Soient encore les quatre équations générales
ax '\*by -f-cz -f-<fw = l' y a!x -f-Z>'/ -f-c'z +^' M = A' , a"x+by+(^^'z +d"u = F,
a^x+by+c^z+cf'u = r .
£q multipliant les trois premières par troisindéterminées /71, 72^p, it alors la somme de ces équations, et retranchant la qua<sme, on a une équation de laquelle on fera disparaître trois >miueB en égalant à zéro les multiplicateurs de ces inconnues. Il it ainsi trois équations pour déterminer les valeurs de 777, 71, /; ,
Il6 , LEÇON» D'aLGÈBIUI*
puis au moyen de ces valeurs on aura celle de Tinconnue res« tante.
129. Ces calculs ne sauraient offrir aucune difficulté, et peuvent s'étendre à tant cTéqu^tions qu'on voudra. Mais en observant avec attention la composition des formules trouvée^ précédemment pour deux et pour trois équations, on a découvert des règles générales au moyen desquelles on peut obtenir sans calcul les formules qui conviennent à un nombre quelconque d'équations. T -^
Premihre règle. Avec les deux lettres û et 6 formez les arran-^ gemens ab et ba^ puis interposez le signe — entre eux, on aura
ab — ba.
S'il n'y avait que deux équations à résoudre, on mettrait un ac* cent à la 7.^ lettre de chaque terme ^ et le résultat aV — bd sérail le dénominateur commun des valeurs de x et de j*.
SU y a trois équations, on fera passer, la troisième lettre c à toutes les places dans chaque terme de Texpression ab-r-ba. Eu ayant soin d'alterner les signes, ab donnera abc'^acb^cab ; de même — ia donnera '•^bac-^bca — cba : par conséquent il viendra '■
abc — acb'\'cab^bac'-\'bca — cba. -
Alors on mettra un accent à la 2^ lettre de chaque terme, et deax à la S*' : on aura ainsi le dénominateur commun des valeurs de Xj yj z*
S'il y a quatre équations, on prendra la lettre J, qui sert de coefficient à la quatrième inconnue i/, et on la fera passer à tontes les places dans chaque terme du sextin6me ci-desSus ^ on aura soin d'alterner les signes dans les termes fournis par chacun d'ent)^ en commençant par -4- pour ceux qui viennent d'un terme pré»v cédé -du signe +> et par — pour ceux qui viennent d'un termf précédé du signe — 5 enfin ou mettra un accent à la 2* lettre,^ deux à la 3^, et trois à la 4^. On aura ainsi le dénominateur com* l mun des quatre inconnues Xjj-yZjU. j^
S'il y a un plus grand nombre d'équations, on continuera in^ la même manière. g
Deuxième règle. Quel que soit le nombre des équations^ leÉ^ numérateurs des incennues pourront se déduire de leur âénonuot^
LEÇôiri d'alqiîbii. 117
Inr oommnn ; et à cet effet, il suffira d'y remplacer, sani toucher mt acceos, la lettre qui, dans les équations, sert de coefficient à linconnue qu'on veut trouver , par la lettre b qui représente k terme connu placé dans le second membre. Ainsi, on changera • ta if pour aToir le numérateur de :r ^ b en k pour avoir celui kjr^ «te.
Les deux règles que je viens d^exposer se vérifient sur les for-
Jiules qui ont été trouvées pour deux et pour trois équations ;
.|Biif nne dànonstration est nécessaire pour prouver qu'elles s'étendent à tous les autres cas. Je vais rapporter, à quelques chanpmens près, celle qu^a donnée M. Laplage dans les Mémoires de f Académie des Sciences pour P année 1 77 1 , et qui a été adoptée |ir M. Caugbt dans son Cours d'analyse à VEcole pofytech*
Bl
Dénumsiration des règles précédentes,
t3o. Je supposerai qu'on ait n équations du 1" degré à n incon* iDei; et, solvant la notation employée jusqu'ici, je représenterai ces équations ainsi :
( ûa*-f- ^+ cz-f" <^w-f--««==^',
r , 1 J ^x+by+ c"z4- d"u+ . • . =F,
Les points placés après un terme tiennent lieu des termes qui doï< vent venir après lui ; et pareillement les points écrits au-dessous delà 4* équation remplacent toutes celles dont elle doit être sm'vie.
Je nommerai R la quantité qu'on forme d'après la première règle, dans le cas de ces équations , et je vais d'abord présenter à r^ard de cette fonction plusieurs remarques sur lesquelles repose t^te la démonstration.
