^ ^OT

= A: ainsi, en supposant que les valeurs de VA soient a, ^j

Cydf,..j celles de \/ — A seront — a, — b, — c, — d,,,,. Lorsque A est une quantité réelle , Tune des valeurs du radical est réelle et de même signe que A, c'est-à-dire, positive si A est positif, et négative si A est négatif. Les autres valeurs sont essentiellement imaginaires.

241* Jusqu'ici j'ai parlé des valeurs multiples des radicaux, sans en préciser le nombre. Il est temps à présent de porter l'attention sur la proposition suivante :

Un radical quelconque a autant de valeurs différentes , ni plus ni moins , quil jr a d^ unités dans V indice de ce radical , ou , en d'autres termes , toute quantité a autant de racines d'*un certain degré qiiily a d^ unités dans V indice de ce degré.

Cette proposition est déjà connue pour les radicaux carrés^

considérons aussi le radical cubique v A. Toute quantité qui a

LEÇONS D^ALGEBRE. 2I§

pour cube A , est par cela même une valeur de v A; donc les valeurs de ce radical sont précisément les mêmes que les valeurs de X qui satisfont à Féquation

a:' = A ou x^ — A = o.

Pour mieux fixer les idées , supposons A positif. Alors il existe une quautité positive dont le cube est A , et que Ton sait calculer exactement ou avec approximation. Désignons cette quantité par a, et remplaçons A par c^ : T^quation x^ — A=o deviendra

x^ — a?z=zo.

Le binôme x^ — ô? est divisible par x — a (53) , et Ton a

x^ — a^-=^{x — a) (j:"4-^'^4"^')* Or, pour quW produit soit nul , il faut et il suffît qu^un de ses facteurs le soit \ donc on aura toutes les solutions de Téquation x^— :.û^=o en posant successivement

r o: — a = o et or' + ^^ 4" ^* ^= ^ »

et en tirant de là les valeurs de x. On obtient ainsi

et par conséquent telles sont les trois racines cubiques de a? ou A. On retrouve la valeur a , et Ton devait s'y attendre : car elle était, par hypothèse, une racine cubique de A. Mais on voit qu'outre celle-là il en existe deux autres , que l'analyse précédente fgit reconnaître. Et remarquez bien que cette analyse subsiste quelle que puisse être la quantité A , pourvu que a soit une

valeur de K A, soit réelle soit imaginaire.

La proposition peut facilement s'étendre à tous les radicaux dont l'indice est une puissance de 2 ou de 3 , ou un nombre com-posé des facteurs 2 et 3. Par exemple, supposons qu'on ait le

radical ï/a, dont l'indice 12 = 2 X2 X 3.

La quantité A aura deux racines carrées \ chacune d'elles aura aussi deux racines carrées , ce qui fera quatre quantités différentes 5 enfin chacune de ces quantités aura trois racines cubiques, ce qui fera en tout douze quantités différentes \ et je dis que cha-

220 lIgons d^algIbre.

cane d'elles est une valeur de ï/ A . Soit a une des deux racines carrées de A , a! une des deux racines carrées de a , , et a" une des trois racines cubiques de af. Il est clair que a" sera une des douze quantités dont il s'agit. Or, il est clair aussi qu'on aura

donc a" est une yalçur de VA,

Quel que soit le radical V^A que l'on considère , la détermination de SCS différentes valeurs revient toujours à la résolution d'une équation. En effet, ce radical désigne indifféremment toutes les quantités réelles on imaginaires qui , élevées à la puissance m , reproduisent A ; par conséquent elles ne sont autres que les valeurs ' de X qui satisfont à l'équation x^ = A.

Par là on voit que la proposition générale qui fait l'objet de ce n** revient à prouver que dans cette équation l'inconnue a: a m valeurs différentes. Je ne saurais entreprendre ici cette démonstra^^ tion j mais j'y reviendrai ailleurs , et j'admettrai dès à présent comme établi que tout radical a autant de valeurs différentes, soit réelles, soit imaginaires, qu'il y a d'unités dans l'indice du radical.

. 242- En désignant par a une valeur de VA, 00 a trouvé plus haut, pour les trois valeurs de ce radical,

Soit A=:i : on pourra prendre â=i, et par conséquent les trois

valeurs de Vi seront

Si on les compare avec celles de VA, on aura cette conséquence remarquable : que les trois racines cubiques d*une quantité quelconque s'obtiennent en multipliant l'une d'elles par les trois racines cubiques de V unité.

