CHAPITRE VIL

Analyse indéterminée du i" degré.

Résolution de Véquation ax-4-by=c en nombres entiers.

i33. Si on propose de résoudre une équation du 1*' degré à deux inconnues x etj-, on peut donner à Tune d'elles telle yaleur qu'on veut, et Féquatîon fait connaître une valeur correspondante de l'autre inconnue. Par là on voit que Téquation admet un nombre infini de solutions; et, pour cette raison, les deuxinconnaesprennent alors assezordînairementlenomd'//tJ^^r#7i//tde^. Le nombre des solutions ne sera plus autant illimité, si on exige que les valeurs de x et de j- soient entières ; et il le sera moins encore si on vent qu'elles soient à la fois entières et positives. Des conditions de ce genre ne peuvent pas s'exprimer par des équations : je vais montrer comment on y a égard.

1 34* Je ramènerai d'abord l'équation à la forme

ax'^^lfj'^zCy

Oy bj c étant des nombres entiers quelconques^ positifs ou négatifs; et comme tous les facteurs qui seraient communs à la fois à ces trois nombres pourraient être supprimés, je supposerai qu'ils l'oot déjà été. '

Cela posé, je ferai remarquer dès à- présent un cas où il est impossible de satisfaire à l'équation avec des valeurs entières de :r et de^ : c'est celui où, après la suppression dont on vient de parler, a et 6 auraient encore quelque facteur commun. En effet, quelques valeurs entières de x et àc jr qu'on substitue alors dans l'équatioDy le premier membre serait divisible par le facteur commun iaetk bf tandis que le second ne le serait point ,* par conséfOjent réalité est impossible. Cest pourquoi je regarderai tou«

126 LEÇONS B^ALGÈBAE.

jours dans la suite aet ô comme premiers entre eux. On n'exigera pas d'abord que x et j* soient entiers positifs, mais entiers seulement.

i35. Pour le moment^ laj question est donc celle-ci : Etant donnée Téquation

[i] ax+bjrz=Cy

dans laquelle a^ by c, sont des nombres entiers quelconques dont les deux premiers n'ont aucun facteur commun , on demande pour X eiy tous les systèmes de valeurs entières qui satisfont à Téquàtion. Je ferai le raisonnement comme si les coefficiens a et ^ étaient positifs, mais on apercevra sans peine qu'il s'applique aux autres cas.

La question n'aurait aucune difficulté si le coefficient d'une inconnue y àe J'y par exemple, était égal à Tunité. L'équation donnerait sur4e*champy=c — aXy et il est évident qu'en prenant pour X un nombre entier quelconque, la valeur correspondante de j* serait aussi entière.

Supposons que ni a ni 6 ne soit égal à i , et que b soit <Ca* De l'équation on tire d'abord

c — ax

Divisons a par by nommons q le quotient, et r le reste ; on aura a^^bq-^Vy et par suite

c — {bq'\-r)x . c — rx

On veut que x et y soient des nombres entiers : or, en donnant à X une valeur entière quelconque, la partie — qx sera entière ^ donc, pour que j* ait aussi une valeur entière, il faut cbercher les

valeurs entières de x propres à rendre — r— égal à un nombre entier. A cet effet, posons l'équation

[2] — =rf OU rx^btz=zc y

t désignant une nouvelle indéterminée y et la question est réduite

à résoudre cette équation par des valeurs entières de x et de /. Si le reste r était égal à Tunité, la recherche serait donc terminée.

Supposons r>i : on résoudra Féquation ci-dessas par rapport à Xy dont le coefficient est moindre que celui de t^ et on aura

c — bt

En nommant ^ le quotient de b par r, et r' le reste, il viendra

c — fr^-Lr')f , , c — r^t

a: = ^-î — i- = — .cr'f^ :

ei comme t doit être un nombre entier, on voit qu'il faut choisir

ce nombre de manière que soit un nombre entier. C'est

pourquoi Ton pose

[3] £1111^=:^^ ou r't+rl'=c,

t étant une nouvelle indéterminée ; et la question est réduite à résoudre cette équation par des valeurs entières de t et <^ Toute recherche serait donc terminée si l'on avait /^=i. Mais soit r'^-i. La dernière équation donnera

d'où, en nommant q" le quotient de r par r^, et r'' le reste , on

aura.

c— (r'^^+r'Or^

On posera de nouveau

[fl

y =t" ou r^/'+r^/^rrc,

tétant encore une nouvelle indéterminée; et Ton aura à cher- <^r les solutions entières de cette dernière équation.

