Soit l'expression

Par lès règles du n° 22g, on réduira les radicaux à un seul. En effet , on a

2/^ V^ = 2.b^ Va y 3 Va^ = 3a Va]

donc l'expression proposée équivaut à

2^>^ Va-^- Za Va y ou , en mettant Va en facteur commun , à

[2] (26^+ 3a) Va.

Or y si on considère chaque radical carré comme portant avec lui le signe oti, l'expression [i] peut avoir quatre valeurs distinctes, à cause des quatre combinaisons qu'on peut faire entre les signes , tandis que l'expression [2] n'a évidemment que deux valeurs. Il n'est donc point vrai , en toute rigueur , de dire que les deux expressions soient équivalentes.

Mais si on fait attention à la manière dont la réduction s'est opérée, on reconnaît qu'en mettant le radical Va en, facteur commun , on a supposé tacitement qu'il devait être pris avec le même signe dans chacun des termes où il entrait^ et par suite , au lieu de quatre arrangemens de signes , il n'y en a plus que deux, -}--[- et — — » On voit donc qu'on poura en effet employer les expressions [i] et [2} comme équivalentes, pourvu qu'on regarde les deux radicaux qui entrent dans la première comme devant être pris avec le même signe , c'est-à-dire , tous deux avec -|"> ou tous deux avec — .

LEÇONS D'iàLGiBBB. a33

2162. Dans Texemplc précédent on aitacbait à Teicpression proposée une idée plus générale que ne comportait la transfomkation qu'ob lui a fait subir. Yoicl un eitemple du contraire.

Soit le produit V^^x V^^ : la règle de la mnltiplieation (25o) donnerait

Or, dit-on , il est bien vrai que Va* a deux valeurs ±: d , maïs le produit V — «x V^^ étant le carré de V^^^ il doit être

égala — «j donc le résultat Va^ renferme une valeur fausse -4"ût. L'explication de ce paradoxe est facile. Le résultat est exactement ce qu'il doit être, et Terreur est ici tout entière dans une fausse supposition, laquelle consiste à regarder le produit de V — ûtXV^ — a comme le carré de V — a, taiidis qu'il a une signification plus étendue, ainsi qu'on va le reconnaître.

Considérons en général le produit VAX V^B, dans lequel A et B sont des quantités quelconques. Il doit avoir autant de valeurs qu'on en peut trouver en multipliant chacune des deux valeurs

de VA par chacune de celles de V B. Pour plus de netteté , désignons ces valeurs par ±:A' et ±W, L'expression VA X VB représentera indifféremment chacun des quatre produits

lesquels se réduisent à deux seulement, ihA'B'. Or, le carré de ces deux produits est A''B'* ou AB 5 donc ils sont les deux racines carrées de AB ^ donc on a rigoureusement^ et sans aucune

restriction dans le signe V , Fégalité

V/Âx ^5= V/ÂF.

Cela posé, si, au lieu de V^AX V^B, on considère le produit

V — ^X y — a , la réglé n'en doit pas moins donner les deux valeurs qui résultent de la combinaison des deux valeurs du premier facteur avec les deux valeurs du second; et au contraire, quand on

veut faire le carré de V—a^ chaque valeur de ce radical ne deyant

934 ULÇQMS D'ALOèPRI.

étr» alors multipliée que par dls-mêffie , il p'en peut évidemment résulter que -r-a.

M. Lacroix observe avep raison que le produit t^X ^a donne lieu au même paradoxe. Pour dire qu'il est égal à a» il faut supposer tacitement qu'il équivaut à {y^Jy tandis qu'en lui laissant toute sa généralité, il est véritablement ég^ à zhq,

263. C'est dans les radicaux imaginaires qu'on remarque surtout ee genre de difficulté. Supposons qu'on veuille apprécier la justesse de la transformation

[3] V^xV^^t= — V^.

Nommons a! e% V les déterminations aritlimptiqucs de Va et

V b j c'esç-à'dire le« deux nombres positifs dout les carrés sont a ei b» ï!n laissant aux radicaux toute Textensiou possible , on a toujours

et alors les deux déterminatious 4e V-r^a et de K---6 résultent de celles de )/— -i. Par suite il vi^nt

D'après ce qui a été dit dans le n® précédent ^ si on n'établit aucune restriction, on a K— iX r ^-i = V — 1 X-^î =?= ^i > donc

Mais si on veut introduire la restriction que les deux facteurs du produit V^— aX V — b soient les déterminations de V — a cl V — ft correspondantes h la même détermination de v -—i, alors on a simplement V — i X V—i = ( V'— i)' = — i , et par suite

[5] vi::^xV/^=— û'^'.