1% Par la manière même dont la fonction II est composée , il tu évident que l'ensemble de tous ses termes, abstraction faite des lignes et des accenS| renferme les différeas arraogemens qu'on peut
Il6 LEG09S D^ALeiÈBRB.
former âvec les n lettres a, h^ Cyd...j qui servent de coefiicieiiB aux inconnues :r, ^ , x:, u.»., en écrivant ces n lettres les unes àlft suite des autres , et en les changeant d^ordre de toutes les manières possibles.
a». Il est évident aussi que, dans chaque terme de R, il y a une lettre sans accent, une lettre avec un accent, une lettre avec deux accens, et ainsi de suite. .
3°. Les termes afiecjtés du signe ^ sont ceux où , en comparant chaque lettre avec chacune de celles dont elle est suivie, on- trouvera que les inversions alphabétiques sont en nombre pair ; et les termes affectés du signe — sont ceux où le nombre de ces inversions est impair. Par exemple, si un terme contenait quatre lettres rangées dans Tordre dacb^ comme il renferme trois inversions paz rapport à dy elune par rapport à c, ce qui fait quatre invcrsionc en tout, il devrait avoir le signe -f-*
Lorsqu'il u^ a que deux inconnues, la vérité de cette remarqua est évidente; car alors, en faisant abstraction des accens, R es' ab-^ba^ Si on fait passer la lettre c à toutes les places dans ab^ \i 1*' terme aie n'aura point d^inversion , \^n^ jack en aura une, 01 le 3* cab en aura deux : aussi le i**^ est-il précédé de -f*, le a* de ^— , e\ le 3« de +. Quant à — bcf, le i " terme qu'Ç fournira n^aura pas plus dlnversions que ba , le 2« eu aura une "-de plus , et le 3** eo aura deux : aussi le i«' est-»il précédé de —, Ip a* de +, et le 3*: de — . Si on fait encore passer la lettre dk toutes les places dans chacun des six termes qu'on vient de former^ comme chacun de ceux-ci^ est composé des lettres a, by <?, qui précèdent d dans l'alphabet, on ne changera pas le nombre des inversions en mettant ^àks fin d'un terme : aussi alors le signe reste-t-il Se même. En av8ii*> çant d d'un rang vers la gauche , il y aura une inversion de pins : aussi le signe change- 1- il. En l'avançant encore d'une place, il s'introduit une nouvelle inversion , et il vient un nouveau changement de signe. Ainsi de suite.
4**. Dans la fonction R , deux termes qui , ahstraction faite dés accens, ne diffèrent l'un de l'autre que par nn simple échange^^ entre deux lettres, doivent avoir des signes contraires. En effet i, supposons que ces deux termes ne soient différèùs que par P^t change de a et c, tels que sont les termes nd^Vd' et eéfIfiPxx
LEÇONS DALGEBBE. II9
faut déduire le second du premier, on peut imaginer que la lettre • passe successivement après chacune des lettres qui la suivent pour venir se placer après c, et qu'alors la lettre c à son tour re- Bonte sacecssivement jusqu'à la place qu'occupait a. Far là rechange des deux lettres a et c se trouvera effecluë Or, chaque déplicement successif amène cvîdemment une inversion de plus ou de moins, et par conséquent aussi un changement de signe ^ d'un t| ntre cÀtë, la lettre qui descend doit parcourir une place de plus i.l fse celle qui remonte : donc, définitivement, les deux termes 3! iMvent être de signes contraires.
ibl 5*. Si , dans la fonction R, l'on ajoute ou Ton supprime un égal 0I lombre d^accens à toutes les lettres semblablement accentuées , la fanction R deviendra nulle d'elle-même. Four fixer les idées , ,g|jipp08ons qu'on remplace partout a'j b' ^ c^ y,, par d^^ Vj c'%... ttque l'on considère en particulier le terme qui contient o! eic"'. fdigae tous les arrangemens qu'on peut faire entre les n lettres J.i, bj c,... se trouvent dans R (i"*;, il doit y en avoir un qui ne i^k JiSbre de celui que nous considérons que par le simple changc- >^i lenl de a' en 0^ et de c' en a!'j donc, lorsque dans R on rem* place a', l/y cfy.., par a!", V^ c'",... ces deux termes deviennent %attx. Mais, en vertu de la remarque précédente (4°Jj ils doivent SToir des signes contraires^ donc ils se détruisent. Le même railODuement s'applique à chaque terme de R; donc R doit devenir zéro.