La marche du calcul est maintenant assez évidente; et l'on voit dairement que la question devra être regardée comme résolue j dès -|^lf&'oQ parviendra àxune équation dans laquelle une indéterminée lima pour coefficient l'unité. Or c'est ce qui ne peut manouer

d'arriver : caries coefficiens r, K, r^... qui entrent dans les dqua* lions auxiliaires [2], [3], [4J9*-* sont les restes successifs qu'on obtient eu opérant y comme si on cherchait le plus grand commun diviseur de a et de 6.

Pour fixer les idéeS| supposons que r" soit égal à i; Féquatlon [4] donne

Les raisonnemens par lesquels nous sommes passés ont montré que ' ty t'j l" devaient être des nombres entiers. Ici on voit qu'en donnant à i" telles valeurs entières qu'on voudra, t^ sera toujours entier ; et dès*lors il est clair que les indéterminées précédentes, en remontant jusqu^à x et j-, seront aussi entières. Ainsi Téquation proposée admet une infinité de solutions en nombres entiers (^ •

Mais on peut se dispenser de calculer les indéterminées intermédiaires/ et t': car il est facile d^avoir des formules générales qui expri* ' ment immédiatement en fonction de t" les indéterminées primitives aretj*. Pour y parvenir, remarquez que les valeurs de 7*,^, f et /', k cause des équations [2], [3], [4J, [S], peuvent s'écrire ainsi :

Mors on voit sur-le-champ qu'il faut substituer la valeur de f* dans celle de t ; puis celles de t et /^, exprimées en f^y dans celle de X ; puis enfin celles de x et tj aussi exprimées en t" dans celle dej^.

(*) Si a et & n'étaient point premiers entre eux , l'impossibilité d'svoir dc^ valeurs entières pour x etjr serait mise en évidence par la méthode mêate. F»^ effet , alors dans la suite des restes r, r', 1 '', ... il y en a un qui divise exactement le précédent, et qui est le plus grand commun diviseur de a et de ^ : 0»— posons que ce soit r", et qu'on ait r^=h^\ L'équation [4] donnera

et de là on conclut qu'il n'existe aucune valeur entière de t^' qui ninde if oiti^r^ à moins que i^^ ne divise aussi c. Cest précisément le cai d'iapoMibllté q«l ^ été d^à remarqué (134).

Le snoccs de la méthode précédente est fondé sur la diminu-* don progressive que la division opère dans les cocffidens des îndéterminëes ; mais rien n^empêche de diviser aussi le terme cou'^ stant qui se trouve dans les équations successives. De cette manière, le calcul renfermera des nombres moins considérables, et cet avantage n'est pas à négliger. *•

1 36. Pour exemple, soit Féquation

Comme le multiplicateur de x est ici moindre que celui de j', c'est par rapport à x que je résous Fcquation : il vient '

En divisant 8 par 3, on trouve le quotient 2 avec le reste 2 ^ et eu . divisant 4^ par 3, on trouve le quotient i4 avec le reste i , donc I ona

a:==2^^+i4 + 32:ii==îy-+i44./,';

en posant

De cette équation, on tire

3^ — 1 , /-ri , ,

,| m remarquant que 3=2Xt+i> et en posant

Comme dans cette équation le coefficient de t est Funité, on aura

'''\ et Ton pouiira donner à tf toutes les valeurs entières possibles. Au moyen de cette valeur, on trouve

pois, en remontant à or, il vient

xi2y-|.i4-|.|=sa(3<'+i) + i4+a<' + i=84'+J7.

l30 USÇOVS DALCBBBI.

Aiiiiii les formules qui expriment j- et Xj en fonctions de i'^ «ont

En donnant à tf les valeurs f^s=o, i, â, 3,* • . on trouvera

J^= ï> 4? 7» 10, etc.

On pourrait aussi donner à 1^ les valeurs négatives <'= — i , — 2, —3, etc.

137. Dans l'exemple ci>-dessus, les valeurs de^ et de x forment deux progressions arithmétiques, dont la première a pour raison le nombre 3, coefficient de x dans Féquatîon proposée; et dont la seconde a pour raison le nombre 8, qui est le coefficient de y^ pris avec un signe contraire. On pourrait reconnaître que cette ptopcjsition est générale, en efiectuant les substitutions successives dont il a été parlé à la fin du n* 1 35; mais la démonstration suivante est préférable.

