CHAPITRE XI

Calcul des radicaux et des expos ans fractionnaires.

Calcul des radicaux arithmétiques,

327. Dans les premiers temps de l'algèbre, on ne considérait qne des grandeurs positives, et par suite non- seulement les quantités placées sous les radicaux étaient positives , mais les valeurs des radicaux étaient elles-mêmes regardées comme telles. Plus tard , lorsque les quantités négatives ont été introduites dans les calculs algébriques , on a remarqué qu'un radical de degré pair devait être précédé du signe liz 5 et plus tard encore , après de nouveaux progrès , quand on y a admis les quantités imaginaires , on a reconnu que les radicaux pouvaient aussi avoir des déterminations de cette espèce.

Sous l'acception restreinte dont j'ai parlé d'abord, c'est-à-dire, lorsque les radicaux ont des valeurs positives et qu'on rejette toutes les autres, ils seront très-bien désignés par la dénomination de radicaux çtrùhméiîques ; et, quand on leur donne toute l'extension que permet remploi des signes de Talgèbrc , par celle de ra^ dicaux algébriques.

Je vais exposer ici les règles de calcul relatives aux premiers : l'ordre à suivre sera le même que pour les radicaux carrés.

228, On a déjà dit (210) qu'on élève un produit à une puissance en y élevant tous ses facteurs j et que par conséquent on extrait aussi la racine d'un produit en extrayant celle de chaque facteurj donc

donc , s^il y a sous un radical une puissance de même degré que le radical^ on peut mettre la racine de cette puissance en facteur hors du radical; et ^ réciproquement^ un facteur placé devant un

aïo LEÇ0K8 d'algièbbe.

radical peut passer sous ce radical y en F élevant à la puissance marquée par V indice^

229! Lorsque des radicaux de degrés différens sont joints entre eux par les signes + et — , comme dans l'expression

daV^a^b+bVa^b^ — û» Vzab , ib ne donnent lieu à aucune réduction.

Mais il en est autrement lorsqu'ils ont le même indice , et qu^en les simplifiant il reste la même quantité sous chacun d'eux. Par exemple y soit

on simplifie les radicaux , et il yient

Za^'V^a^b — loabVza^b— ^b^V 2,a^b.

Maintenant tous les radicaux sont semblables , c'est-à'dire qu'ils

ne différent que par les facteurs placés en dehors^ dès-lors on peut

les réduire à un seul , et écrire

, m fit M

23o. Soit le produit V aybVc. En l'élevant à la puissance m

on trouve àbcy et par conséquent il est lui-même égal à Vqbci donc

VaVl\/'c=Vabci

donc on multiplie entre eux plusieurs radicaux de même degré

en formant le produit des quantités placées sous les radicaux et en affectant ce produit du radical commun.

Va aSi. Ou élève la fraction -^ à la puusance m en formant la

Vb

puissance m de son numérateur et de son dénominateur, ce qui a b

Va

donne — 5 donc

Vb

LEÇONS d'ALGÈBBE. -211

donc on divise Vun par Vautre deux radicaux de même indice en divisant V une par Vautre les quantités placées sous les radi^eaux y et en affectant le quotient du radical commun,

232. Considérons maintenant les puissances des radicaux. D^abord , par la règle de la multiplication (280) , il est clair qu'en

prenant n facteurs égaux à Va j on a

m m^m__m. ni m

donc on élève un radical à une puissance en élevant à cette puis^ sance la quantité placée sous le radical»

On élève encore un radical à une puissance en divisant^ quand cela est possible , V indice du radical par V exposant de la puis^ sance» Ainsi ,

mn m

mn

En effet, Va est une quantité mn fois facteur dans a: on peut donc partager a en 772 groupes , chacun composé de n facteurs

