CHAPITRE X

Puissances et racines en général.

Puissances et racines des monômes, Exposans fractionnaires»

201. Soit un produit pqr. , . , et ;z uu nombre positif quelconque : ou a

{pqr. . .)" znpqr, . .Xpqr. . .yc^pqr* • .X etc. =^ppp . • . X ^7^- • • X '*':''• • • X etc.

donc on élève un produit à une puissance en élevant chaque JaC" teur à celte puissance.

S'il s^agit d'une quantité a"" qui a déjà un exposant, on aura

(û"*)'» = û'»Xa"*Xû"*X. . .=tt"H-'»+«+- • • = a'"'»;

donc on élève à une puissance une quantité qui est déjà affectée d'un exposant j en multipliant cet exposant par le degré de la puissance.

Si Ton veut élever à une puissance un monôme quelconque, on peut le regarder comme un produit , et en conséquence élever tous les facteurs à cette puissance : or cela revient à élever le coefficient à cette puissance et à multiplier tous les exposons par le degré de cette puissance.

Lorsqu'une quantité est positive, toutes ses puissances sont positives; mais lorsqu'elle est négative, il est clair, d'après la règle des signes, qu'il y aura + devant la 2" puissance , — devant la 3*, -|- devant la 4^, etc. Ainsi, en général, quelque soit le signe d'une quantité y les puissances paires de cette quantité ont le signe -4-, et les puissances inf paires conservent le signe de celte quantité.

i^ LEÇONS dVlgÈBRX.

Au moyen des règles ci-dessus , on aurait

202. On peut renverser ces règles , et on obtiendra, pour Tex* traction des racines, les règles suivantes :

i« On extrait la racine (T un produit en extrayant la racine de chaque fadeur.

2" On extrait la racine dHune quantité qui a un exposant en divisant cet exposant par le degré ou V indice de la racine»

3" On extrait la racine d^un monôme quelconque en extrayant celle du coefficient , et en divisant les exposans de chaque lettre par Vindice de la racine,

4* Quand la racine à extraira est ^indice pair^ elle doit avoir le signe ambigu ± j et quand elle est dt indice impair y elle a le même signe que la puissance.

Par ces ligles on trouve

l^8ia'^Z>" = ±. 3û4Z,3 , y/'Zia^ofjS ^ 2,^,^ ^

\/ — Z2.a^ù^^ = — lab^.

2o3. Quand le coefficient d^un monôme n'est point une puissance exacte de Tordre marqué par Findice de la racine à extraire, < ou que les exposans des différens facteurs ne sont point divisibles ; par cet indice , la racine du monôme syndique d'abord au moyen ^ du signe y ^ puis on simplifie le radical^ comme on Fa déjà fait ,

pour le radical carré. Par exemple, soit v/g6â7^^c". On ob- ^^j serrera que g6 5=2^X3, û7asa^x«% c" = c"»Xc5 donc >

y/gboT^^ss v^2VïV5<3â»c = 2aic»v?^3â»cr

Ce$t-à-dire que, /?cz<r Bimplijier un radical quelconque, on déeonyfosela quantité sous le radical en deux facteurs^ doni Fun ne renferme que des puissances exactes de même ordre que la L racine à extraire, et dont l'autre rCen renferme aucune; puis Wlk.-

emtrait la racine du premier fadeur^ et Von indique celle di)L, second. ^n

2o4« Aucune quantité réelle, soit positive , soit n<%ative , quandv.

LEçoiri d'algèbre. 191

on relève à ùue puissance paire , ne peut donner de résultat né* gatif; par conséquent, toute expression cornposée d'un radical de degré pair ^ placé sur une quantité négative ^ représente une quantité imaginaire.