Par l'analyse du n* cite, on est certain que ^équation

[1] ax-^-ijrr^c

doit admettre une infinité de solutions entières, quels que soient les signes et les grandeurs des nombres aeX. b^ pourvu qu'ils soient premiers entre eu<. Supposons qu'une de ces solutions soit

Ces nombres devant satisfaire à Téquation [i j, on aura

En retranchant celte égalité de Fcquation [i], il vient

a(a:— A)+*(^— B) = o5 et de là on tire

Les valçurs de x doivent être entières, et telles que^ «oit anstfivB nombre entier; donc le produit^0(As— x) doit être divisible ftar i.

UEÇOyS D*ALGtBftE. tSi

Or a est premier avec b ; donc A— a: doit être un 'uiultiple de h (^}. On posera donc

A — X=:Ôtj

t désignant un nombre entier quelconque; et par suite on aura

a:=A — bty ^ = B+ûf.

Ces formules mettent en évidence la loi des valeurs qu^on obtient pour X et j-, quand on donne à t successivement toutes les valfprs entières. Si on prend / = o, i , 2, 3, . . • • il vient

x==iAf A — b, A — ^by A — 3ô, etc.

j-=:B, B + fl, B + 2a, B+3a, etc.^

et si on prend /= — i , — 2, — 3 • . . . , il vient

a:=A + ^j 4+2^, A+3&, etc.

.j-=B— '^7, B — 2tz, B — 3ûr, etc.

En général , quand t croît d^une unité, 7* augmente de a, et x augmente de — ^. Donc les solutions entières de T équation ax-}bjssc sont les termes correspondans de deux progressions arithmétiques. Dans la progression relative à chacune des in^^ déterminées x eOr> ^^ raison est égale au coejfficient de Vautre indéterminée. Mais il faU9 avoir soin de prendre Vun^ de ces coefflciens avec le signe quil a dans V équation ^ et Vautre at^ec un signe contraire.

Il est d^ailleurs tout-à-fait indifTcicnt que ce soit le coefficient de^ ou celui de j" qu'on prenne avec un signe contraire : car, dans les formules qui expiiment x eij'y on peut changer les signes des termes -\'bt et — al, attendu que Findëtermince t peut recevoir toutes les valeurs possibles, positives et négatives.

i38. La proposition qu'on vient de démontrer donne le moyen d'obtenir sur-le-champ toutes les solutions entières d'une équa-

(*) Si M/? nombre premier divise un produit de deux facteurs, et i'i/ est premier par rapport à Vun d^eux, il deura diviser t autre. On peut regarder cette proposition comme connue par l'arithmétique ; et d'ailleurs elle fera dé-montrée plus loin , chap. XII.

|32 tEÇ0K9 P^AtOisHS.

tlon de la forme ax-^^by^scj des qu^on en connaît une seule. Ainsi, réquatioQ

étant proposée^ on reconnaît, après quelques tâtonnemens, qu'elle , est satisfaite par a:=2, j'=i y et dès-lors, en observant que -f^ et — 5 sont les coeffîciens de :r et de / dans Téquation, on pourra poser les formules générales

En faisant / =0,1, 2,3,* •• et/=— i, — 2, — 3,«.. onausâlles solutions de Téquation. » : .

iSg. Dans Téquation générale, supposons c=o y elle devient

et comme alors elle admet évidemment la solution x^o et j^=o, les formules générales seront

Si on veut trouver directement ces résultats^ on tirera de Fé-

quation la valeur ^-=5 j- • puis on remarquera que aei b étaut

premiers entre eux, les valeurs entières de :r qui rendent j- entier' doivent être multiples de b. Donc, t désignant un nombre entier quelconque, on doit avoir x=zbt, erpar suite ji«F-*^a/.

Exemple Six — 227-=o,

on aura :c=22/, yz=3it,

i^o. Supposons c multiple de a ou de b^ Soit cssbd : l-équa-

tiou à résoudre sera

ax-^byc^bd.

Elle a évidemment pour solution :rs=o , ^ssi/ y donc les valeun» générales seront '

De Téquation on peut tirer x=s: ^ ^^^ et de 14 ou couda*

que d—jr doit être un multiple de a. On posera donc d—y=at^ et par suite on retrouve les formules y=éf— -a/, oc:=bt.

Exemple.. 5x — 7/=2i.

