Quand le degré de la racine est un nombre composé de

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plnriêfirs faetëiirSy elle peat s'extraire au moyen de racines successives dont les d^rés sont ces divers facteurs. En effet, d'après la !&* règle du n^ 202, on a

Or, si on voulait extv%ire de a'^P la raciue de Tordre mnp , celte racine serait éft^emment a : c'est-à-dire , la même qu'on trouve en extrayant d'abord la racine 771 , puis la racine n , puis encore la racine /?•

On pourra donc obtenir la racine 4^ au moyeu de deux racinefs carrées, la racine 8" au moyen de trois, la racine 16* au moyen de quatre, et ainsi de suile : c'est-à-dire que toute racine dont le degré est une puissance de 2 peut s'extraire par des racines carrées successives.

Au reste , quand on a besoin d'extraire . des racines de degré élevé , il est toujours plus commode de faii*e ces opérations par logarithmes.

224* Passons aux polynômes. La question à résoudre est celleci : On suppose qu'un polynôme donné P est la puissance m d'un polynôme inconnu p ; et il s'agit de retrouver p.

Considérons les deux polynômes comme ordonnés selon les exposans décroissans d'une même lettre a:, et nommons a, ^, c,* . . les termes inconnus de la racine p : ils devront être tels qu'en élevant a-f-&-)-6*. • . à la puissance m, on retrouve tous les termes qui composent P. Or, si on imagine qu'on effectue cette puissance par des multiplications successives , il est clair que, dans le résultat , le terme où x aura le plus haut exposant sera la puissance m de a ; donc on connaîtra le i*' terme a de la racine cherchée p en extrayant la racine m du 1*' terme du polynôme donné P.

Le 1*^" terme de la racine étant trouvé, il sera facile d'obtenir le 2* ; mais je préfère monti'er tout d'abord comment , lorsqu^on connaît plusieurs termes successifs de la racine à partir du i^', on peut déterminer le terme qui vient immédiatement après.

Soit u la somme des termes connus, et (' celle des termes inconnus; on doit avoir P = (u'\^)'^j 0]i, en développant,

r=:irJ^7nvr^^p^kuf^*v^^k'tg*^i^^^ etc.

Jaa'ai point mifren é?idence la composition ééscbeffioiettsir, V^,.. parce que cela serait inutile, ainsi qu'on ya le yeîr. De celte ég^ litéy On tire

S^nne part , le i** membre P — u*^ est une quantité qu'on peut calculer en formant la puissance m de la quantité connue u^ et en la retranchant du polynôme P. D'autre part ^ le second membre est une somme de produits au moyen desquels on peut facilement assigner la composition du i^ terme du reste égal à P-«-»ii^y et par suite découvrir le i*' terme de la partie inconnue p*

D'abord y si on développe u"^', il est clair, d'après les seules règjles de la multiplication , que le i«' terme du développement , e'esV-à-dire celui qui renferme x au plus haut exposant, sent tf*~*f donc, si on nomme y le i**" terme de i', le i" terme du produit mu"*^^if sera ma"''-']/. Par un raisonnement semblable, on voit que les premiers termes , dans les développcmens des autres produits, seront respectivement kar^^f^^ Ha^^^P^.,. Ces termes, abstraction faite des coeificiens qui n'ont aucune influence sur le degré de x^ peuvent se déduire du terme ma"^~]f en y supprimant un ou plusieurs facteurs égaux à a, et ed les remplaçant par autant de facteurs égaux kf. Or y étant en x d'un degré inférieur à a , ces- changemens ne peuvent donner que des termes de degré inférieur à ma"^\f. Donc , après avoir soustrait du polynôme donné P la }^issance m de la partie u trouvée à la racine , k ler terme du reste est égal au produit de m fois la puissance m — i du i*' terme a de la racine par le premier terme de ceux qui restent encore à trouver. Donc enfin , en divisant le i**^ terme du reste par m foi& la puissance m — i du i*"' terme de la racine ,, on connaîtra un nouveau terme de cette racine.

Cette canolusion donne le moyen de découvrir successivement tous les termes de la racine, une fois que le i'' est connu. Pour avoir le 2* terme b, on retranche dupoljrnôme donné V la puis-» sance m du i*' terme a de la racine^ puis on di\^ise le i*' terme du reste par ma"*""' 5 pour avoir le 3« terme c de la racine , on retranche de T? la puissance m de a+b, puis on divise le i" terme diijiouveaa reste par ma"""' ; ainsi de suite.

208 LEÇONS d'àLGÈBBE*

235. Ce procëdë fera toujours connaître si le polyn&me donné est ou n'est pas une puissance exacte du degré nu En effet , pour peu qu'on fasse attention aux réductions qui doivent s'opérer en formant les restes successifs^ on yoitquele i'*^ terme de chaque reste contient la lettre x , d'après laquelle on a ordonné, à un exposant moindre que le i**^ terme du reste précédent; donc on finira ou par trouver un reste nul , auquel cas le polynôme donné est la puissance m de la quantité écrite à la racine, ou par trouver un reste dont le i®' terme ne sera plus divisible par 772 fois la puissance 772 — I du i'*^ terme de la racine, et alors on sera certain que le polynôme donné n'est pas une puissance exacte du degré 772.

On peut aussi remarquer que si le polynôme donné est une puissance du degré 772 , la racine 772 de son dernier terme doit être le dernier terme de la racine de ce polynôme. Donc, si le calcul conduit à placer à la racine un terme de degré moindre , on sera encore assuré que le polynôme n'est pas une puissance exacte de l'ordre 772.

226. Au lieu d'ordonner de façon que les exposans d'une lettre X soient décroissans, on peut ordonner en sens contraire; et il est clair que les raisonnemens qui font trouver la racine (224) subsisteront en entier. Alors, dans le premier terme des restes successifs, l'exposant de a: va eu augmentant, et par conséquent il ne sera jamais un obstacle à ce qu'on puisse effectuer les divisions qui doivent donner les termes de .la racine. Mais comme la racine du dernier terme du polynôme donné doit toujours être le dernier terme de la racine cherchée , il s'ensuit que le calcul ne peut amener à la racine un terme de degré supérieur que dans les cas où le polynôme donné n'est pas une puissance exacte.

Il serait superflu de parler des cas où la lettre x , d'après laquelle on ordonne , se trouve au même exposant dans plusieurs termes. Ce qui a été dit à ce sujet, en traitant de la division ou de la racine carrée, doit se répéter ici littéralement.

LEÇONS d'algèbre. ^OQ