égaux à Va, Or chaque groupe équivaut à (V^a)'' ; donc cette dernière quantité est m fois facteur daus a ; donc enfin

mn m

{y'^y=.Vâ,

S'il arrive que l'exposant de la puissance, sans être un diviseur de Tindice * ait seulement avec lui un facteur commun, on pourra faire concourir Its deux règles à la formation de la puissance. Par

exemple , soit {y ay. On remarquera qu'on peut faire la puissance np d'une quantité en élevant d'abord cette quantité à la puissance n, et le résultat à la puissance/?. Or, d'après la seconde

mn m m m

règle, (Va^^Va 5 et, d'après la première, (Vay=VaP'y ^onc

mn m

233. Pour extraire une raciae d'un radical , il n'y a qu'à rcn- Terser les règles ci-dessus. D'abord on a

V Va- = Vâi

212 LEGOIfS D^ALQEBRE.

car en élevant V^Â à la puissance n on , retrouve Va". Donc on extrait la racine (Tun radical en extrayant celle de la quantité qui est sous le radical.

Lors même que la quantité sous le radical n'est pas une puîs- Bance de même ordre que la racine à extraire , on peut encore appliquer cette règle , mais alors la r?icine à extraire ne sera qu'indiquée. Par exemple , on écrira

v^f? = K^vâ^.

mn m

En second lieu, puisqu'on a (Va)'* = V^^, on doit avoir

aussi

V7=. Va-,

donc on peut extraire une -racine d*un radical en multipliant V indice du radical par le degré de la racine à extraire.

Cette manière de prendre la racine d'un radical est la plus usitée. D'ailleurs, chacune des deux règles montre également que l'ordre dans lequel on extrait deux racines successives est tout-àfait indifférent^ et il est clair que cette conclusion s'étend à un nombre quelconque de racines successives.

234. La multiplication et la division des radicaux de même indice réduit ces radicaux à un seul. Il en sera donc de même pour des radicaux quelconques, si on les ramène préalablement au même indice, et c'est ce qui est facile. Remarquons , d'un côté , qu'on élève uu radical à une puissance en élevant à cette puissance la quantité placée sous le radical (282) ; et, d'un autre côté, qu'on extrait une racine d'un radical en multipliant l'indice du radical par celui de la racine qu'on veut extraire (233). De là il suit que la valeur ditn radical ne change point si on multiplie son indice par un nombre, et qiten même temps on élevé à la puissance marquée par ce nombre la quantité placée sous le radical.

Cette remarque montre que plusieurs radicaux peuvent se ramener à un indice commun, par les mêmes régies qui servent à réduire des fractions au même dénomînAteur. Ici les indices des radicaux remplacent les dénominateurs des fractions.

Par exemple , soit le produit

Comme chaque indice est premier avec les deux autres , le plus petit nombre divisible par chacun d^eux est le produit 3x4x5 =r 60 , et ce sera Findice auquel je ramènerai les radicaux.

En divisant 60 par les trois indices , on obtient les quotiens 20, i5, 12: c'est par ces nombres qu'on doit multiplier respectivement les indices des trois radicaux, en même temps qu'on élèvera les quantités placées sous les radicaux aux puissances marquées par ces nombres. De cette manière il vient

puis , en effectuant la multiplication et simplifiant,

P= Va'^^ù'^^=:ab^V'^^^^.

Soit encore le produit

Q = K 32^^ XK 128^27^ X V 64^^?.

Tcî le plus petit nombre divisible par chaque indice est 24» Observons en outre que les facteurs numériques, sous les radicaux, *sont des puissances de 2 , savoir : 32 = 2^ , 128 = 27 , 64 = 2**. En réduisant les trois radicaux à Findice 24 9 on aura

= V^27a«49655 = 23â«6 ^24^67 = 8a»i« V i6abT.

Calcul des exposons fractionnaires.

235. Puisque les chcposans fractionnaires ne font que remplacer des radicaux (2o5) , c'est du calcul des radicaux qu'on doit tirer les règles du calcul de ces exposans. 11 est inutile d'avertir qu'il ne sera encore question ici que de radicaux arithmétiques.