LKÇÔ5S D*AUàB&E.

bi la folation ëvldcntc de rdquation est x conséquence les valeurs générales sont

iS3

— 3j et en

141 • J'indiquerai encore deux simpliGcatious qui se rencontrent ipelqnefois dans les calculs. Un exemple suffira pour les comprendre*

Soit Téqualion

Od en tire d'abord*-

Si on diyîse 80 par 17, on a 8o=i7X4'i~i2 9 ™^^^ comme le reste. la surpasse la moitié du diviseur i^ , je ferai remarquer qu'on peut écrire

Cest«àrdire qu'en augmentant le quotient d'une unité ^ on aura nn reste n^atif moindre que la moitié du diviseur, ce qui opère dans les nombres une réduction plus- rapide. Quant à la division de 3g ^^x^i^y elle dojrne 39=17X2+5, et il n'y a point lieu à changer le reste 5. En cons#|uence on aura

Mais il se présente encore une autre simplification , laquelle r&olte de ce que 5 est facteur dans 5:c+5% En cdet, ce numéxitcur se décompose en 5(j:+i), et comme le dénominateur 17 n'a aucun facteur commun avec 5, il s'ensuit que pour rendre le produit 5(z+i) divisible par 17, il fe.ut prendre or+i égal à vn multiple quelconque de 17. C'est pourquoi Ton posera TéquatioQ auxiliaire

(t par suite on trouve

xssr 17*— I, ^'csSo; — 7.

^'ix

i34 LJEÇONI J> ALGEBAS.

Résolution de Véquaiion ax-t-by=c en nombres entiers positijs. Application à des problèmes. Remarques sur les inégalités,

142. Quand on veut résoudre Fcqualion ax-\-bjr=rc en nombres entiers positifs, on commence par faire les calculs comme si les nombres devaient être entiers seulement; et, d'après ce qui précède, on a, pour x etj-, des expressions de la forme '

Mais alors, au Jieu d'attribuer à t toutes les valeurs entières possibles, on ne doit plus choisir que celles qui rendent x eljr positifs. De là résultent pour t certaines limitations qui sont toujours faciles à déterminer. '

Eu premier lieu, considérons le cas où a et ^ sont de même signe dans Téquation

[i] ax+bvssc.

Je les supposerai positifs, parce que,8Ml8 étaient négatifs , on pourrait les rendre positifs en changeant tous les signes de Tëquation. Je supposerai aussi c positif : autrement Féquation serait impossible en nombres positifs.

Ecrivons les valeurs générales de a? et ^ sous cette forme.

Alors on voit que , pour rendre x positif, il faut et il suffit qu'on

prenne ^<Ct^> et pareillement, pour quej* soit positif, il faut et

il suffit qu'on prenne t'^ . Donc, pour n'avoir que des solu-

lions positives et entières, on ne devra attribuer à t que les valeurs entières comprises entre les deux limites

Toutefois il faut remarquer que les signes > et <C n'excluent pas l'égalité: c'est-à-dire que si la première limite, par exemple ^

LICOUS D^ALeSBU. t35

était nn nombre entier 71, on pourrait faire tssn. La râleur corretpondante de x serait xsso.

De ce que t doit être un nombre entier choisi entre (feux lîml* tes, il s^ensuit que le nombre des solutions de Fëquation est luimême limité ; et c^est ce qui est évident d'ailleurs sur Féquation mâme. En effet, a et 6 étant positifi, si on substitue pour xetjr des nombres positifs, les deux termes ax^-^by seront toujours positifs ; et comme leur somme doit rester constamment égale à c, il est impossible qu^aucun des deux termes augmente indéfiniment.

Il pourra.se faire qu'il n^y ait aucun nombre entier entre les limites assignées ci-dessus pour / / alors on conclura que l'équation est impossible. C'est ce qui arriverait si ces limites étaient resserrées entre deux nombres entiers consécutifs, <9omme sont celles-ci. «>47 et ^<4fj ^^ bien encore si elles étaient contradictoires, comme, par exemple, <>'4t ^t '<3|.

En second lieu,' considérons le cas où aet b sont de signes contraires. Supposons qu'il s'agisse de l'équation

[2] ax-^bj-ssiCj

dans laquelle a eib représentent deux nombres positifs. Alors les valeurs générales de ^ et de j* sont de la forme

Or, on peut les écrire ainsi'

et sur-le-champ- on reconnaît que, pour rendre x et j* positifs, il

ËLut avoir à la fois

C'est-à-dire qu'on peut attribuer à t toutes les valeurs entières audessus de la plus petito^e ces limites (sans exclure Tégalité , si cette limita est un nombre entier).

Par là on voit que l'équation ax'-^hy=^c admet toujours un nombre infini de solutions entières et positives, tandis que l'équation aX'\-'bj=-c n'en a jamais qu'un nombre limité, et même peut B^en pas aToir dn tout.

)36 ' i«£<;oir$ D'AtoèaRs.

Appliquons ce qui précède à quelques problèmes*