Je vais prouver que cette propriété s'étend aux radicaux de tous les ordres. Représentons par a une valeur du ra,dical quelconque

LEÇ05S d'aLGëBRÉ. 221

Va, et par I, (tj p, y,.,, les m valeurs de V T, sî on forme les 771 produits

«Xï, «X« «Xp, ûXy,..

et si on les élève à la puissance m , il vient

Or, cesquantitdssonttouteségalesàA,car on doit évidemment avoir a"»=r A, «'"= I, P'^ssri ,... 5 donc les produits a, û«, <7p, ^>^,...

sont, les 772 valeurs de V^A. Ainsi, on peut dire en général que, dans chaque ordre, les racines dCune quantité quelconque se forment en multipliant Vune d'elles par les racines de V unité.

243. Ce qu'on dit ici des racines d'une quantité quelconque peut s'appliquer 11 celles de Tunité , et alors on a cette propriété curieuse : que les diverses racines de l'unité ne font que se repro- * duire dans un ordre différent , quand on multiplie successivement chacune d'elles par toutes ces racines. J'engage le lecteur a en faire la yérificationsurlesracines cubiques dont les valeurs sont ci-dessus. Il recoiinaîtra en même temps que les deux racines imaginaires sont le carré Tune de l'autre 5 et cette remarque recevra dans la suite une grande extension.

244» Afin de prévenir toute équivoque , quelques auteurs ont pensé qu'une notation caractéristique était nécessaire pour distinguer le cas oii l'on prend un radical avec toutes ses déterminations de celui où l'on n'en considère qu'une seule. Une convention assez simple serait de remplacer, dans le premier cas, la barre horizontale du radical par un trait crochu.

Par exemple , Va désignerait tout à la fois les deux valeurs de

la racine carrée 5 et V^«, l'une d'elles seulement: de sorte qu'on pourrait écrire

Sî, en particulier, on suppose A= 4 > on aura V^4= ^2.

Avec cette notation, le théorème général du n** 2.42 s'écrirait ainsi :

»j; mm

Vk=VlV7.

222 LtCOIfS D^ALGEBRE.

24^* Les exposans fractionnaires donnent lieu à des remarques analogues. L'expression A"* peut être employée pour designer à la

fois toutes les valeurs du radical VA", ou seulement l'une d'elles. Si Ton jugeait utile de distinguer ces deux points de vue par quelque différence dans la notation , on pourrait encore convenir de placer, dans le premier cas, le Irait crochu au-dessus de la quantité A. De celte manière , on aurait

Par exemple , si m = 2 , on pourrait écrire

\/A^ = A » = ±: VA^=rhA ».

246. Lorsqu^on a plusieurs radicaux de même indice placés sur des quantités positives , il pourrait arriver qu'on eût besoin de considérer plus spécialement , dans ces radicaux^ les déterminations qui résultent de la multiplication (de leurs valeurs arithmétiques par la même racine de l'unité , sans d'ailleurs particulariser cette racine. Pour désigner ces déterminations , je me suis quelquefois servi, dans mes cours ^ de la dénomination de valeurs ou racines similaires. Ainsi ^ a et b étant les valeurs arithmétiques

rn m

des radicaux VA et k B, et « étant une des racines m^*^* de i, les produits att et ha, seraient deux racines similaires.

Quand, sous les radicaux, il y a des quantités négatives — A, — B, les radicaux n'ont plus de valeur arithmétique. Si l'indice m est impair, ils ont chacun une valeur réelle, mais négative ^ alors on prendrait pour a et ù les valeurs négatives de ces radicaux, et on nommerait valeurs similaires les produits tels que att et bv. , formés avec la même racine de l'unité.

Quand les radicaux ont un indice pair, et qu'ils sont placés sur des quantités négatives — A et — B , toutes leurs déterminations sont imaginaires. Alors on peut concevoir que a elb soient des valeurs de ces radicaux telles qu'elles deviennent égales lorsque les quantités — A et — B sont égales^ et c'est aux produits de a et de ù par une même racine de l'unité qu'on donnerait le nom de racines similaires.

LEÇONS D ALGEBRE. !&a3

247» Pour ne point contrarier l'usage , Je ne me servirai point de cette dénomination, non plus que d'aucune notation nouyelle: mais au moins le lecteur doit-il être bien averti maintenant de l'équivoque qui peut accompagner les radicaux et les exposans fractionnaires; et par conséquent, lorsqu'il les emploie, il doit faire soigneusement attention à l'acception qu'il leur donne.

Calcul des radicaux algébriques*

248. Lorsqu'on prend les radicaux dans leur signification la plus étendue, les expressions qui en contiennent peuvent aussi avoir plusieurs valeurs, et par conséquent les transformations qu'on fait subir à ces expressions , pour ne pas être défectueuse^ , doivent leur conserver toutes leurs v^eurs. 11 convient donc de reprendre ici lés différentes opérations qu'on peut exécuter sur les radicaux , et de faire en sorte que les résultats atteignent toute la généralité qu'ils doivent avoir.

