'intervalle AB.

Si la rencontre a lieu en R' avant le point A, en faisant Fin- a connue BR'=r^, les temps employés par le mobile M pour venir de R' en A, et par le mobile M' pour venir de R' eu B, seront

et j. Le temps écoulé entre l'arrivée de M au point A et

celle de M' au point B sera donc la différence t — ^^^-t— ; et ^

comme renoncé veut que ce temps soit égal à h^ on aura l'équa- j tion

Si la rencontre a lieu en R'', dans Fintertalle AB, et qu^on fasse

toujours l'inconnue BR^ss*, le temps employé par le mobiTe M

pour aller de A en R" sera , et celui qu'emploie le mobile M'

pour aller de R" en B serayj donc le temps écoulé entre l'arrivée

du mobile M au point A et celle de M' au point B sera —^+-1

et l'on aura l'équation

LCÇOzrS t>*ALClBlK. lo5

Miintcntot remarquons que les équations [3] et [4] étant etaclement les mêmes, la dernière devra dclermiaer le point de rencoolre, quelle que soit sa position dans la région IjX. Remarquons acore que Téquation [i] devient Féquation [3] en y changeant x Q^x^ et de là on conclura que toute valeur positive, qui satisfit il la tecondey sera donnée, mais avec le signe — , par la prettere*

Ainsi l'équation [i] suffit à elle seule pour déterminer dans tous kscas le point de rencontre des mobiles, en ayant soin de porter les valeurs négatives de :<: à gauche du point B.

3^. Supposons qu'on ait h^^a sans avoir ds^àh. La valeur de idevient

o[â — àh)

>§^f t^^^ Amplement y en posant a{d — ^i^) =x m y

Qoe peut signifier une pareille expression? Pour l'interpréter ^ imaginons qu'au lieu de o on donne à m des diviseurs de plus en plus petits, tcb, par exemple, que i, r^, t^.»«; les quotiens seraient tti^ lor??, 100/77. ..^ étiraient en croissant, de telle sorte qu'on ne conçoit aucune quantité , quelque grande qu'elle soit , qu'on ne puisse encore surpasser en prenant un diviseur assez petit. Cest là ce qu'on exprime en disant que le quotient d'une quantité, diyisée par zéro est infinL On indique Finfini par le signe 00. ^

L'expression ", considérée en elle-même, montre donc qu'il n'existe aucune distance assez considérable pour représenter celle k laquelle les mobiles doivent se rencontrer, ce qui équivaut évidemment à dire qu'ils ne se rencontrent pas.

Et en eilet, de ce que d est différent de ah, il s'ensuit que le mobile M ne se trouve pas au point B en même temps que le mobile Jdf ; et de ce que ù=a, il s'ensuit que les deux mobiks ont la même Titesse : donc ils doivent toujours être à la même distance l'un de l'autre; donc aucune rencontre n'est possible.

I06 LEÇONS D*ALGEBEE*

4** Supposons en même temps bssa et d=sa/t. Il viendra

et Fînterprétation immédiate de cette expression sera facile. ..^ Gomme dans toute division le produit du quotient multiplié ^^ par le diviseur doit reproduire le dividende^ il faut ici que le quo* .1 tient soit, tel qu^en le multipliant par zéro ou trouve zéro^ doncon peut prendre ce quotient égal à tel nombre qu^on voudra : .,^ c*est ce qu'on exprime en d'autres termes, en disant que -1 repré-...^ sente une grandeur indéterminée.

De cette explication on doit conclure que les mobiles ne sont . jamais séparés. Et en effet , puisqu'on suppose ^=s/z et ds=uih^ ^^ les mobiles ont la même vitesse, et se trouvent ensemble au point B; donc ils ont toujours dû être ensemble ^ et doivent toujours rester ensemble.

Les autres particularités qu^on pourrait remarquer sont trop minutieuses pour s'y arrêter. Je terminerai donc cette discussion observant que les principes qui ont été établis dans le n^ 106 permettent d'étendre la formule [2] aux problèmes dont les énoncés ne diffèrent de celui qui a donné cette formule que par l'acception de quelques quantités. Ainsi, on pourra supposer que le mobile AP aille dans le sens YX, et alors il faudra seulement changer b en — ô dans la formule. Si c'est le mobile M qui change de direction , on changera a en — a ; et si les deux mobiles chan- ■ gent de direction en même temps , on changera a la fois a en — a et b en — b> Enfin, si l'arrivée du mobile M au point A, au lien de précéder celle de W au point B, n'avait lieu qu'après ^ on changerait h en — h.

Ces conséquences sont bien propres à faire ressortir toute Fimportance des quantités négatives ; et, pour cette raison , je con« seille au lecteur de chercher par lui-même à les mettre en évidence^ en suivant la marche tracée dans le n° 1 o5.

