CHAPITRE VI

Résolution de plusieurs équations générales du 1*' degrés en nombre égal aux inconnues.

Formules générales. Règles diaprés lesquelles elles se composent»

[26. Quelque diverses que puissent être des équations du i*' degré, on peut toujours les ramener à des formes générales qui permettent d^obtenir pour les inconnues des formules' dans lesquelles sont compris tous les cas particuliers qui peuvent se présenter. Ce sont ces formules que je me propose de . chercher maintenant. On pourrait y parvenir par les méthodes expliquées dans le chapitre III; mais je me servirai préférablement de celle qui est connue sous le nom de méthode des indéterminées j et qui a été employée par Bezout. Les considérations sur lesquelles elle ^ repose^ méritent la plus grande attention, à cause des applications "" qu'elles reçoivent dans les recherches les plus élevées de ranalj'se. ^'

Prenons d'abord deux équations entre deux inconnues x et /*. Par des préparations convenables, on saura toujours les ramener '^* à la forme.

Ici a^bj kf a'j ¥^y, représentent des quantités connues qui peu- ^^ vent être positives ou négatives. En mettant a' y U ^ V^ dans la ^ seconde équation ,^our designer les quantités analogues aux quan* ^ tités a, /;, K <le la première , on se rappelle plus facilement h '^ signification de toutes ces lettres. ■ \

Désignons par m une quantité tout- à-fait indéterminée, dont '^ on pourra disposer comme on voudra, multiplions la 1" équa* ^ tion par m, et ensuite retranchons-en la seconde : il yiendra

t^ovs d'algIbbe, ' Ii3

et eomme la quantité m est arbitraire, on la choisira de manière qd*elle réduise à zéro le multiplicateur de Finconnue qu on veut âiminer.

Si c^csl y qu^on fait disparaître, on posera

bm = b'j d'où yw= ^j

l'équation^e contiendra plus j-, et en y remplaçant m par cette Taleur, on aura

kb'

aU

is si c'est x qu'on veut faire disparaître, il faudia poser

am-=-a\ d'où 772=

et l'éqaalion donnera

ka'

ba'

Les dénominateurs de a: et de j- sont égaux, mais de signes "1 oontraires. Pour les rendre tout-à-fait semblables, je changerai Y ks signes du numérateur et du dénominateur de jr, et alors les Talears générales de a: et de j* seront

W—bV

__ aV—ka!

•^— ab'—ba''

ab'-^ba"

Chacune d'elles peut immédiatement se déduire de l'autre. En effet, il est évident que les mêmes calculs qui font trouver or, doi- ^nt donner^ en changeant partout a en ^ et ^ en a, sans d'ailleurs toucher aux accens. Donc, en effectuant ces changemens dans la Talenr de x, on doit trouver celle de j*. Une remarque anal<^e s'applique aux cas que je vais traiter.

]27« Considérons maintenant trois équations générales entre trou inconnues. On peut les représenter ainsi :

ax +ij'-H? z=^k ,

Il4 LEÇOffS d'aLGKBRE.

Après avoir multiplié la i*^^ par une indéterminée m, et la â* une indéterminée n, ajoutons-les, puis de la somme retranch la 3°. Dans Téquation résultante^ on pourra faire'disparaître d( inconnues, en disposant des deux indéterminées de manière ^ les multiplicateurs de ces inconnues deviennent zéro ^ et en si ou en tirera la valeur de Tinconnue restante. L^équation rés tante dont il s'agit est ^

{am+a'n—af') x+{bm+b^n—b")y+{cm'\^(/n—c") z

Si on veut faire dispare^tre j* et z, il faudra déterminer 772 < par les deux équations

bm'\'b^nssb^y cm+c'/2=c"5 et Ton aura

km+i/n—k"

Les deux équations qui déterminent m et tz se déduisent évidc meut des deux équations générales traitées dans le n** précède en y remplaçant

les lettres x^ j-, a, b^ h^ a! ^ V^ ^, par 771, 71, by b\ ^, c, c', &-^

donc, pour avoir m et /z, il suffit d'effectuer les mêmes chanj mens dans les formules qui terminent le n**cité. De cette manié on a

^çf/f—yj' . bd'—cb" '^^'^ bd-^cb^ ' ^ - bd—cb' '

et en mettant ces valeurs dans celle de x, il vient

^ h {dv—ye^) j^v {ibd'—cb") — k'jbd^cb')

a [db"—b'd^) +«' [bd'—cb") —a" {bd—cb'y

Pour Uouver j-, on fera disparaître x et x en posant

am-^a'n = a" , c772-f-c'/i = c".

La comparaison de ces deux équations avec celles du n' précède donne

LIÇORS D ALGEBRE.

Il5

xfa"'^afc"

ad' — ca"

a(/ — caf ac — ca'

^ifÊX Boite on trouve

Enfin, pour connaître z^ on posera

am-^afn = a" , bm-^b^n = b^ 5 ielà on tirera

ab' — ba

ab'—baf '

par Buite il viendra

h {h' (f^afb") + ^ {ab'''-bif) — F {ab'—bd) ^~c{(/a''—afb'')+d {ab^'—bc^')—d'{ab'—bi^)

Ed effectuant les multiplications indiquées dans les valeurs x^ji'y Zy et en changeant les signes du numérateur et du dénoileur dans la. première et dans la dernière, on pourra écrire ;t,|Mtrob valeurs comme il suit :

hVé—kd b"+ck'b"--bk' d'+bdk" —cb'k" *— abfd'—adb"+ca^b"—ba'd'+bca"''cb'af' '

^^ ab^d'—adb"+ca'b"—ùa'd'+bda"—cb'a" ' abfk"—aJi/b"+kdb"-'bdF+bk' a"—hb'a"

23sr

ab'd'^adb"+ca'b"^ba'd'+bda"'^cb'a"'