Maintenant revenons aux équations [i]. Gomme toutes les lettres a^ by Cy... se trouvent dans chaque terme de R, et chacune avec un nombre différent d'accens, on pourra mettre R sous ces différentes formes,
R= Aû+A' û'+A V+ . . . , R=fi6+B^^'+BW+. . ., R=Cc+CV+CV+...,
A, A', A%... désignant des quantités qui ne contiennent plus la lettre a; B, B' B'',.»« désignant des quanlilcs qui ne contiennent pins la lettre 6^ G, G', G^',.*- désignant des quantités qui ne eantienneut plus c \ et ainsi de suite. Il résulte de là qu'en formant, ïsr^es énoncées, les valeurs de «, /, s, on détra atoir
%70 LECOyS D^LGEBRC.
MX . »y(i
Toute la question se réduit donc à démontrer que ces valeurs sa< tisfont aux équations [i].
Substituons-les d^abord dans la première : elle devient
-1 -^- — ^~ — — k" + etc. = k. <f
ObseiTons que Aa contient tous les termes de Roù se trouve. le q facteur a, que Bb contient tous ceux où se trouve i, que Ce contient tous ceux où se trouve c, etc.; donc R=Aû+^^"i"^"4"**'^ En répétant un semblable raisonnement, on reconnaît que la fono-^it tion R peut encore s'écrire sous ces différentes formes, ^<
R= A'û'-t-B'^'+(yc/ + . . . , •
R= AV+BV+CV4- . . . , '
etc.
Cela posé , il est éyîdent que , dans Téquation [2], le premier numérateur est égal à R, et que les suivans ne sont autre cho$e^ que la quantité R où Ton aurait mis a, 6, c,. • • à la place de< û% ^^ c', . . ou de a"j h", c",. .etc. Donc, en vertu de la 5** remar-i que, ces derniers numérateurs sont nuls d^eux-mcmes; et parsuite Féquation [2] se réduit à k=:k. Donc les valeurs de :r,^, z,... satisfont à la i'* des équations [i]. Il est clair que la même vérification a lieu sur les autres équations ; par conséquent Fexacli' tude de ces valeurs se trouve démontrée.
JJiscussion des formules fournies par les équations générales du i" degré,
ji3f • Dans les cas où le dénominateur R se réduit k zérO; 1m
LECOKfi D^ALGEBBE,
tdl
«diiplicateurs de k'^ F,. • • dans Fëquation [ti], deviennent 4? et tlors on ue voit plus comment les équations données sont vérifiées. Ge sont ces cas particuliers que je me propose d'examiner
Je supposerai d'abord qu'il n'y ait que les deux équations
[i] ax-^bjr^zk,
[a] afx'^'b'j' = f 5
et p:ir conséquent que les valeurs générales de x et dey soient
ab'-^bd '
Pranier cas particulier. Admettons que le dénominateur soit léro, sans qu'aucun des numérateurs le soit . Alors on a
kb^—bk' aV-^kd
Les valeurs de » et de / sent donc infinies : c'est-à-dire que, pour iatift£dreaux deux équations données^ elles doivent surpasser toute grandeur assignable.
aU . De régalité aV — Aa'=î o, on tire fl'= -y- ; et par suite l'équation [2], en y mettant cette valeur, devient
^x+A'jr-^, d'où b'{ax'\'bj')=:by.
Le premier membre n'est autre chose que celui de l'équation [i] multiplié par b^ ; donc il faudrait que la même relation eût lieu entre les seconds membres, pour que des valeurs de a; et de y pussent vérifier à la fois les équations [i] et [2]. Donc on devrait •voir bhftsiVk ou hb' — bJi/=o j donc le numérateur de x serait ^gal à zéro, ce qui est contraire aux hypothèses.
De cette manière, l'impossibilité de trouver des valeurs de x et iejr qui satbfassent aux deux équations h. la fois est bien en évidence 9 mais elle est encore mieux caractérisée par les valeurs infinies, lesquelles, tout en montrant cette impossibilité, font voir de plus qu'elle vient de ce que les valeurs des inconnues sont trop ptndes pour être assigncest Et en effet, on peut imaginer que
Ï22 LEÇ0H8 D^LOEBEE*
aV^^té soit d'abord une très-petite quantité. Alors les valeurs de jr et deviseraient très-grandes, mais elles satisferaient toujours aux équations ; donc^ au moment oii aV^^ba! devient zéro, si on ne peut plus opérer directement de vérification sur les équations, c'est uniquement parcQ qu'alors x^iy surprissent toutes les grandeurs assignables ('^).
Deuxième cas particulier. Supposons que le dénominateur soit nul en même temps que Fun des numérateurs : par exemple, qu*on ait
çiy—ha'=o , hU -'bk' = 0.
Je dis d'abord que l'autre numérateur ah^ — ha' est aussi égal à zéro. En effet, les deux égalités ci-dessus donnent
ab' ,. hh
et par suite il vient, pour l'autre numérateur^
y , , aW haW
Si d'abord on avait supposé ce numérateur égal à zéro, on aurait prouvé semblablement que celui de x doit aussi être zéro.