Sur les symboles " et J. Remarques sur les équations dans lesquelles il y a des dénominateurs qui contiennent Vinconnue,

I ig. Les symboles ? et 7, qui se sont présentés dans la sion précédente {^ et 4"*) 1 méritent de fixer l'attention.

LECOlfS D^ALûàBBE.

Lonque dans lés équations iJ y a des quantités données repré- Imtées par des lettres, et qu^on en a tiré les formules qui expri- ■ent les inconnues, si Ton fait des hypothèses sur ces lettres et won les introduise dans les formules, on doit obtenir, pour les ■eoiuiueSy des valeurs particulières correspondantes à ces hypo* h Or, il peut arriver que ces hypothèses fassent tomber les [i|ntions dans un cas dUmpossiùîliié ou AUndétcrminationy et Idors il est facile de s^assurer que parmi les formules il s^en troufera au moins une qui deviendra " ou 7.

Concevons que les hypolhcses soient introduites dans les équa-

^lisBi elles-mêmes, et qu'alors on répète tous les calculs qu'on a

bits pour parvenir aux formules générales. Si les équations tom-

[lait dans un cas d'impossibilité, il faudra qu'en cherchant une

mnne, x, par exemple, Télimination conduise à une équation

^Amrde, dans laquelle cette inconnue ne se trouvera plus, et dont

'kdeux membres seront des quantités différentes. Supposons que

Mis équationi avant les hypothèses, soit

ÀfXB représentant des expressions littérales composées de quantités données : la valeur générale de x sera

Ofy dans les hypothèses qui amènent Timpossibilité, il faut que x '^1 disparaisse de Féquation Ax=zB^ et que les deux membres ren- ^ ' ferment des quantités inégales \ donc A doit être zéro sans que B le soit; donc, en désignant par 771 ce que devient B^ la valeur générale de x doit donner x= ^.

Maintenant supposons que les hypothèses doivent amener un eu d'indétermination. Les calculs d'élimination, au lieu de conduire à une équation d'où l'on puisse tirer la valeur d'une inconnue, doivent donner une équation dont les deux membres soient identiques. Donc si, avant les hypolhcses, cette équation est Ax=iBj il faudra, après les hypollièses, que A et B soient tous deux céro; donc la valeur générale de x se réduira à x= f . n peut se faire qu^il y ait plusieurs inconnues dont les expres-

ai h,

LXS|

ioai

Lofil

ekl

ledl

io8 LEçoirs d'algsbre.

fioni deviennent ? ou |>. Ce qui précède montre qu'il doit y en avoir au moins une qui devienne ~ dans les cas dlmpossibilité^ et ^ dans les cas d'indétermination.

'120. On a vu dans le n® 1 18 (3"), que Texpression " doit être considérée comme représentant une grandeur infinie. Ici j'ajouterai que cette valeur infinie peut être quelquefois positive, quelquefois négative y et quelquefois indifféremment positive ou né* gative.

1° Soit la formule x=i , dans laquelle m et n sont

deux nombres invariables qu'on suppose positifs et différens de zéro, tandis que z peut avoir toutes les valeurs possibles. En fai* sant z=/i il vient *=". Mais comme le dénominateur (n — z)* est toujours positif quel que soitz, attendu que le carré de n — z est toujours positif, on doit regarder ici Texpression ^ comme désignant rinfini positif, et Ton écrira :v=-f- oo«

2^ Avec des raisounemens analogues, on voit que si l'on a la

formule *= . ', et qu'on y fasse encore z=/i, on devra avoir

rinfini négatif *= — 00.

y Soit la formule x:=: . L^hjrpothèse ;2=/i donne encore

il ' z

x=: ^'y mais ici l'infini aura un signe ambigu. Supposons d'abord z<jî et ensuite faisons croître Zy la formule donnera des valeurs croissantes qui seront toutes positives. Au contraire^ en prenant z'^riy puis en diminuant z jusqu'à le rendre égal à n, la formule donnera des valeurs croissantes qui seront toutes négatives. Il suit de là que la valeur infinie, correspondante à z=72, se trouve appartenir également à une suite de quantités positives croissantes et à une suite de quantités négatives croissantes. Pour cette raison rhypotbèse z=^n doit être considérée comme faisant prendre à la formule deux valeurs infinies, l'une positive et l'autre négative» C'est ce qu'on indique d'une manière abrégée en écrivant a:=zh 00. 121. Lorsqu une formide fractionnaire renferme un dénominateur qui peut devenir infini sans que le numérateur le soit , il est clair qu'à cette limite la valeur numérique de la fraction doit être moindre que toute quantité, quelque petite qu'elle soit; ce qui

