CHAPITRE Xir

Propositions sur les nombres. Gmndeurs incommensurables et approximation des racines. Progressions. Fractions continues.

Propositions sur les nombres.

266. TmLORÈME. Un produit de plusieurs nombres entiers ne change pas^ dans quelque ordre qu'on multiplie ses/acteurs.

Supposons d'abord qu'on mette les deux derniers facteurs l'un à la place de l'autre. Soient a eib ces facteurs , et P le produit de tous les préccdens : je dis qu'on aura Vab-=ifba, En effet, multiplier P par a c'est prendre autant de fois P qu'il y a d'unités dans a 5 donc on a

Pa=:P4.P-fP+...,

en comprenant dans cette somme un nombre a de termes égaux à P. Pour multiplier Va par b , il suffit de prendre b fois chacun de& termes 2 donc

Pû* = P*4.PA4.PA+... .

Mais cette dernière somme , renfermant a fois le terme Vb , est égale à P^X fl ou Vba\ donc Vab=^Vba.

Si tous les facteurs de P étaient égaux \x r, on aurait P = i ^ Vab se réduirait à ab et Vba à ba'^ donc ab^ba, Ainsi le théorème est vrai dans le cas de deux nombres.

Maintenant considérons un produit, tel que abcde^ composé de taut de facteurs qu'on voudra. A cause de la première partie

2l38 LSOMS 1

de ■ofeneoÔBOBrtnbOBy on pcvt m lu'tig les drar oenixn nctenSy et fou a a^^cde^i^aheed, La iôe^ nts^o Bcntrr <pi*Dn a tf6crss«&0r, et par coaiéqtJt abced=^MAeed. H est évîdcDt qa'cn cootianant ainsi, on pcnt sucnsKvaiicBt juancwlefactgDr e â tout» les places tcts la saxicLe : et ce qa'on dît do ÊKtciir e peat s'appliquer à loos les autres.

BeprcBona le pnMluit tAedt : on j pect revpiaoer ir^ par ba; donc abcde^= bacde. Dans le produit «l'r*: on peut échanger acte, et écrire hca ; donc bacde^=bcade, P^ là on Toît qu'on peut aussi aTancer nn iaclenr à telle place qu'on voudra tck la droite.

Donc OB peut amener chaque ùclenr dn produit à nne place quelconque , ce «|ui relient à dire qu'on peut interrertir à Tolonté Tordre des dÎTcrs facteurs , sans que le produit change.

967. Remarque, La démonstration précédente ne s'applique qu'aux nombres entiers ; mais lé théorème sVtend à toute espèce de facteurs. Quand 0 y en a de fractionnaires, si on les réduit en fractions , et si on regarde les facteurs entiers comme ayant Funilc pour dénominateur, on peut dire que le produit s obtient en divisant le prodait de tous les numérateurs par celui de tous les dénominateors. Or, en changeant Tordre des facteurs primitifs, on ne fait qnlnterYcrtir Tordre des nombres entiers qui composent ces deux produits, ce qui n^altère en rien ces produits.

Qnand le prodoit renferme des facteurs incommensurables, poiu: reconnaître la vérité de la proposition, il suffît d'expliquer le sens qu'on attache alors au mot produit. Dans ce cas , il n'a absolument aucun sens , à moins qu'on ne le regarde conmie représentant nne limite Ters laquelle tendent les produits qu'on obtient en remplaçant les facteurs inconomensurables par des valeurs commensurables qui en approchent de plus en plus. Or, ces produits successifs ne changent pas quand on change Tordre des facteurs; donc fl en est de même du produit qui renferme les fhctears incommensurables.

268. Corollaires. I. Puisqu'un produit ne change pas quand on change Tordre de ses facteurs, on a mX<z^c=x=a^Gfits=iiia^f donc on multiplie une quantité par un prodoit, en multipliant cette quantité par les facteurs de ce produit. Cette démonstratiob est déjà oonuue par la note de la page 22.

