iXï»2.. ./»Xi «a. . .^X etc
représentera toujours un nombre entier. En effet, soit 0 un fac«
aifi LEÇONS B^ALGÉBItE.
teur premier du dénominateur, on aura
^==«+£+? + ctc.
En nommant m', n', /?', q'f» les quotiens entiers, on aura donc aussi
m'= ou >/i'+p'+<?'4" ^^^*
Si on divise de nouveau par é, et qu'on nomme m", /i", • • • les nouveaux quotiens entiers, on aura pareillement
m"= ou '>n''+p"+q"+ etc.
On continuera ainsi tant que les quotiens ne seront pas tous moindres que ê. Alors, en ajoutant, on aura
(m'-+-m''-t-...)= ott >C/i'-+-/i''-f-...)-*-tp'-+-p''-+--0-+-(<7'-^9''4-—)-+-ctc.
Or ces dificrentes sommes font connaître les plus hautes puissances de é par lesquelles on peut diviser les produits qui composent Texpression [i] ; donc il n'y a aucun facteur premier dans le dé^ nomînateur de cette expression qui ne soit à une puissance au moins égale dans son numérateur 5 donc cette expression représente un nombre entier. Cette conclusion renferme, comme cas particulier, la remarque du n^ 210.
Continuation, lliéorèmes sur les résidus.
280. Théorème. Soit p un nombre premier par rapport à a 5 si on divise par p les multiples successifs de 2i jusqu'à (p — i)a inclusivement , les résidus ou restes de ces divisions seront tous differens.
Admettons que deux multiples 772^^ et m' a y moindres cpie pa^ puissent donner le même résidu r. En nommant E et E' les entiers des quotiens, on devrait avoir
wût=E/;-f"''? w/« = E'p+''' Si on retranche ces égalités Tune de Fàittrc , il vient
(w'— w)a=(E'— E)/7, d'où K-^)^^;g.p;.
et comme le nombre p est premier avec <i, il s'ensniyrait qu'il df* vise mf — m ^ ce qui est impossible puisque 'm et m' sont <Cp*
Remarque» Appelons r, r', r",. . . les/? restes qu'on obtient en divisant a, 2a, Sa,. • .(p-^i)a, par/? ; et supposons qu^on ait
a±sE/?4-r, 2a=;E7?+r', 3û=E"/?+r^, etc.
Si on ajoiite pa à chaque égalité, on a
donc y après avoir passé pa qui est le premier multiple de a divisible par p y les multiples sulvans ramènent les restes déjà trouvéSi et dans le même~ ordre. Sans pousser la démonstration plus loin , il est clair que cette période de restes se reproduit après chaque multiple de a divisible par/;.
281. Théobeme. Soit p un nombre premier avec^, si on divise* par^ la suite des puissances i, a, a', a^,... il j'en aura toujours une entre 1 ef aP, qui laissera un résidu égal à i; jusqiià celles là tous les résidus seront dijférens ; et au-delà , les mêmes ré^ sidus se reproduiront périodiquement.
Les résidus devant être moindres que/7 , on ne peut pas en trouver .plus de /? •— - 1 qui soient différens ^ donc , dans les/» premiers termes de la suite i , ^r, a',... a/^% il en exbte aU moins deux qui donnent le même résidu. Eu les représentant par a"^ et a'"', et le résidu commun par r, supposons qu'on ait
De là on tire
û«'— a'«=(E'— E)/;, ou a"»(a"''-"»— i) = (E'— E)/;j
et comme p est premier avec a , il devra diviser û"^— « — 1 . Donc on aura Funité pour résidu en divisant par p la puissance a"^"^*» , laquelle est <Cp^*
Désignons par a^ la plus petite puissance , auti^ que i . qui donne le résidu i , tous les résidus précédens seront inégaux entre eux. Ea efiet, si pour deux puissances a*^ et 12"^, moindres que a", on pouvait avoir les égalités [i], on en conclurait, comme tout-à-l'heure, que la puissance o^'*-^ donnerait le résidu i ; par conséquent a"
aSo LEÇONS D^LOiBkE.
ne serait pas la plus petite puissance qui jouit de cette propriété. Soit a" sï£/7-4" 1 9 ^ étant entier. Au-delà , on aura
û»+»=sEûp+ « y «"+' =.Ea'/; +!^S ^""^^ — Ea^p-^a^ , etc. 5
donc 9 pour les puissances a", û»+*,... a*""~% les résidus seront successivement les mêmes que pour a°, a', a'... û"""'.
