bd

+cd\

X'-^abcd,

^ Tgé^ LEÇONS d'àLGÈBBB»

Ln considérant comme un seul terme tous ceuic qui renferment lu miidie puissance de x, on retrouve ici, pour les exposans de x, la mèofd loi que dans les puissances de ar-f^ç : c'est-à-dire que dans le prtirnier terme V exposant de x est égal au nombre des binômes facteurs , et quil diminue progressivement âHune unité jusqu'au dernier terme , oU il est zéro,

La loi suivant laquelle se composent les multiplicateurs de ces puissances est également facile à apercevoir. La plus haute puis* sance est mïillipliée simplement par Vunité; celle dont Vexpo^ .fint a une unité de moins Vest par la somme des seconds termes t'es binâmes y celle qui a 2 unités de moins y Vest par la somme ths divers produits qiHon obtient en combinant ces seconds termes 2^2; celle qui a 3 unités de moins ^ Vest par la somme des produits qiCon obtient en combinant ces seconds termes 3 à 3 ; ainsi de suite jusqiH au dernier terme ^ ou V exposant de x est zéro , et qui est égal au produit de tous les seconds termes des binômes,

La marche qu'on suit dans les multiplications successives suffit pour convaincre que ces lois s'étendent à tant de binômes qu'on voudra; mais s'il restait encore quelque doute y la démonstration suivante le dissiperait.

Admettons pour un monient que ces lois soient vraies pour le produit d'un certain nombre m de biil6mes; je vais prouver qu'elles le seront encore en prenant un binôme de plus. Soit

a:«-4-A:c"«~» +B:c^-» +Cx"»-^ . .+Y

le produit de m binômes a:+^, a:+^, :c+^« • • j si on le multiplie par un nouveau binôme a? +/, il viendra

On reconnaît sur-le-champ que la loi des exposans de x est la même : car l'exposant de Xy dans le premier terme, est égal au nombre des binômes facteurs , et il décroît successivement d'un(^ unité jusqu'au dernier terme, qui ne contient plus x,

La loi des coefficiens se soutient également. D'abord il est clair que celui du i**^ terme e^t eacoj:e l'unité.

LEÇONS D^ALGIsBEK. \ff]

Dans le 2* terme, où l'exposaut de a: a tmo unité de tû^nm-y le coefficient est A-)-Z. Or, A étant la somme des seconds-termes des m bîn6mes X'\~ay x-f-^)- • • il s'ensuit que A-4-/ est eâie des seconds termes des m+i binômes x+a, x-^'bf • .a>J-/. ' î

Dans le 3' terme, où Pexposant de j: a 2 uuite^ de moBns, le coefficient est B-|-/A. Or, d'une part, B eyprime'la somme des produits a à 2 des m seconds termes a, ^, c. • . 3 et , d'autre part , /A est celle des produits de ces m termes par / : donc B-f-^A est la somme de tous les produits 2 à 2 qu^on peut former avec les m^i seconds termes a^ by Cy. •!.

Dans le 4* terme , où Fexposant de j; a 3 unités de moins , le coefficient est G4*^B. Or, d'une part, G ex[:iime la somme des produits 3 à 3 qu'on peut former avec les m quantités a, ^, c. . • ^ et, d'autre part, /B est la somme de leurs produits 2 à 2 multipliés par / : donc C-j-^B est la somme de tous les produits 3 à 3 qu'on peut faire avec les m-^i seconds termes a, 6, c, . • .Z.

Ce raisonnement peut se continuer pour tous les autres termes jusqu'au dernier ZY, qui est évidemment le produit des m+i seconds termes a, i, c, . . ./, puisque Y est Iï; produit des m quantités <i, ^, c. • . •

Ainsi, la loi de composition , supposée vraie pour 772 binômes, est encore vraie en prenant un binôme de plus. Or, par le fait de la multiplication , on l'a reconnue vraie dans le cas de deux facteurs^ donc elle est vraie pour trois. Etant vraie pour trois, clic le sera pour quatre ^ et ainsi de suite , quel que soit le nombre des facteurs. Donc enfin elle est générale.

21 3. Maintenant, pour revenir à la puissance (ar+«)'"j il suffira de supposer dans le produit de m binômes j:+a, ^+^, • • • tous les seconds termes égaux à a. D'abord il est clair que les puissances de X contenues dans les termes successifs sei ont encore

*w>tn *jitt— — I <y«nt"— 9 (jf

et que le premier teiine sera simplement x^.