II. En géoëral, lorsqu'on multiplie entre elleé pltiëietin quàiH titcdP, Q, R^. . . y on pourra considérer leur produit (Somme coin* posé de tous les facteurs de ces quantités. En e£fet , d'api'ës le corollaire précédent, si on écrit les facteurs de Q à la suite det facteurs de P, on indiquera un produit égal à P X Q; par la même raison, si après tous les facteurs de P et de Q on place oeux9de R, on indiquera un produit égal àPxQxR; etc.

III. Il suit de là que tout nombre entier 9 qui divisd exactement un des facteurs d'un produit de plusieurs nombres entiers | doit ' dÎYÎser exactement ce produit.

A ce sujet , on doit observer qu'un nombre peut quelquefois di^ yiser exactement un produit, quoiquil ne divise aucun facteur. Par exemple, ao ne divise ni 12 ni i5, et cependant il divise lo . produit 12 X i^ ou 180. 11 en est ainsi parce que 20 est compose de facteurs dont les uns se trouvent dans 1 2 et les autres dans 1 5. Mais si le nombre 20 n'avait aucun facteur commun avec l'un des deux fac^teurs, il devrait nécessairement diviser l'autre: c'est ce qui résultera du théorème suivant.

269< Théorème. Tout nombre P qui divise exactement un produit AB de deux nombres , et qui est premier peur rapport à Vun d'yeux y doit nécessairement diviser l'autre.

Supposons P premier relativement à A. En opérant sur ces deux nombres comme si on cherchait leur plus grand diviseur, on doit parvenir à un reste égal à i . Soit A^P : nommons

Q le quotient de A par P, et R le reste; Q' le quotient de P par R, et R' le reste j Q" le quotient de R pat R", et R" le reste j etc.

Ces divisions successives donnent les égalités

A«=PQ4.R, P=RQ'+RS R=R'Q"-f R", elc.

Multiplions par B les deux membres de chacune , puis divisonsles par P; il vîefat

AB-.«oX^^ ,i BÏ^O'4.^^' Ç^-Ç!^0"4.^^' Ptr D^aprcs Pénoneé , ÀB est divinble par P , donc It second membre

24o LEOaKS D^ALGOBE.

de la I'* Calice doit être entier^ et comme BQ est nombre entier, il £iat que BR 5oit dÎTisible par P. La 2' c^ité prouve que la dÎTisibilité de BR par P entraîne celle de BR' par P ; puis la 3* prouve que la divisibilité de BR et BR' par P entraine celle de BR' par P; et ainsi de suite. J^fCs produits de B par tous les restes successifs seront donc divisibles par P. Or, dans la suite de ces restes y on doit trouver Funité; donc le produit Bx i ou B est divbible par P. Ccst ce qu*il fallait démontrer.

270. Corollaire, Un nombre premier P qui divise un produit ABCD...E de plusieurs nombres entiers , doit diviser l'un d'eux. I>écomposQns ce produit en AxBCD...£ : puisque P est un nombre premier, s'il ne divise point A, on pourra le regarder comme premier à Tégard de A, et, d'après le théorème précédent, il devra diviser BCD...E. Ce deniier produit se décompose en BxCD...E, et on conclut encore que si P ne divise point B, il devra diviser GD...E. En continuant ainsi, on voit qae si aucun des facteurs qui précèdent E n'est divisible par P, E devra Fêtre. Donc P divise Fun des facteurs.

27 1 . Théorème. // n^ existe qu'un seul sjrstkme de nombres premiers dont le produit soit égal à un nombre donné : ou^ en d autres termes j deux produits de nombres premiers ne peuvent pas être égaux ^ à moins qu^ils ne soient composés de facteurs égaux chacun à chacun.

Soient abcd..» et ABCD...les deux produits ^aux. Puisque le produit abcd... est divisible par a, le produit ABCD... doit Fêtre aussi ; mais a est un nombre premier ainsi que A, B, C, etc.,* donc, si a n'est point égal à quelqu'un de ces facteurs, il ne pourra diviser aucun d'eux. Or, d'après le théorème préccdcot, /7, ne divisant ni A ni B, ne peut point diviser le produit AB j ne divisant ni AB ni C, il ne peut point diviser le produit ABxC ou ABC ; et ainsi de suite 5 dpnc a ne pourrait point divi>er le produit ABC... II faut donc que a soit égal à l'un des nombres A, B, C... Supposons « = A, et divisons les deurx produits par a. Les produits restans bcd.., etBCD... seront encore égaux , et l'on pourra leur appliquer le raisonnement précédent. On condara donc que ù est égal h Fun des facteurs B, C, D..., à B, par exemple. On fera voir semblablcment que e est égal à Fun des autres

LEÇONS d'aLGEBEE. 24 1

facteurs; et ainsi de suite. Donc les deux produits abcd,.. et ABGD... sont composes des mêmes facteurs premiers.

