PQ 1 , F

Q'^Q'CQ'm+Q; ^' ^ q^ Q'(Q''w + Q'+Q) '

ou bien , puisque Q'wi + Q = Q^,

^ — ri<7y7vi et a:— ;^>

On obtient ainsi deux limites de la différence x — j^. La première

limHe revient k cette règle déjà connue (3io), q\i en prenant une réduite pour valeur approchée de x', V erreur est moindre que V unité dis^iséepar le produit des dénominateurs de cette réduite fit de la suivante. Mais la seconde limite montre en outre que / erreur est plus grande que r unité divisée par le produit du prc' mier dénominateur multiplié par la somme de o^dénqminqfeur et du suivant.

3 14. Chaque réduite approche de x^ non-seulement plus qu*aw cunà des réduites précédentes y mais encore plus que toute autre

LEÇONS D'ALGkBRE, 2']5

fraction qui aurait un dénominateur moindre que celui de cetti réduite.

Nous venons de reconnaître que chaque réduite approche plus dex que les réduites précédentes; mais auss>i elle a Tinconvénient d^étre exprimée en ternies plus grands, et Fou sait d^ailleurs qu^elle n*est point sinoplifiablc. Il est donc naturel de rechercher s^il existe une fraction conçue en termes plus simples qu'une réduite , et qui cependant ne soit pas «noins approchée de x.

Reprenons les deux réduites ^, Tv 5 ®^ supposons qu'une fraction - ) .<Iu^oii peut toujours régarder comme irréductible ^ appro* p

P' che plus de x que Ty. Puisque x est entre ces deux réduites , mais

plus près de la seconde que de la première, i) faudrait que - fut

aussi. enJtre ces réduites. Donc on aurait, abstraction faite des signes des différences ,

u P.^F P Q«— Pô 1

Mais le numérateur Qec — Pp est un nombre au moins égal à i

donc il faudrait qu'on eût le dénominateur Qp ^-QQ', ou p^Q'.

Ainsi une fraction, pour êtreplus approchée de a: que la réduite t^,

doit avoir un dénominateur. plus grand (*).

Cette propriété imprime aux réduites un caractère qu'il importe de bien saisir. En généra] , quand V)n emploie des fractions dans les approximations, il ne faut pas croire qu'en prenant des dénominateurs plus grands on obtienne toujours un plus grand degré d'exactitude. Pour mieux me faire comprendre, soient les trois fractions y, I, f. Si on les réduit au même dénominateur, elles deviennent ffj tf? tI? et parlk on reconnaît quelles sont rangées

(*) 11 y a plus : si on ne considère que des valeurs approchées qui soient toutes moindres, ou toutes plus grandes que ar, on peut facilement prouver qu'une fraction, pour approcher plus de xqu'une réduite, mais dans le même sens, doit avoir un dénominateur plus grand que celui de la réduite suivante.

2^6 LEÇOIÏS d'algèbre.

par ordre de grandeur. Or, il peut se faire qu^une quantité incoi4nue X tombe entre y et f, mais beaucoup plus près de \ que des deux autres \ et alors il est évident qu'il sera impossible, avec des septièmes d'unité, d'obtenir pour x ilue approximation aussi grande que \* Cet exemple montre qu'en cherebant des valenn approchées parmi les fractions qui ont un dénominateur donné, on petit quelquefois avoir un moindre degré de précision qu'avec des dénominateurs plus petits. Mais il est'très-remarqt^ble que cda ne doive jamais arriver quand les valeurs approchées seront choisies parmi les réduites qui se déduisent de la fraction continue ^le à l'inconnue ; et c'est sur cette propriété que je voulais fixer Tattention.

3i5. Toute fraction continue périodique est égale à Fune des racines d^une équation du 2* degré à coejfficiens rationnels.

Soient a , 6 , • • • les premiers quotiens , qui forment la partie non périodique ; et soient /? , ^ , • • • les quotiens suivans, qui reviennent périodiquement. Posons

■HzTirr^ -4

/j+etc. ' ~^^clc.

Il est -clair que dans ces deux expressions on pouira remplacer par j* la suite /7-^ etc. : de sorte qu'on aura

r ■ jr

En considérant ainsi ces deux suites comme terminées à r y et en leur appliquant les règles relatives à la composition des réduites , on arrivera à deux équations de cette forme

Or, si de la première on tire la valeur de y en « , et si on la substitue dans le deuxième, il est facUe de voir que Téquation résultante sera du 2« d^ en x^ Donc , etc.