En parcourant les différens cas que peuvent présenter la multiplication et l'cléyation aux puissances , il vient

ai4 Lioorrs o^ALcisRE.

Tous ces résultats sont remarquables en ce qu^iXf sont précisément les mêmes que si Von eût appliqué immédiatement aux exposons fractionnaires les règles établies pour les exposons entiers.

Cette analogie entre les deux sortes d^exposans a lieu encore dans la division et dans Textraction des racines. En effet , dans ces opérations -, les règles des exposans se déduisent de celles de la multiplication et de l'élévation aux puissances ; donc elles doivent, comme dans la multiplication et Télévation aux puissances, rester les mêmes pour les exposans fractionnaires que pour les exposans entiers.

Par là il devient évident que la division peut donner naissance à des exposans fractionnaires négatifs ; par conséquent la convention du n^ 58 s'étendra aussi à ces derniers , c'est-à-dire que* Pf étant entier ou fractionnaire , l'expression a'~P est toujours

équivalente à — • De là il suit que , pour les exposans négatifs

fractionnaires, les règles seront absolument les mêmes que pour les exposans négatifs entiers ; et comme, pour ceux-ci, elles sont déjà les mêmes que pour les exposans positifs , on conclut que tous les exposans, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, entrent diaprés les mêmes règles dans les diverses opérations de Falgèbre.

A la vérité , on n'a considéré (60, 61) les exposans entiers négatifs que dans la multiplication et la division, et non pas dans les élévations aux puissances^ mais la conclusion ci-dessus n'en est pas Aïoins Traie. En effet, metn étant de» nombres quelconques, entiers ou fractionnaires , il est facile de voir qu'on a

et ces résultats montrent qu^on doit toujours, comme dans le cas des exposans positifs , multiplier Fexposant de a par celui de la puissance.

236. En général, toute notation bien choisie doit être la représentation exacte de l'opération dont elle tire son origine ; et cette condition est si fidèlement remplie par les différentes sortes d'exposans , qu'il est toujours facile de transformer une expression dans laquelle elles se trouvent, en une autre qui ne renferme que des exposans entiers positifs et des radicaux. Pour qu'il ne puisse rester aucun doute à cet égard, j'efïectuerai cette transformation sur la formule

^=^\y a^ fj •

Ne considérons pour un moment que la quantité placée entre parenthèses, et posons

A cause du sens attaché au signe y/ , on doit avoir

à cause des exposans négatifs, cette égalité se change en celle-ci

= JL, d'où z" = a« ;

et cette dernière , à cause des exposans fractionnaires, équivaut à celle-ci

3l6 - LBC09S D^LCilU.

Or, en âersiil les deux meml»cs de cette ^alîté à b pnsssance n, fl ^nt

pois , en extnjanl la ndne m de cbacon , Donc enfin la fonnnle pnyposce deriendra

237. On pourrait demander si les règles da calcol des exposans f'applîqaeat aussi aux exposans incominensarables ou imaginaires.

Relativement aux exposans incommensorables , je ferai remarquer qn^ils n'ont absolument aucun sens par eux-mêmes, et que , pour leur en donner un , il faut conccToir par la pensée qu^on les remplace par des exposans commensurables qui en approcbent de plus en plus. Alors , une formule dans laquelle il entre des exposans incommensurables doit être considérée comme représentant la limite vers laquelle tendent les valeurs qu^on en déduit 9 en y lemplacant ainsi les exposans par des nombres commensurables qui peuvent différer de ces exposans aussi peu qu^on Toudra. De cette manière, ou comprend que Te x pression proposée représentera exactement la même limite , après qu'on y aura exécuté sur les exposans incommensurables qu'elle contient les mêmes opérations que s'ils étaient commensurables.

