X-ô — X^^ = i5xx3x8=:i56o

278. Problème. Combien de fois un nombre premier Ô estait facteur dans la suite des nombres naturels, depuis i jusquà n? ou, en d'autres termes, quelle est la plus haute puissance de 6 qui divise le produit i • 2 , 3 # • • n ?

LEÇONS D'ALGEBAt:. ^47

Soil n' la partie entière du quotient de n par 0. Dans la suite proposée on trouve les iJ facteurs ô, 29^ 39,.. • du produit

et il est clair qiiUIs sont les seuls qui soient divisibles par 0, Ce produit peut s'écrire ainsi

donje on obliendr& la puissance cherchée en multipliant é^ par la plus haute puissance de ê renfermée dans le produit i •2.3. . .//. Le même raisonnement peut se répéter à Fégard de ce produit. Par conséquent y en appelant n'' la partie entière du quotient de 7/ par ê , on reconnaîtra que la plus haute puissance de 4, con>tenue dans le dernier produit, se compose de la puissance ù*^ multipliée par la plus haute puissance de $ contenue dans le produit

Semblablement, en nommant n" la partie entière du quotient de n" par é , on sera encore conduit à chercher la plus haute puissance de ê renfermée dans le produit i .s.S. • •n'^.

On continuera ainsi jusqu^à ce qu'on parvieutie à un quotient <^tf. Pour fixer les idées, supposons que ce soit n^; alors on conclura que la plus haute puissance de êj contenue dans, le produit donné i . 2 . 3 . . . n, est ^«^+«"+«'".

Yeut-ou savoir, par exemple, quelle est la plus haute puissance de 7 qui divise le produit 1 .2.3. . .1000? On fera 72 = 1000 5 et, en ne prenant que les entiers des quotiens , on aura

La somme de ces quotiens étant 164 1 il s'ensuit que la puissance cherchée est 7*^^.

27g. Corollaire, Soient w,'n, p^q,»** des nombres entiers tels qu'on ait m=^n +/? + ^ . . . 5 l'expression

[^ I*2*<3*/|.«ca«*»*. «T?! I] 3 ■