LEÇONS D ALGSBBE* |0()

revient à dire qu'elle est égale à zéro. Ainsi, le numérateur étant

désigné par m, on aura ^ =o. *

laa. Lorsqu'une quantité va en décroissant jusqu'à zéro, sans changer de signe, on pourrait conserver la trace du signe en le laissant subsister devant la limite zéro» Alors on aurait-

ia3. Il 7 a aussi plusieurs observations à faire sur le symbole ^. Le raisonnement du n* 1 18 (4*") prouve qu'en le considérant en loi-même il représente une quantité tout-à-fait indéterminée. Hais Tindétermination peut encore se montrer sous d'autres formes. En efiet^ par les règles du calcul, on a

A^l—d etA-:^

A Or y quand ji ei B deviennent zéro, les quantités "^ et -^ deviennent infinies 5 donc les expressions

o X 00 et 55*

doivent recevoir la même interprétation que ^, jc'est-à-dire qu'elles sont aussi des symboles d'indétermination.

124* Il y ^ cependant des cas où l'expression v est considérée sous un autre point de vue.

Soit la formule

Si on suppose 2=2, il vient x=^ 5 et, d'après ce qui précède, cette valeur devrait être indéterminée. Mais si, avant de faire z=2, on simplifie la fraction, en 6tant le facteur z— 2, commun à ses deux termes, on a

IIO LEÇONS d'aLGÈBRB. .

et alors, en faisant 2=2, on trouve x=3y qui est la yraie valeur correspondante à celte hypothèse.

Pour bien comprendre ceci, au lieu de supposer tout d^abord jtsr2, imaginons que la différence z — 2 diminue graduellement. La formule [i] donnera pour x successivement différentes valeurs, toutes déterminées et égales à celles que donnerait la formule [?.]. Ces valeurs peuvent donc être regardées comme tendant graduellement vers la valeur 3 ] et, par cette raison, on regarde la valeur :i:s=3 comme étant véritablement celle qui répond à Thypothëse jz=2. Mais comme Tindétermination qui résulte de la première formule empêche de reconnaître cette valeur, c^est à la seconde qu'il faut recourir. De là cette règle :

Si, pour une certaine hypothèse, une formule fractionnaire devient -J-, il fout, aidant de prononcer quelle a une valeur indé-* terminée, examiner si son numérateur et son dénominateur ne contiennent pas quelque facteur commun qui devienne nul y et dont, la suppression laisse apercevoir la vraie valeur de la fraction.

Appliquons cette règle aux trois fractions

2Z— 2' àz^—Z ^ z^—2Z+l '

qui deviennent ^ par Thypothèse z = i . On les écrira ainsi

3(2+i)(z— 1) fz— 1)« 3rz+i)(z^i)

On supprimera partout le facteur commun z — i ^ puis, en fabant z=i, on trouvera les valeurs 3, o, du 00.

125. Une fraction pouvant devenir zéro quand son numérateur est nul ou quand son dénominateur est infini^ il 's*ensuit que si une équation a des dénominateurs qui contiennent Finconnue x^ et qu^on la ramène à la forme fractionnaire

il faudra , pour la résoudre complètement , chercher non-seulement les valeurs de x pour lesquelles on a iKf =0, mais encore celles qui donnent i\r=oo .

LEGORS D*ALGisBRE. IH

Toatefois on devra considérer si, par ces valeurs, la fraction ne [devient pas ^ ou ^ : car, si cela arrivait,, il pourrait se faire que n vraie valeur ne fût pas zéro, auquel cas lequation ne serait pas atisfaite.

Dans Texemplc du n^ 78, Téquation a été ramenée à celle-ci

et comme la valeur x= — 3 rend le numérateur nul sans rendre mil le dénominateur, on a pu conclure que cette valeur satisfait vfaitablement à l'équation.

Mais quoique le dénominateur i — x* devienne infini en faisant jf"ir [ 00 et xss — OC, comme ces valeurs rendent aussi le nu-

s%tear infini, on tombe dans une indétermination apparente. Pénr la faire disparaître, on met la fraction sous une forme où le anmératelir ne devienne plus infini, ce qui se fera en divisant par x kl deux termes de la fraction. De cette manière, elle devient

piûs en remarquant que les valeurs x=4~^ ^^ :r=— so rendent nulles les fractions - et - , on voit qu'elle se réduit à

ou à -ï 9 c'est - à - dire à zéro : donc les valeurs j:=:-4-qo et

-f-co

«= — 00 conviennent à réqualion proposée.

Le plus ordinairement, quand on fait évanouir des dénominateurs qui contiennent rinconnue, on ne tient aucun compte des nlears infinies, parce qu'en effet elles ne conviennent presque jtmais aux- problèmes que les équations servenf à résoudre : mais cette omission est toujours volontaire, et les explications que je viens de donner montrent assez comment elle doit être réparée.

ira IZCQTXS P^tCSBRC,