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' Lia I. 2 • 3 a^ J .

Puisque les quantités a et 6 sont supposées réelles , co résoItM est

étidemment de la forme A-4-BV^^^, A et B étant aussi éts quantités réelles.

Pour développer (a — ôV^— i)", il suffira de changer b en — b dans le résultat précédent. Par là ii ne souffre d'autre changenient que celui de B en—B : car b entre à des puissances paires dans fous les termes de A , et à des puissances impaires dans tous ceux de B*

Ainsi, en posant, pour abréger,

Li a t. 2 . i a' J'

on aura

[i] (a+bV'^=X+W^.

[a] (a— iVCn)"=A— BV^H".

Pour passer aux puissances négatives , on observe que lÔe U on tire

$l3û LIÇONg DALGàBBB.

jr (^— ^V/~i>

et par conséquent , à cause Je s formules [i] et [2],

Dans la suite, il sera démontre que la formule du binôme con-

^,itàde« exposans de nature quelcopque. Par conséquent les

transformations [i], [2], [3]^ [4J9 sont vraies quel que soit n. Mais

: il arri^ia , qi^aiid cet exposant ser^ Aégaûf ça frftetioqtiairQ » que

tes T^Uf 1 4^ A çt B seront çpqippsëes d'uqç iufini(ç dç ,!tçf mes Q.

25g. Quand on veut réduire l'expression radicjgjfi

à la fofme A±:B V^^^ on la remplace parlapoi^nce fraction-

WX^(a:i;Ll(V — i y, qu'op développe commç il yient d'être dit. L'algèbre ne fournit point d'autre inétbode géaévalc pour cette transformation,^ n\ais lorsque n est une puissance de 2 , on peut encorçTeffi^uer sans le secours d^ séries.

Considérons d'abord les deux radicaux yw^^bV — i et va — b 1/— I . En posant

[6] v/fl+i V^i -r. y/a—b \r^=^y,

(^) Si on multiplie entre elles les égalités [i] et [a] , il vient

relation fort simple et qui peut être quelquefois utile. Par exem|ilet eUc HcMitfe comment une puissance quelconque , entière et positive, d'un nombre qui est une •ooiBM de deoi .mkm, peut se 4écomposex dk-*iia«n»» en une «onunf ^^ deux cairéf.

LEÇONS l^'Àl^à^BÇ. 93|

et fBqél§yjaQieti5uit^ œs qiuiotUé^ au ç^rrp| il fip^U

Qael que soit le signe de a la valeur de x* est positive, mais celle dej-* est négative. De ces égalités on tire

Or y les égalités [5] et [6] donnent

donc enfin, en mettant pour x eij^ les valeurs [7], on aura

] \/a^ V^=T=i\/2fl+2 V^^^q:^— 1\/-.3«+2 Và^^Ç^^"^ .

Maintenant, si on considère les e:icpres§ipps ra^ipj^feS

y/adzbV^, \ya±.W^y \y'a±bV^, etc.

on observera que l'extraction d'une racine dont Tindice est une puissance de 2 , peut être remplacée par des extractions successives de racine carrée; et par conséquenjt, l'emploi répété- des ibrmaies [S] et [g] réduira toujours les expressions ci-dessus à des

expressions de la forme A±BV^— i.

Remarque. Dans çhacuuo de ces formules , le premier membre, à raison des radicaux qu'il contient , peut avoir quatre valeurs différentes; et c'est aussi ce qui a lieu pour le second membre. Dans.Fune et l'autre , les quatre valeurs du premier membre sont les mêmes ; et c'est encore ce qui a lieu évidemment pour les seconds membres : de sorte que les deux formules n'en font vraiment cju'une Seule. Elles ne présentent de différence que lorsqu'on les emploie simultanément daus un même calcul, parce qu'alors on y doit regarder les termes dans lesquels entre Y — i comme ^iTeclés de signes contraires. Mais alors il faut remarquer en outre c}uë , par la manière même dont on est parvenu à ces formules ,

Vû»+'6' y représente le produit ya-^-hV — 1 \/ a— ^V— ^i }

aSii LEÇONS d'aigèbre.

par conséquent, les déterminations de ces deux radicaux doivent toujours être supposées associées de manière que leur produit ait

le signe qu'on donnera à V^û.*+6* dans les seconds membres* Sana celte attention , les formules conduiraient à des résultats fautifs.

Explication de quelques paradoxes,

260, On propose quelquefois sur les radicaux des difficultés qui embarrassent les commençans , mais qui disparaissent aussitôt qu'on fait altcntion à la signification plus ou moins étendue qu^on ' attache k chaqut radical.