De là il suit que, dans les hypothèses où. nous sommes, on doit avoir
Par eux-mêmes, ces symboles indiquent des quantités indéterminées ; je vais prouver, en remontant aux équations, qu'il doit en effet y avoir indétermination.
Substituons dans l'équation [2] les valeurs de af et de V troo-vées plus haut, elle devient
— * + i'jr = -T-, d'où 7-(«*+*J-)=r^-
{*) Considérées par rapport à la question dont les équations expriment le» ccmditionsy les Taleurs infinies peuvent être quelquefois une solution de cett^ question. L'application de Talgèhre à la géométrie en fournit des preuves nom— breuscs : entre autres exemples, je citerai celui oii un angle est inconnu, et oî*| Ton trouve pour sa tangente une valeur infinie ; il est clair qu'alors Fangle scn» droit. • ^
LEÇONS d'alobbu. i;;|3
Alors on voit qu^dlé peut se former en mullipliantles deux mem-
bres deréquation [i] par -j-'^ donc toutes les valeurs Ar x et j^
qn| sati^foixt k Tune des deux équations doivent aussi convenir à Tantre. Or, si on donne à x successivement lelles valeurs qu'on voudra, et qu'pnles substitue dans l'équation [i], on pourra, de celte équation,' tirer des valeurs correspondantes de j^; et de cette manière on aura toujours des solutions qui conviendront à cette équation. Donc, puisqu'elles doivent aussi convenir à la seconde, on est en droit de conclure que les équations proposées admettent une infinité de solutions. Ainsi, c^est avec raison que les formules de Falgèbre donnent alors des valeurs indéterminées.
Toutefois il ^i|t bien remarquer que Tindctermination ne va point jusqu'à permettre de prendre telle valeur de x et telle valeur dè^ qu'on, veut : car l'explication précédente montre que Tune des inconnues doit toujours se calculer au moyen de l'autre.
Le cas actuel comprend celui où l'on aurait i&c=o, Vsso, aV — haf:s=.o : car alors x et j* deviennent ^. Si on remonte aux équations proposées, elles se réduisent à celles-ci,
û*+^=o, a'ar+i'j' = o.
Elles donnent respectivement
Or, de riiypothèse ab! — iû'=o, on tire 7=77 j donc les deux
^1 tàlenrs de y sont égales quel que soit Xy et par conséquent il y a véritablement indétermination.
Cependant il est à remarquer que si on prend le rapport de jr à Xy il sera déterminé : car on a
et '• Dans ce qui précède, on s'est servi des valeurs af s= —, h'=i —• et par conséquent on a admis tacitement que le coefficient b était
ia4 LCÇOVS D'ALcisBRr.
différent de zéro. On pourrait aussi considérer les cas où il est nul i mais je laisserai ces délails de c6té. .
i32. Je m^abstiendrai aussi de discuter les formules relatives à plus de deux équations. Seulement je ferai à ce sujet quelques * observations, dont l'objet est de prémunir contre une fausse conclusion à laquelle on pourrait se laisser entraîner par Fanalogie.
Dans la discussion du n^ précédent , on a pu remarquer que les inconnues a; et^ devenaient k la fois toutes deux infinies^ ou toutes deux indéterminées. Or, Terreur dont je veux parler serait de penser que, si au lieu de deux équations on en a plusieurs^, les valeurs des inconnues devraient aussi devenir à la fois toutes infinies ^ ou toutes indéterminées.
Supposons, par exemple, qu'il y ait trois équations. Le dénominateur commun des trois inconnues «, j*, Zj est
et il peut s'écrire de ces trois manières
'K=:c{céb"'^b'a") +c/ {ba!''^ab")'\^d\aV—bci). Posons
De ces égalités on déduit bd^=^U , et par conséquent R devient zéro. Alors le numérateur de x^ qui se forme de R en changeant a, a\ a'\ en ir, F, F, devient Zéro aussi. Mais conune le numérateur de 7* se forme en mettant Ir, V, k* dans JS, à la place de 6, b'y b"j il n'y a aucune raison pour que ce numérateur devienne zéro, à moins qu'on n'établisse quelque nouvelle hypothèse. La même chose peut se dire de celui de z. Ainsi la yalenr de x peut être indéterminée, tandis que les valeurs de ^ et z seront infinies.
Le lecteur, qui youdrait une discussion plus complète des for* mules fournies parla résolution des équations générales du i«' degré, devra consulter le traité d'algèbre de MM. Mayee et Ghoqvet.
LEÇ0K9 PAIGKBAC. 12S