Pour a"'» le reste sera i comme pour a" : car Fégalité a"=E/7-|-i, en la multipliant par a'*, donne a"* =£«"/?+«". En répétant le raisonnement précédent , on fera donc voir que les puissances de û«» à a^""^ donnent encore la même période de restes i et ainsi de suite.
Remarque. Par ce qui précède y il est clair que le résidu d^une puissance de a ne doit pas changer, quand on 6te à l'exposant un multiple quelconque de /i ; et cette observation fournit un moyen facile d^obtenir les résidus des puissances très-élevées , lorsqu^on connaît les résidus de la première période. Quant à ceux-ci , on lei détermine directement y mais on simplifie le calcul en faisant attention que, pour passer du résidu de a^ à celui de af'^^y il suffit de multiplier le premier par a et de diviser le produit par/?.
Par exemple , cherchons le résidu de la division de 4^^^ par 11. Ceux de 4°, 4S 4*> ^^^ ^ > 4 7 5. liC produit 5x4*^^^® donne le résidu g ^ 9X 4 ^^ ^^ donne 3 ; et 3 X 4 ^^ ^^ donne i . L'on s^arrête ici , et Von forme le tableau suivant :
Puissances 4% 4% 4'> 4^7 4*'
Résidus ly 4) ^9 9> ^*
^exposant 5 étant celui qui ramène le résidu i y on divisera l'exposant donné 898 par 5, et le reste 3 indiquera que la puissance 4^^^ laisse le même résidu que 4^ 9 donc ce résidu est 9.
282. Théorème. Si p est un nombre premier qui ne dii^ise point a , V exposant de la plus petite puissance de a , autre ^i/ea®, dont la division par p donne Vunité pour reste^ sera on p — i ou un diviseur de p — i.
Soit a"^ cette plus petite puissance. D'après le théorème précédent , on doit avoir /zcrsy?— 1 ou <Cp— i s il l'esté donc à prouyer que dans le seeond cas n est diviseur de p — i .
LEÇONS D*ALGEB&E. 25 1
Supposons que pour les pubsances a*, a», a»,. . • o«-* les ri résidus soient
On sait qu'ils sont tous diiférens 5 mais comme il n'y en a que n , on n'y trouvera pas tous les nombres de la suite
Soit fi un de ces nombres , non compris dans la Suite [u] : si on multiplie tous ces résidus par p , il vient
et si on divise ces produits par p , on obtient n résidus
que je dis être tous différens entre eux , et difTérens aussi de ceuic de la suite [«]•
D'abord ils sont diflerens entre eux. Représentons par p, p% deux résidus quelconques de la suite [<»], et par a"*, a"*^, les puissances dont ils proviennent, de sorte qu'on ait
En multipliant ces égalités par ^ , il vient
et si les produits Pp, Pp% pouvaient donner un même résidu p", les dernières égalités pourraient prendre )a forme
F et F' étant encore des entiers. Par la soustraction , on aurait
donc
pa"»(û'^-«— i)r= (F'— F)/? :
or, p est un nombre premier qui par hypothèse ne divise point <?, et qui ne divise pas non plus p puisque p est <^p 5 donc/? devrait diviser a"*'"^"* — i ; donc a" ne serait pas la plus petite puissance de a qui ramène le résidu i . Donc tous les nombres de la suite [p] sont diiférens entre eux.
25a LEÇONS b^ALCèt&I.