249* La simplification des radicaux est fondée sur l'égalité

VaT'b^aVd ;

et cette égalité n'est sujette à aucune restriction. En effet, le second membre a 772 valeurs, et en élevant chacune d'elles à la puissance 772^ on retrouvé toujours a'^b 3 donc ce membre représente exacte*

ment toutes les m valeurs de V aP^b.

25o. Dans la multiplication des radicaux de même indice, on doit encore avoir, comme dans le n** 23 1 ,

vu vn m

VaVb=^Vâb.

D'abord, si on élève le produit \/^ ^/^ à la puissance m, il vient ab ; donc toutes les valeurs de ce produit sont comprises parmi les

m valeurs de Vab, Ensuite , il est clair que chacun des facteurs

Va et Vb ayant m valeurs différentes , on ne peut pas trouver moins de 772 produits différens , en multipliant les 772 valeurs de

l'un par celles de l'autre. Donc le produit Va Vb a exacte -

ment les mêmes yaleurs que Vab,

224 LEÇOXS P^ALGEBRE.

Cette conclusion donne lieu à une remarque assez importante. En multipliant les m valeurs du premier radical par une valeur du second, on aurait déjà m résultats dificrens ; donc en les multipliant par toute autre valeur du second radical , on doit reproduire les mêmes résultats , mais dans un autre ordre.

25 1. Ce qui vient d'être dit s'applique littéralement à la division des radicaux de même indice : de sorte qu'on devra encore avoir^ avec toute la généralité possible,

Va \/ ^

Vb

aSa. Passons aux puissances. Trois cas sont à distinguer , et je vais les parcourir successivement.

i«. Quand les nombres m et 71 sont premiers entre eux ^. on a

D'abord, en élevant le i*' membre à la puissance m, il vient

et ceci prouve que toutes les valeurs de \V af se trouvent par-

mi celles de V ar. Il reste donc à faire voir que ces valeurs sont au nombre de m.

Soient a', d\ a'",... les m valeurs diverses de V^a, celles de

t (V/«)'* seront a''*, a"", a'"",... 5 et je vais montrer que toutes ces valeurs sont différentes. Admettons qu'il y en ait d'égales 3 et soit, par exemple ,

Puisque d et a" sont deux racines m^'^^^ de a , on a aussi

Supposons nï^Uy et que la division du nombre m par/i donne j7iz=^nq'\*ry l'égalité [2] devient

Si on fait la puissance q des deux membres de Tégalité [i] ^ on a

[4] ai "'I =z a^r.q ^

et, si on divise Tune parTaulreles égalités [3] et [4], ilrestç

Maintenant supposons qu'en divisant ;z par r on ait 7i= r^'-f-r^. Dans l'cgalitc [i] remplaçons n par cette valeur, élevons la dernière égalité à la puissance ^', puis alors divisons-le3 l'une par l'autre : il restera

a'rf^a'''.

Erj continuant ainsi , on voit qu'on tombe toujours sur des égalités de la for nie

dans lesquelles l'exposant s est un des restes qu'on obtient en effectuant sur 771 et rt les opérations du plus grand comniun diviseur. Or, ces deux nombres étant premiers entre eux , on doit arriver au reste i , donc on aurait a' = a" 3 donc a et a" ne semiejit

point deux valeurs différentes de V a^ce qui est contraire à Thypotlièse. Donc !•, etc.

2°. Quand rîndice du radical est un multiple mn de l'exposant n de la puissance , on doit avoir

mn__ m

En eflfet, pour toute quantité :r, qui serait une valeur de V/û^j on doit avoir :r"*" = a , ou, ce qui est la même chose, {x'^)"' =^ (^3

donc les valeurs de x" ne sont autres que celles de V^^," c'est-h-

dire que (\/a)"= Va,

3° Quand l'indice duradical et l'exposant de la puissance ont un facteur commun, si ces nombres sont désignes par 7777; et np , "^ p étant leur plus grand diviseur, on devra avoir

mp m

(ya)"r= Va": car , en s'appuyant sur les deux premiers cas , il vient

(V/o)"/'= [(V/«>]''=(\/fl>=V/F.

tièmàrqué. &1 dh afipUquait aâx detix dérhiérs cas la règle du premier, on trouverait un radical qui comporterait plus de valeurs qu'on n^en doit avoir. Cependant on se sert presq:ie toujours de cette règle sans faire aucune distinction : mais alors il est soùs- entendu que les résultats peuvent quelquefois embrasser une trop grande génëralitë.