Maintenant on peut remarquer que le carré de o^i' est af*V*

o)ii 0b; donc, si on convient de n'attacher kV qb que la seule idée d'une détermination arithmétique , on pourra dire que

ft'h' == V^b % ^t écrire les égalité^ [4] et £5] comme ci-dessous :

La dornicrc n'estautre chose quc^la transformation [3] , et par Vd on voit de quelles restrictions cette transfonoation doit être accompagnée.

264. Soit encore l'expression Va v — i . En réduisant le second Fadical à Findice 4 9 il vient

[6] VâV~i^ V^âVp7?«= fe

résultat qui est , dit-on , évidemment absurde : car, a étant une quantité positive , il représente une quantité réelle , tandis que Texpression proposée est imaginaire.

Il me semble qu'il y a ici confusion d'idées. SI, dans rexprfission

VaV — I, le radical Va est une détermination àiîthmétiquc, il est bien vrai que celle expression est imaginaire. Mais alors U n'est point pei^mis de lui appliquer la transformation ci-dessus : car elle

laisse aux deux radicaux Va et V/---i toute leur généralité. Pour mieux nous en convaincre^ développops toutes {es valeurs

dontle produit Va V — i est susceptible. Soit a' la détermination

arithmétique de K a : pour avoir les quatre déterminations de ce

radical , il faut (242) multiplier a' par les quatre valeurs de K i . Or, il est facile de voir qu'en désignant par ±eù les deux valeurs

de V — ï, celles de K i sont

car en les élevant à la 4^ puissance on reproduit i . Donc les qua-

4 tre déterminations de va sont

Maintenant, pour avoir loutcslesvaleurs du produit Va V — i , il faut multiplier ces qnatrejquanlités successivement par chacune

des valeurs de V^— i, c'est-à-dire, par +« ^^ par *ar «(. On trouve ainsi huit produits , savoir :

d36 LIÇOirS D'Al.GkBRE.

'^cfig^ "h^^'y — ^«% +«'

Mais en observant d'abord que les quatre derniers sont les mêmes que les premiers , écrits dans un ordre différent, et ensuite que «* est la même chose que ^i , ces produits se réduisent à ceax*ci :

Alors on yoit qu^ils ne sont autres que les quatre valeurs de y "a. Donc Fégalité [6] est parfaitement exacte^ et Terreur, qu'on prétend y remarquer, yient de ce qu'on attache au produit y'^ ^ i

une signification restreinte que n'admet point la transformation qu!on lui fait subir.

a65. Je terminerai cet article par l'explication d'un autre paradoxe , que présente l'emploi des exposans fractionnaires.

Soit l'expression a« : si on simplifie la fraction f , il yient

donc I en repassant aux radicaux, on aura

Cependant cette ^alité manque de justesse, car le premier

membre doit avoir quatre valeurs , et le second n'en a que deux.

On présentera la difficulté d'une manière génârale en posant

np n

et en concluant de là

mp »n

[8] VaTP^Va^.

Pour découvrir la cause de l'erreur , il suffit de remonter à la convention qui a fixé le sens des -exposans fractionnaires (2o5]« Alors on voit qu'ils ne font que remplacer des radicaux ; et, pour rester dans les termes de la convention, on ne doit point regar-

der, dans l'expression a*", l'exposant comme une fraction ordinaire , mais il faut comprendre que le numérateur n indique une puissance qu'on doit former d'abord , et le dénominateur m une racine qu'on doit extraire ensuite.

LEG098 D^AtGfiBlB. 287

Lors même qu^on ne considère que des radicaux arithmétiques, c^cst toujours de cette manière qu'on doit entendre les exposans fractionnaires ; et par conséquent alors , bien loin qu'on puisse tirer Fégalilë [8] de Tégalité [7], c'est au contraire l'égalité [7J qui doit se déduire de Tégalité [8]*