Ils sont différeos aussi de ceux delà suite [«]• Reprenons Fég»-
litéû'"'=E'/?+p% multiplions-la par p, et admettons que le produit ^f/ puisse amener le même résidu p que aP*. On aurait deux égalités de cette forme
E et £" étant toujours des entiers.
Si m ^ m' y on retranchera la 2" de la i'", et il Tiendra
Il faudrait donc que a^'-^^ — p fût divisible par/?, ou que a"*'"*"* donnât le résidu p. Ainsi p appartiendrait à la suite [«] ^ ce qui est contraire à Thypothèse.
Si jn<^m' , on prendra au lieu de û*", la puissance û'*"H» qui donné le même résidu que a'^, et le raisonnement précédent subsistera.
Donc les suites [«] et [p] renferment 2n termes , tous différeus , et tous <ip*
S'ils n'épuisent pas la suite [A], prenons un nombre >r parmi ceux qui restent , multiplions la suite [«] par y^ divisons par/; les produits
et représentons les n résidus correspondans par
En répétant ce qui vient d'être dit pour p , on verrait que ces résidus sont différens entre eux^ et différens de ceux de la suite [«] : on va prouver qu'ils sont différeus aussi de ceux de la suite [p]. Admettons qu'un nîème résidu p appartienne aux suites [p] et [y] : on devrait avoir des égalités de cette forme,
pa"» = E/?4" p > >'û'*'=E'/?-|- p ,
m et ni étant deux nombres <^72.
Si m ^ m^ ^ on en déduirait
ttm/(p^m-m'y)(E ^E')p5
LEÇONS D^ALGÈBAE. ^53^
donc pû'"^'^.'— y serait divisible par p» Mais pa"*~'«' donne un reste de la suite [p] ; donc la différence entre ce reste et y devrait être divisible par p. Or cela est impossible : car le nombre y est lui-même moindre que/; , et différent de tous les restes [p].
Si m<Cjri y on prendra au lieu de û"», la puissance a"+'* qui donne le même résidu que a'" , et la démonstration précédente subsistera encore. i
Donc les suites [«] , [p] , [y] , renferment 3/i termes , tous diffé- , rcns,et tous<^/?.
Si la suite [A] en contient encdre d^aulres , on pourra continuer les mêmes raisonnemens, et il est clair qu'à la fin elle sera épuisée par des séries dont chacune renferme n termes. Or le nombre des termes de la suite [A] est /i — i ^ donc en6n n est diviseur de /7-— 1| et le théorème est démontré.
Dans Fexemple qui termine le n° 281, on a vu que 4^ est la plus petite puissance de 4 dont la division par 1 1 ramène le résidu I ; et en effet Texposant 5 est un diviseur de 1 1 — i ou xo«
283. Corollaire. En partant de Tégalité â'*=;E/;4"i > on a celles-ci
û» r=Ep+i , û*» = Efl'»/?-!-^", û'"=Eâ'7?+^"'> «*<î' 5
et Ton en conclut que le résidu i correspond à tous les exposans multiples de n \ donc aP'^^ donnera aussi le résidu 1 5 donc aP^^ — i est divisible par/?. Ainsi se trouve démontré ce beau théorème qui porte le nom de son inventeur Fermât : Un nombre premier p qui ne divise point a doit diviser zF'~^ — i .
284. Remarque, D'après ce qui a été dit u° 281, tout nombre a , dont la puissance/? — i est la plus petite qui ramène le résidu I, jouit de cette propriété que les puissances inférieures à/? — i, fournissent tous les résidus i, 2, 3,. . •/? — i, mais dans un ordre différent de Tordre naturel. Si, parmi les nombres qui remplissent cette condition , on ne prend pour a que les nombres au-dessous de /?, on aura ceux que Euler appelle des racines primitives par rapport à /?. On n'a point de méthode dii-ccte pour les chercher, mais on peut le faire par tâtonnement. Euler les a donnés pour les nombres premiers [jusqu'à 87, et je les rapporte ici diaprés lui.
TYômb. I
Racines primitives.
oi