Cette démonstration ne suppose pas que les nombres a y b, c... soient inégaux : de sorte que si , dans le premier produit, un facteur se répète plusieurs fois , il doit se répéter , dans le second, un pareil nombre de fois.

272. Les corollaires de cette proposition sont nombreux : je me bornerai aux principaux. *

I. Un produit de plusieurs nombres contient tous les facteurs premiers dont ces nombres sont composés , et il n'en contient pas d'autres. En effet , il est démontré , d'un côté ( 268, cor. 11) , que le produit de plusieurs nombres peut être considéré comme composé de tous les facteurs premiers de ces nombres ; et , d'un autre côté (271), qu'il n'y a quun seuV système de facteurs premiers dont lé produit soit égal à un nombre donné.

II. Une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux ne peut pas être réduite à des termes moindres. Supposons que a et b soient des nombres premiers entre eux y et qu'on puisse avoir

■j- = -j2 y ^' et ^' étant des nombres respectivement moindres que

a et b. Delà on tire aV ^=.bd . Mais a et b n'ont point de fac<* leurs communs; donc a^ contient les facteurs premiers dea^ etb' contient ceux de b^ donc les nombres af et b^ ne seraient pas moindres que a et b.

III. Deux produits de nombres entiers sont premiers entre eux lorsque tous les facteurs de l'un d'eux sont premiers par rapport à ceux de l'autre. Soient ÀfiG... cl abc*., les deux produits. Le produit ABC... n'a pas d'autres diviseurs premiers que ceux des nombres A, B, G..., et le produit abc*, n'en a pas d'autres que ceux des nombres a, by c... Donc, si aucun des nombres A, B, G... n'a de diviseur commun avec a , ni avec by ni avec c, etc., les produits eux-mêmes ne pourront avoir de diviseur commun.

ly. Si a et b sont des nombres premiers entre eux , les puissances a"* et b'^ sont dans le cas du corollaire III , donc elles représentent des nombres premiers entre eux. Les exposans tti et ti peuvent d'ailleurs être égaux ou inégaux.

y. Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres est

ta

Jf ^•

343 IXÇ09S B1L6CBBE.'

^al an prodait de tons les facteurs premiers comminis à ces nombres. Soit D le plus grand commun dÎTÎsenr de plusieurs nombres. Par le cor. I , on sait que tous les facteurs premiers de D doivent se tronrer parmi les &cteurs premiers de chacun de ces nombres. D*ailleurs aucun antre fiixtenr premier ne peut leur être commun à tous ; car s^il en existait un autre dyccs nombres admettraient pour diviseur commun le produit IM, lequel serait plus grand qucD.

De là il suit que si on détermine le plus grand commun divisetur D ^ deux nombres A et B , puis le plus grand comrinnn diviseur D' à D et à un troisième nombre G , IX sera le plus grand commun diviseur aux trois nond>res A, B, G. On continuerait de la même manière sll 7 avait plus de trois nombres. •

YI. Plusieurs nombres étant donnés, ccnnposons un prodoit de telle sorte que tout facteur premier appartenant à quelqu'un de ces nombres se trouve dans ce produit avec Fexposant le plus devc dont il soit affecte dans ces différens nombres ; le produit ainsi formé sera le plus petit nombre dirisible par chacun des nombres donnes.

n est clair, en effet , que si un nombre ne renferme pas tous ces facteurs , ou s*il les renferme à des exposans moindres , il ne sera pas divisible par chacun des nombres donnés^ et , d*un autre côté, si , outre ces facteurs , il en contenait d'autres , il serait plus grand que le produit dont il s'agit.

2-» 3. Problème. Trouver tous les dMsettrs d'un nombre quel" conque N.