Dans le produit des m binômes , le multiplicateur de x^ *' est 'la somme des m seconds termes des binômes; donc , dans le développement de (^r+û)"», ce multiplicateur deviendra ma i donc le 2* terme de ce développement est niax"^^»

Otti» k 3f tenoe dti produit des m binômes, les divers produits r% kmMpimviîifl^enix''^^ deyiennent tous égaux à a'$ donc leur «oioatf sera égale à autant de ibis «r* qu'on peut faire de produits 2 à 2 ayec m lettres^ donc, si on nomme p le nombre de ces prodiâtSy le 3* terme du deydoppement de (x-^y^ sera/^a^x"^'.

En général, la somme des produits par laquelle chaque puis- .sanc^ de x est multipliée, dans le produit des binômes, doit se fdianger en une puissance de a , répétée autant de fois que cette sc^mme contient de produits. Par conséquent, en désignant par p, q, rj,., le nombre des produits 2àa,3 à 3, 4à49*** ^^ m lettres, le développement de (j>f^)'" pourra s'écrire ainsi :

Pour, dernier terme, j'ai pris simplement a"*, parce qu'il doit être le produit de m quantité égales à a.

La quesfion est donc ramenée à chercher les coefficiens p, 9, r, • • «^ - mais comme ils sont déjà connus par le n^ 209, il n'y a plus qu'à substituer leurs yaleurs, et l'on a enfin la formule

, y?2(7w— i)(m— 2)(7yj— 3) ,^^^, , ^

21 4* La loi des termes est si évidente, qu'on peut écrirç immédiatement un terme de tel rang qu'on voudra.

i« Il est clair que chaque coefficient a pour dénominateur la suite i .2. 3. .« , jusqu'au nombre qui marque combien il y a de termes qui précèdent, et pour numérateur, les facteurs décroissans m(m — ï) {m — 2), • . jusqu'à celui où m est diminué d'autant d'unités , moins une, qu'il y en a dans le dernier facteur du dénominateur. ^

2^ Il est clair aussi que l'exposant de a est toujours ^al au nombre des termes qui précèdent, et celui de x égal à m diminué de ce même nombre ; de telle sorte que la spmme des exposans de s et de a reste çonstanupient égale à m.

En conséquence , si on d(ssi^ne piepr T^ tm tmoe quçlfsonqae

dont Ii8 irang est n^ on ftur», pour I9 ietm^ Twf-s jtjni occope le rang/i^-i oaquienana¥$iatIiiiy

T 1 m(m— i)(7W— 2), , > (m— Ti+O '

j.«4,,as--- — ■■'irSaff'^*,

Celte expression est le terme général de la formule [i]. On l'appelle aîn«, parce qu'en j supposant successivement n=i^ a^ 3,. • . on peut en déduire tous les termes de cette formule, à partir du secondy.

Par exemple, pour avoir le 7^ terme, on y ferait /i 056, et ^ viendrait

rp fyi(m-^i) (m^a) {m-^) (/w-r4) (wi^-S) ^^^ ^ 1.2.3,4 .5.6 ^^»^^-

Si on voulait avoir le dernier ternie , il faudrait observer que la formule a e» tout m-|-i termes, et que par suite il faut supposer n =:i7i. Alors il vient

• ^ 7»rifi— ■i)(yi— a),... I

Or le numérateur renferme , dans un ordre inverse , les mêmes facteurs que le dénominateur, et x^ est la même chose qoerunité, donc cotte expression se réduit à a"', ainsi que cela doit être.

Si on prenait pour n un nombre entier ]> m, il y aurait un facteur m^-'fn ou zéro parmi ceux du terme général, ce qui avertirait que tous les termes sont nuls au-delà du rang m-f-i, c^est-àdire que la formule du bin6me n'a pas plus de m-{-i termes.