s53. La règle relative aux racines des radicaux sera générale : elle «8t eomprise dans Fégalitë

**' m mn

11 est clair en effet qu'en posant x=\ j/a, on aura

ar^srva, puis x^=aj

mn

dbiib les tàlëtirs de x sont léft tnême^ que cblles de Va.

it94. Il n*j ^ (ibint lîeii à parler de réduction au même indice pbtir les râdic&iix algébriques : car cette transfortnation est ëvidemmeni défectueuse , en ce qu^elle augmente le nombre des valeuis de ces radicaux. Elle ne pourra donc pas servir ici, comme dans le n** 234) à expliquer la multiplication et la division des radicaux d'indices différens. Cependant on va prouver que les résultats trouvés par cette voie sont encore vrais dans le cas des radicaux algébriques, pourvu que Tindiee oomntun soit toujours le plus petit possible. Je ne considérerai que la multiplication j Texplication serait absolument la même pour la division.

i^ Lorsque les indices m et n sont premiers entre eux , je dis qa\>B â

m ^ n ^ mn

D'abord I si on âèVe le pttxîuit VaVù à la puissance mn , il vient

ce qui montre que toutes les détérmiààtidns du produit sont par-

mi celles du radical k a»^'". Il faut prouver en outre qu'elles ne sont pas en moindre tembre.

Soient </, a\ a'', • • • • • • les m Talears de V a^

et ft', ô", V^ "les n valeurs de Vl>.

En multipliant les quantités a% a", a^^... par 6', 6% 6%i.. oa aura tontes les détetminations du produit VaV by lesquelles sefont

€^b\ M'y aX ...

db^y M" y d'If y...

etc.

Voilà bien m n produits , mais il faut prouver qu'ils sont in^aux. Iln*y a lieu à démonstration que dans le cas où l'on compare' entre eux des produits formés de facteurs différens 5 par exemple^ dU et a"^". Admettons pour un moment que ces produits soient égaux : en les élevant à la puissance n, on aurait d'^U^z=xà^^b^'^\ et cette égalité, en observant que U^^»b"'*=^b, devient

Mais d et a" étant deux racines mf^"^ de 0 , on a aussi

Les quantités d et d' sont d.onc tout-à-Êdt dans le même cas que celles du n** 262 (i°)5 par conséquent^ on arriverait de la même manière à conclure d=d\ ce qui est contre l'hypothèse.

2** Lorsque les indices ont des facteurs communs, eni ndmiAant p leur plus grand commun diviseur, on aura

ntp *»p mnp ■

VaVbc=:Va^b"'.

En effet, par les n°' 253 et 25o, il vient

mp np J^/ rn ^^^/ n ^V"» «

\/'»,Vb=\ VaW Vb=\ V'aVb.

Mais , par ce qui vient d'être dit ci-dessus (1°), on à \'aVb^=. V/a«^"»5 et, par le n* 253 déjà cité, on a y y/o^^* éat V a''b""y

mp np w»wp

d<^nc enfin V'rtV^esV^a'*^'».

Calcul des expreaions imaginaires du 2* degré,

255. On a souvent à cond>îner entre elles des expressions imaginaires de la forme a-^^bV — i, dans lesquelles a et ^ sont des quantités réelles; et on démontre que les . résultats sont euxmêmes toujours réductibles a la forme a^^^bV — i. Cette proposition va se vérifier dans les différens cas que je vais parcourir.

236. Si on soumet les expressions imaginaires aux quatre opérations fondamentales , on a

(a+b V/=:i) -(«'+y V~i) = {a^aO+(b^b') »/=ï7 (^^i V/ZIT) X (û'+^' V/^) = aa'+ab' V^+a'b V/=7— A^'

«s aa'—bb'+:(ab'+a'b) V^;

257. Les puissances de V — i se présentent fréquemment. Or» il est évident qu'on a

de là on conclut qu'en s*élcvant aux puissances supérieures , on retrouvera toujours ces quatre résultats. Si on veut renfermer cette conclusion dans des formules, on désignera par 1 un nombre entier positif quelconque , et on aura

Ces formules doivent être employées respecti^^ment^ selon qu'en

LEÇ0K8 D'ALoilll. tlg

divisant Texposant par4 , on aura pour reste o, i , 2 ou B, isequi comprend tous les cas.

a58. Maintenant, considérons l'expression {a-\~bV — i)", n étant un nombre entier positif. Par la formule du bin&me , on a

n(yi-0^* n(/t-i)(/i-2)^\;^ ^ n(yi«iXw-a)(yg-3)M i

et, en réunissant les termes affectés de V — i ,