LEÇONS d'aLGEBBE. 2^7

La proposition inverse est également vraie : c*est-à-dire que toute racine irrationnelle iVune équation du a* degré j dont les coejjficiens sont rationnels ^ est égale à une fraction continue pé' riodique. Cette proposition peut se vérifier dans un grand nombre d'exemples , et j'en donnerai un dans le n*^ 3i8 ^ mais pour la dépionstration générale , je renverrai au Traité de la résolution des équations numériques par LagrAvge , ou aux additions du même auteur à V Algèbre d'ËULER. *

3i6. Développer une quantité quelconque en fraction continue. Représentons cette quantité par x; la règle générale consiste à faire successivement

^'^^'^1?' ^'='^-+;p' a^=c+-p,etc.

a étant le plus grand nombre entier contenu dans x ^ h \e plm grand nombre entier contenu dans oc^ , et ainsi de suite. Quand on saura trouver ces nombres , il est clair qu'en remplaçant successivement j:\ ar" , . . . par leurs valeurs , on aura* le développement demandé ,

Xr=a'\r

c-f-etc.

Lorsque x est * une quantité incommensurable , la fraction continue devra se prolonger indéfiniment : car si elle se terminait , les réduites seraient en nombre limité et la dernière serait la valeur exacte de x ] donc x ne serait pas incommensurable. » Au contraire, lorsque x est commensurable , la fraction continue s'arrêtera toujours , ainsi qu'on va le voir lout-à-l'heure.

817. Convertir une fraction ordinaire en fraction continué , et former ensuite les fractions convergentes.

Soit une fniclion ordinaire

Divisons M par N : en nommant à le quotient et R le reste ,

on aura

a^S Leçons D'ALCàBRE.

Divisons N par R : en nommant d. le quotient et R' le reste, on.

aiirà

Divisons encore R par R' : en nommant c le quotient et R" le reste y on a pareillement

F = ^+R* dou g- =

En continuant ainsi ces opérations , qui sont les mêmes que si on cherchait le plus grand commun aîviscur de M et de N ^ on arrivera nécessairement à un reste nid , puisque les restes successifs sont d'es nomhres entiers décroissans. Supposons , pour fixer les idées f qu'on trouve , sans reste ,

R«=^, dOU j^,=-.

Alors il est facile de voir qu'on aura successivement

r- ou

Au moyen des quotiens a^hyC y... les réduites ou fractions convergentes se calculeront comme il a été expliqué n** 3o8. Supposons, par exemple, que la fraction donnée soit

Voici le tableau des calculs :

Divisions ... < 86400 20929 • \ 2684 1 214 1

Quotiens... 4 > 7> ' > 3 , i , 16 , i , i , i5 .

licduites...-, ^ , ^,,,^,,^^, __.

La fraction donnée étant conçue en nomhres assez considcra-

LEÇONS D^ALGEBBE. 279

bles y on pourra , si on le juge convenable y la remplacer par une de ces réduites^ et alors on sera assuré qu'aacune fraction plus simple ne pourra en approcher davantage. En prenant la réduite -^, l'erreur serait <j^^j ou<^jj.

3i8. Réduire en fraction continue la quantité irrationnelle r a'-f- 1 , dans laquelle a est un nombre entier quelconque.

Le plus grand nombre entier' contenu dans K a'+i est évîdeinment a. En conséquence on posera

Vû»+i= «+ îj , d'où y=

^ Va\+i—a

Pour extraire les entiçrs contenus dans a/ , on multiplie d'abord

les deux termes de cette valeur par a-f" Va^-^-i ^el on lui donne cette forme plus simple

Alors il est clair que aa est la partie entière de 2:^ ; on fera dono

a:r=a-|- Va* + i =:2a+tj/ y ^^^ x" =

x" ' Va>+i — a

Cette valeur de a:" étant la mcme que cqIIc de a/ , il s'ensuit que - Ka*-f-i sera exprimé par la fraction continue périodique

Va*+i=a4 î

En traitant de la même manière la racine carrée d'un nombre entier quelconque qui n'est pas un carré exact , on trouvera toujours une fraction périodique ; mais il pourra se faire que la période se manifeste plus tard. Cette proposition rentre dans celle qui est énoncée à la fin du n» 3i5 , et dont je n'ai point jugé à propos de rapporter la démonstration

3ig. On propose d'évaluer le rapport approché de lacirconférence au diamètre en fractions y dont chacune soit telle qu^ au* cune fraction plus simple ne puisse être plus approchée.

tSo leçons d'algèbre.