La première idée qui se présente est d'essayer succcssÎTementla division du nombre N par chacun des nombres i, 2, 3, 4... jusqu'à N ; mais on peut abréger ces tûtonnemcns. Soit D un diviseor de N , et ly le quotient de N par D : on a DIX = N , ou , sous une

autre forme, DD'=</NX\/S'; donc si D est <V'N, V sera >V^N. Il suit de là qu'après avoir trouvé tous les diviseurs moindres que V^N, les quotîens qui auront été obtenus en divisant ?i par ces diviseurs , seront les diviseurs plus grands que VU* Par exemple, soit N= 36o. La racine carrée de 36o est comprise entre 18 et ig : ainsi , ou divisera 36o seulement par les

nombre i, 2, 3,*.. 18. De cette manicre on trouve tous les diviseurs de 36o , savoir :

I 2, 3, 4» 5, 6, 8, 9, 10, 12, i5, 18. 36o, 180, 120, 90, 72, 60, 45, ^Oj 36, 3o, 24i 20.

274» PROBLïiME. Former une table de nombres premiers.

On appelle nombre premier celai qui n'a pour diviseurs que Funité et lui-même. Lors donc qu^un nombre étant donné , le procédé ci -dessus ne fera découvrir aucun autre diviseur, on sera sûr que ce nombre est premier. Pour éviter ces calculs , qui peuvent être fort longs, on a construit des tables qui renferment tous les nombres premiers jusqu'à certaines limites [*).

La manière la plus simple de les construire consiste à écrire de suite les nombres impairs 3, 5, 7, 9, etc., jusqu'à telle limite qu'on voudra, et à effacer tous les multiples de trois, tous ceux de 5, tous ceux de 7, etc. Il est évident que les nombres premiers sont les seuls qui resteront. A la tête de ces nombres il ne faut pas oublier de placer i et 2.

Rien d'ailleurs de plus facile que de reconnaître les multiples qu'on doit effacer. Ceux de 3 se trouvent en comptant les nombres 3, 5, 7, etc., de 3 en 3, à partir de 5, ceux de 5, en les comptant de 5 en 5, à commencer de 7 5 et ainsi de suite (**).

275. Remarques, L La suite des nombres premiers est îllimi* tée. Admettons qu'il en soit autrement, et que n soit le plus grand de tous. Si on forme le produit P = 2.3.5. • ./i, qui renferme tous les nombres premiers , il faudrait que le nombre P+i, qui est^-zi, fût divisible par quelqu'un de ces nombres. Or cela

(*) Legekdre cite particnlièrement les tables de Chernac et celles de Burck- UÀRDT. Dans celles de Chernac > on trouve tous les nombres premiers jusqu'à I 000000, et les diviseurs de tous les antres nombres compris dans cette limite. Celles de Burckhardt sVtendent jusqu'à 3o36ooo.

{^*) Représentons-nous une planchette percée de trous, au-dessus desquels les nombres impairs 3, 5, 7, etc., sont placés par ordre ; puis h mesure qu*on arrive, en les comptant de trois en trois, de cinq en cinq, de sept en sept, etc., aux multiples qu'on doit cfî*;iccr, concevons qu'on laisse échapper ces multiples à travers les trous correspondons , il ne restera sur la planchette que les nom» bres premiers. Tel est le fameux crible d'£lraiosthcne , qui vivait à Alexandrie 380 ans avant J. C.

^44 IXÇQSS D*ALGSB1E.

est éfidcmmenliiiipassiMe, cir il r um umjoiirsIeKsle i. Donc fl est impossible que la suite des nombres premiers soit limitée.

II.En comparant tons les nombres aTec lesmoltîples d*un même nombre, on est condaît à les présenter sous différentes formes dont on fait souYent usage. Par exemple, si on les compare aux multiples de 6, on pourra d'abord les représenter par une des six formules

6ir, 6x+i, 6x4-2, Gr+S, 6r+4, 6x4- 5,

dans lesqueDes x est un nombre entier quelconque. Mais si on ne yeut considérer que les nombres premiers, il ne faudra conserrer que les deux formules 6r4~i ^ 6x4*5 : car les autres donnent des nombres divisibles par 2 ou par 3. On peut aussi , à la place de6x4-5>écrire6(x4*i) — i, ou lùen encore 6x — i, puisque x est un nombre entier quelconque. Ainsi tous les nombres premiers, excepté 2 et 3 qui sont diviseurs de 6 , sont compris dans la formule

N=6xdii.