Par exemple, 772 et n étant incommensurables, on doit toujours avoir

En effet , si on met au Heu de m et 71 des nombres commensurables 772' et n' , 772" et Tï^, . . . qui approcbent iiidéCniment de 772 et de 72 , on aura

Les premiers membres de ces égalités tendent donc vers la même limite que les seconds. Or, a"*X «" représente la limite des uns, et flw-i-n celle des autrcsj donc a" X^^ss: «"»+". Relativement aux exposans imaginaires , nous observerons d^une

LEÇOKS D^ALGÈBRE. 2T7

manière gëncrale qu^cn introduisant les quantités imaginaires dans les calculs , une convention tacite subsiste toujours ; c'est de regarder comme équivalentes les expressions dans lesquelles on remplace certaines lettres a , i , etc. , par des quantités imaginaires, toutes les fois qu'il est démontré que ces expressions sont égales en y mettant pour ces lettres des valeurs réelles quelconques.

S'il s'agit, par exemple, de û'»Xû'*, cette expression n'ayant absolument aucun sens lorsque m et n sont imaginaires , il est clair que, sans une convention expresse ou tacite, on ne pourrait point la regarder comme équivalente à û'"+».

Sur les valeurs multiples des radicaux algébriques.

ii38. Les radicaux n'ont encore été considères que comme représentant des valeurs essentiellement réelles et positives ; main^* tenant je vais leur rendre toute leur généralité, c'est-à-dire que je les regarderai comme désignant indistinctement toutes les va- Icui-s qui reproduisent la quantité placée sous le radical, quand on les élève à la puissance marquée par l'indice de ce radical. Par là nous sommes ramenés à la distinction déjà établie ailleurs (i58) entre les déterminations arithmétiques et les déterminations al^ gëbriques. Chaque radical n'en admet qu'une seule de la première espèce 5 et encore, pour cela, faut-il que la quantité soumise au radical soit réelle et positive. Quelques développemens sur ce point ne seront pas inutiles.

239. Prenons un radical quelconque VA, et supposons A successivement positif, négatif, imaginaire.

Lorsque A est positif, on sait trouver , exactement ou avec approximation , par les méthodes connues, une quantité positive a dont la m*"^ puissance reproduise A. Or, toute autre quantité positive, élevée à cette puissance, donnerait évidemment un résultat ^A ou <CA; donc la valeur a est une détermination arithmétique du radical , et c'est la seule.

Lorsque A est négatif, on remarquera qu'il n'existe pas de grandeur positive dont les puissances soient négatives ; donc alors le radical ne peut avoir que des déterminations algébriques.

Enfin 9 lorsque A est imaginaire , comme il est évident que les

ai8 LEÇONS D* ALGEBRE.

puissances d'une grandeur réelle, positive ou ncgatîre^ sont ellesmêmes des grandeurs réelles, il s'ensuit que toutes les déterminations du radical sont algébriques, et même imaginaires.

a4o. On peut encore considérer séparément le cas où Tindice m est pair et celui où il est impair.

Dans le premier cas, toutes les valeurs du radical sont deux à deux égales et de signes contraires. En c£fet, si a est Fnne d'elles, de telle sorte qu'on ait â''*=A, il est clair qu'on aura aussi, attendu que m est un nombre pair, ( — «)"»=/2''*=A, c'est-à-dire que -*-a est aussi une valeur du radical. On peut donc alors représenter toutes les valeurs du radical par une suite de quantités affeclées du signe ±:, telles que dza, ±b , ±:c,... En même temps que m est pair, si A est positif, le radical a une valeur réelle et positive 5 et en supposant que ce soit «, on voit que — a est aussi une valeur réelle , mais négative , du radical. Quant aux autres valeurs , ±by ±:c,..., elles ne peuvent être qu'imaginaires.

Dans le cas où l'indice m est impair, en changeant le signe de la quantité A placée sous le radical , les valeurs de ce radical ne feront que changer de sigue. En cfiet, si a est une valeur de

K A, il est clair que, m étant impair , on doit avoir ( — 0)"*= — a