Telles sont , en supposant que a et b soient des grandeurs positives par elles-mêmes ,

Mais toutes ces quantités peuvent , de même que les radicaux carrés imaginaires (167) , se transformer en produits dans lesquels il n'entre d'autre imaginaire qu'une racine de —1. Par exemple il est dair qu^on a t

!2o5* De même que la division a conduit aux exposans n^atift , de même l'extraction des racines mène à l'emploi des exposans fraclionnaîres. D'après la règle 2" du n° 202 , si l'on veut extraire la racine 5* de ^'°, on doit diviser l'exposant par 5, et la racine cherchée est à^. Mais en se bornant à indiquer la division , on

peut écrire V a*» = a « ^

Si l'exposant de a n'était point divisible par 5 , la racine ne pourrait plus s'extraire j mais rien n'empêche d'indiquer encore la dirîaion de l'exposant, lequel aura alors pour dénominateur l'indice de la racine. Les algébristes ont en effet adopté cette con- Tention , et en conséquence ils regardent comme équivalentes les

deux expressions y a"^ et â n *

uirrangcmenSf permutations, combinaisons,

ao6« pour former une puissance quelconque d'un binôme , on conduit incidemment à résoudre une question qui exige queldéveloppemens , et dont il est bon de connaître la solution Lce. Elle fait d'ailleurs partie d'une théorie utile dans un ^ftind nombre de recherches , et surtout dans le calcul des proba-

ig^ LAGONS D ALGEBRE.

bilîtés. Cette théorie , que je vais exposer ici, est celle des arran gemens^ Aes permutations et des combinaisons,

207. Arrangemens. Plusieurs lettres, a, b^ c, J, ^,*.« étant données , imaginons qu'on les prenne deux h deux de toutes les manières possibles, en sorte que chaque assemblage de deux lettres soit différent des autres , ou par les lettres qui le composent , ou par Tordre dans lequel elles sont écrites : on aurait ainsi ce qu'on nomme les arrangemens deux à deux des lettres données. On comprend de même ce qu'on entend par arrangemens trois à trois, quatre à quatre y etc. Rien de plus simple que de composer ces difTéreus arrangemens et d'en déterminer le nombre. Le seul soin à prendra sera de suivre un ordre qui les fasse trouver tous sans en répéter aucun.

Pour avoir les arrangemens 2 à 2 , il sufïlt de placer, à c6té de chaque lettre , alternativement chacune des lettres restantes. Ce cette manière , on obtient des arrangemens tels que

abf acy ad y ae^ . • • ba, bcj bdj be^. ,.

etc 5

et en même temps on voit qu'en désignant par m le nombre, des

lettres a, ^, c, . • . et par Aa le nombre de leurs arrangemens 2 à 2,

on aura

Aa = m{m — i).

On passera aux arrangemens 3 à 3 en plaçant , après chaque ..rangement de deux lettres , alternativement chacune des lettres qui n'entre pas dans cet arrangement. Il vient ainsi

ahcy abdj ahe^ . • , achy acdy ace^ . • • etc.;

et, en nommant A3 le nombre de tous ces arrangemens 3 à 3

ou a

On s'élèverait seroblablement aux arrangemens 4 ^ 4> et^ pour en connaîtie le nombre, on aurait la formule

arrani

UCÇOlfS D*ALGÈBAS. Iq3

Chaque fois qu'on s^ëlèyera à des arrangemens.qui auront une Iet(re de plus, il est clair qu'il s'introduira, dans la formule qui exprime le nombre des arrangemens, un facteur déplus, lequel sera inférieur d'une unité au facteur placé avant lui. Dès-lors on peut conclure avec certitude que l'expression générale du nombro des arrangemens nkn devra reufenner n facteurs pris consécutivement dans la suite m, m— -i , 77t— 2, etc. Le dernier facteur sera donc m — (/i — i) ou m— 7i-4-i, et par conséquent, en appelant A„ le nombre des arrangemens de m lettres n à 71 , on doit avoir

En faisant ti = 2, 3, 4 > 1^ dernier facteur 772 — ^/i-f-i se réduit successivement à m— 1,771 — a, tti — 3, et Ton retrouve les valeurs de As f A3, A4.

ao8. Permutations. Apres avoir placé plusieurs lettres les unes à c6té des autres , si on change de toutes les manières possibles Tordre de ces lettres, on formera leurs permutations. Les permutations de 71 lettres ne sont donc autre chose que les arrangemens de ces n lettres 72 à n; et par conséquent on peut calculer leur nombre par la formule [i] en y faisant m=n. Si on représente parP,! le nombre des permutations de n lettres, on auraP^ss 7i(7t— i) (/i — 2). • • 1 , ou y en renversant Tordre des facteurs ,

Ji^fi «^^ I.2.«#.*« 72.