Remarques sur la formule du binôme. Comment on rapplique,

2i5. Quand on veut faire une pubsance particulière de x^ay la cinquième , par exemple , il est commode d'employer chaque terme au calcul idu suivant. Or, si on examine avec attention les termes successifs du développement de (^r-f-a)'?, on découvre cette régie générale : Pour passer iVun teime au suivant , multipliez son coefficient par T exposant de x dans ce terme , divisex^le par le nombre qui marque le rang de ce terme j ajoutez une unité à rexpoÂim$ désuet r^trofiçhçi'en une à ùeUd de x.

ai8. Dons les déveUppemens de (.r4-<3r)~ ot de {scr^.a^'* xss^l et a=;a I : ils doniieEi(

O =Irr ^ i ^-T- -, ^+etÇ,

Ikmc, dans touf^ puissance de x-fra, la somme des coefficiens^ Y caxpprv^ ceux des termes extrêmes , est égale à une puissance d!e 2 1 indiquée par celle du binôme; et la somme des coefficiexu de rang pair est égale à celle des termes de rang impair»

219. Pour montrer comment ou doit faire les calculs , quand on veut élever ^ une puissance un binôme quelconque, je prendrai Tcxemple {na^ — Zbx^'f.

Qn .commence par développer {x — a)^ comme dans le n^ 2i5, ep ayant soin de placer les termes à la suite les uns des antres ji mesure quW les forme , et de leur donner altisrnativement les signes -f- et •— . On aura soin aussi de remarquer, lorsqu'on aura trouvé le 4^ terme, que les coefficiens des trois derniers sont les mêmes, dans ua ordre inverse, que ceux des trois premiers. De eette manière , on peut écrire sur-le-champ

{x — a)^ = x^ — 6aar* + 1 5fl'x* — 2oa^a:^ + ï 6a*4?*— ^a^x + <fi*

Maintenant , pour passer de {x — a)^ à (2^^ — Zbx^)^^ il n'y a qu'à changer x en ia^ et a en Zbx*. Il vient d'abord

(2a3 ^bx^f = (2fl3)«— 6(3^a:«)(2fl3)5 + 1 5(3*a:«)»(2a*)4 — 2o(3«^x«)3(2a3j34.i5(3ix«)4(2a3)«— 6(36:c»)«(2a*)+(3^*»)«,-

puis , en effectuant les calculs ,

(2a3— 36x«y^=64a'8-^576a^5^*»+2i6oa"6*x4 -^4320é|9&'xô® 4. 486oa*^M;c8— 29 1 Ga^ô^^r »• 4-729fi^x".

220. Dans la plupart des applications, on trouve plus commode de n'avoir à développer que des puissances de binômes qui aient

Funité pour premier terme. Or a:+û= jrf i + - Jj donc , en

a posant - s=sZ| on aura

On voit qu'il ne s'agit plus que de développer (i+jg)"*} et pour cela il suffit de remplacer, dans la formule [i] du n* 2iS| a: par i et a par z» Il vient ainsi

On réduit cette formule à la règle suivante : Aprhs cMnrfd^mé

asfçc V exposant m les fractions —, ?— rr— , .. , ^ , etc.,

prenez V unité pour premier terme du développement ; multi* pliez cette unité par la 1'' fi^action et aussi par z y multipliez le résultat par la 7,^ fraction et encore par z 5 multipliez le nouveau résultat par la ^''fraction et encore par %i et ainsi de suite. Enfin , ajoutez tous ces résultats au premier terme |, et ypuf aurez le développement de (i+z)"*-

On verra plus tard que la formule [i] ne cesse point d'être vraie quand l'exposant m est fractionnaire ou négatif. C'est surtoat dans ces cas qu'il convient d'employer la règle çi-dpsiius , parce qu'elle a l'avantage de mettre en évidenice la loi des |:pefficiens numériques propres à chaque développement particulier.

Puissances des polynômes,

221. En considérant deux termes d'un trinôme comme n'e^ formant qu'un , on ramène au binôme les puissances de ce trinôme , et l'on en peut dire autant de tons les polynômes. Je vais montrer ici comment on parvient par cette voie au term^ géné|:9il de la puissance

c'est-à-Jire , au terme qui renferme les lettres a, ^, c, . . • à des exposans quelconques 71, /i', «",.•..

Posons 3ç=ib'\'C'^d. . . : la puissance ci-dessus sçra ég^l^ [à^xy^ y et , d'après ce qui a été dit n*" 2 16 , la partie qui çontiefit a» dans le développement de {a^x)"^ peut s'écrire ainsi :