On raisonnerait d'une manière analogue , si on considérait d'aures multiples que ceux de 6.

276. Pboblcîie. Décomposer un nombre en facteurs premiers^ et trouver ensuite tous ses diviseurs^

Un nombre quelconque N, s'il n'est pas premier, pent être

eprésenté par le produit de plusieurs nombres premiers a , 6 ,

c, etc., élevés chacun à une certaine puissance, de sorte qu'on

peut toujours supposer N = arb^cP^. • Cest cette décomposition

qu'il s'agit d'opérer.

Prenons pour exemple le nombre 5o4. Je le divise d'abord par 2 autant de fois que possible , et on trouve ainsi

Alors je divise autant de fois que possible 63 par 3 , qui est le pins petit nombre premier au-dessus de 2, etil vient

Donc on a

LEÇONS D^ALGBBBE. 245

ôa bien , soas une autre forme ,

Le» divisions par 3 ont amené le quotient 7. Si ce quotient n'était pas un nombre premier, on continuerait les opérations en essayant successivement les autres nombres premiers 5, 7, etc. , Maintenant on formera facilement tons les diviseurs de 5o4. Us ne sont autres que les nombres qu^on obtient en prenant tous les facteurs premiers un à un , deux à deux , etc. Pour être sûr de n'omettre aucun diviseur, on adopte la disposition suivante :

La première colonne à gauche contient le nombre donné 5o4 et les quotiens des divisions successives. A c6té de ces nombres , dans une seconde colonne , sont écrits les nombres premiers qu'on emploie comme diviseurs, et qui sont les facteurs premiers du nombre 604. Enfin , on place à gauche de cette colonne tous les diviseurs de 5o4 , et je vais dire comment on les trouve.

En tête de la troisième colonne, mais au-dessus de la ligne qui contient 5o4 , on écrit d^abord l'unité , qu'on doit regarder comme le pranier diviseur de 5o4* On multiplie cette unité par le premier nombre de la seconde colonne , et ou a ainsi le diviseur 2 qu'on écrit à c6té de ce nombre. On multiplie ensuite les diviseurs déjà trouvés^ i et 2 , par le deuxième nombre de la seconde colonne^ et, en omettant la répétition du produit 1X2 ou 2, on obtient le nouveau diviseur 4? qu'on écrit sur la ligne du dernier multiplicateur. On continue de la même manière jusqu'à ce qu'on multiplie enfin par le dernier nombre de la seconde colonne , ce qui produit une dernière suite de diviseurs, laquelle sera toujours terminée par le nombre donné.

Quand on connaît déjà tous ks -facteurs premiers d'un nombre N, on peut encore trouver ses diviseurs par un autre procédé.

246 LEÇCn^S D^ALGkBBE.

Supposons que le nombre N, décomposé 'en facteurs premiers, soit

tous les diviseurs de N seront représentés par la formule d^b^cv' ,.^ dans laquelle les cxposaus né y v!^ //, . • • ne doivent point surpasser m^riyp... Par là on reconnaît que ces diviseurs seront les différens termes qu'on obtient en effectuant le produit

277. Remarques. La multiplication des deux premiers poly* nomes donne un nombre de termes égal à (m-{-i) (/i^-i), par conséquent celle des trois premiers polynômes en donne un nombre

égal à(m4-0('^"4"0(/^4"0 > ^^ ^^^si de suite; donc le nombre de tous les diviseurs de N est exprimé par la formule

En même temps on voit que le produit P est la somme de tous ces diviseurs. Or, on sait (53) que les polynômes <iui composent?

sont respectivement égaux a , — , etc. 5 donc |a

somme de tous les diviseurs du nombre N peut s'exprimer par la formule

Par exemple, soit N=5o4=2^X3*X7 : on aura ms=3; n=2, /;=:i . Donc le nombre des diviseurs de 5o4 sera

et la somme de tous ces diviseurs sera