On peut trouver cette formule directement comme il suit. Avec 2 lettres il n'y a que 2 permutations. Gellesjde 3 lettres se formeront en plaçant alternativement, après chaque lettre, les permutations des deux autres, ce qui donnera 2.3 permutations. En continuant ce raisonnement , on voit que le nombre des permutations de 4 lettres est 2 .S. 4 9 et qu'en général, pour 7t lettres, il serait

Itt2.3»4* • •''•

209. Combinaisons, Lorsque parmi les arrangemens 7s à 7t on ne conserve que ceux qui différent entre eux par une ou plusieurs lettres , ceux qu'on obtient ainsi sont désignés sous le nom de combinaisons ou de produits. Par exemple, les deux arrangemens abc et bca ne forment qu'une seule combinaison ou qu'un seul produit.

ig4 LIÇOM B*iSLGiSBBK.

Panm les'anaDgfliiMMâem lettresnàyiy il estdair que chaque combtBaisoB de n kttret doit le trouver répétée autant de fois qu'il y a de pehnutatioiis posâblea entre les n lettres de cette combinaison. Sbnc^ si on divise le nombre total des arrangemens de m lettres nkn par odai des permutations de n lettres, on obtiendra le nombre des comlnnaisons de m lettres nkn. Ainsi , ce dernier nond>re étant désigné par G^ > il sera donné par la formule

r3i ^^.An y7y(m7-ï)(m— a).:.(m— w+t). *• ■* Pn 1 . 2 •. 3 n

Si on veut avoir en particulier le nombre des combinaisons ai à 2 y 3 à 3 , etc., il feiudra ùàit n ss a , 3 , etc.; et il viendra

t«3 = ' j t»3 = j> « etc.

Lliypothèse n= i doiinerait G. s= m; et en effet les combinaisons de m lettres une à une ne peuvent être que ces lettres elles-mêmes.

siio. Le nombre de6 combinaisons qo^on peut &ire avec des lettres étant essentiellement entier , il s^ensuit que la division indiquée dans la formule [3] doit sWectuer exactement. Donc un produit de n nombres entiers consécutifs est toujours divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

Bitiâmm de Ssmoi, dans it ca». de Vexposant ekiier positif.

21 T* Tout binôme peut être représenté par x-^Oj et la question est de trouver une formule générde au moyen de laquelle on puisse obtenir immédiatement une puissance quelconque de ovf-a sans passer par toutes les prccédenteSé La formule qui atteint ce but est peut-être la plus importante de Fanalyse : on l'appelle vulgairement binôme de Newton , du nom de son invente^r.

La première idée qui se présente est de faire les puissances sucoesdves de ^-f-a par voie de multiplication , et d'examiner s'il est possible d'y apercevoir une loi qui permette de former immédiatement une puissance qudceuque, sans passer parles puiasanees inférieures. Ces calculs se présentent comme il suit :

LEçoirs d'aloîsbbb. igS

j:'+2fla:*+ à*x

La loi générale des exposans est évidente , mais celle des coeffidens ne Test pas. A la yérîté , on voit bien que ceux du premier terme et du dernier sont égaux à l'unité , et que ceux du second et de rayant-dernier sont égaux à Texposant du binôme 3 et même, pour les termes intermédiaires , on reconnaît bien encore que les coeffidens également éloignés des extrêmes sont égaux , mais leur composition ne s'aperçoit point.

Ces coeffidens proviennent des réductions qu'entraînent les termes semblables. Or, en multipliant entre eux des binômes tels que J^+û, ^+^j "^r+c, etc., dont les seconds termes sont di£Férens, ces réductions n'auraient plus lieu, et il peut se faire qu'alors la composition des termes du produit se manifeste.

212. Considérons donc les produits successifs de ces binômes. Voici les trois premiers :

{x-^a) (x^b) {X'-\^) = a:^+fl

x^"\-ab

X'-^-abc,

-|-ÛC

+bc

x^+ab

x^-^bc

-|-ÛC

+abd

+bc

'^acd

+ad

+bcd