D'après la propriété démontrée n» 3i4 9 cette question reyient k développer en fraction continue le rapport de la circonférence «u diamètre , et à calculer ensuite les diverses réduites..

Il n'existe point de méthode directe pour opérer ce développement : on y supplée en se servant de la valeur approchée, en décimales, du rapport dont il s'agit. La précision a été poussée jusqu'à i4o décimales , mais je ne ferai usage que des dix premières. En.désignant ce rapport par 7, on a

Si on ajoute une unité à la dernière décimale , la valeur exacte de yr sera comprise entre les deux fractions

En conséquence , on les réduira toutes deux en fraction continue; et en ne prenant que la partie commune aux deux développemens, on sera assuré qu'elle doit appartenir aussi à celui du rapport sr. Pour ne point perdre de vue l'objet principal , j'admettrai ici celte assertion comme démontrée. ^

Si on effectue pour chaque fraction les divisions successives , comme au n° 317, ou trouve ces deux séries de quotiens :

Ne considérons donc que ceux qui sont communs à ces deux suites, à partir du premier sans interruption ; puis formons les réduites correspondantes : on aura ainsi les valeurs cher<:hées:

Quotiens. .. 3, 7 , i5 , i , 292 , i , i.

Réduites ^ 22 333 355 103993 104348 208341 ' •" 1' 7' 106' ii3^ 33ï02' 332i5' 66317*

La i" réduite n'est autre chose que le quotient 3, auquel on donne l'unité pour dénominateur ; et la 2* est égale à 3-|-y.

La 3* réduite ff| est formée en multipliant les deux termes de la précédente par le 3* quotient 1 5 et en ajoutant respectivement

LEG0N5 P^ALGEBEIB* ^dl

9LUX produits les termes de ravant-préçédente. Çalçol analogue' pour la 4** réduite et les suivantes (3o8).

Ces diverses fractions sont alternativement plus petites et plus grandes que la vraie valeur de ît. Ainsi là* fraction -^ sera trop grande^ c'est le rapport trouvé par Archimède. D'après le n" 3i3, Terreur qu'il comporte est entre j^}^ ^^ tîT+Wt^ c'est-à-dire , entre -^ et yfr. • ; '

La fraction -f-J-^ est le rapport d' Adrien Métius. Il est encore plus grand que le rapport eitact, mais il est. beaucoup plus approché que celui d'ARCHiMEDE : car il ne laisse qu'une erreur coioprîse entre ^rr^^vTr^ et 7713^177/+ s 3. o,i> c'est-à-dire, entre çy^sTâ

« i3X33ioa

£Sa9

eti7

■ Le rapport f?^, placé entre celui d'Arcliimède et celui de Métins, paraît avoir été connu des Indiens; il n'est guère plus simple que ff 3 , mais il est beaucoup moins approché : cajr l'erreur est entre -...j^.., et :^r^,|-^-j~^, c'est-à-dire, entr^ —-et

io6xxCi t 3

Si on veut comparer ces rapports avec la valeur de «• rapportée au commencement de ce n*, ce qu'il y a de mieux , c'est de les réduire en décimales. On trouve

On voit donc que le rapport d'ARCHiMÈoE est en erreur à la 3* décimale , celui de Metivs à la 7" seulement , et le rapport intermédiaire à la 5'. ^

D'un autre coté , si on cherche les valeurs approchées de jr par des polygones inscrits et circonscrits, en prenant le carré pour point de départ , oh reconnaîtra qu'il faut s'élever auic polygones de 128 côtés pour avoir deuic décimales exactes, à ceux de 2048 côtés pour en avoir quatre, et à ceux de 8192 pour en avoir six. Par là on voit de quels polygones dépendent les trois rapports" cidessus. Je n'ai rien dit des autres parce qu'ils sont beaucoup plus compliqi^s , et qu'ils n^ont d'ailleurs aucune célébrité.

320. Je me suis appuyé, dans le n" précédent, sur une assertion qui a besoin de démonstration, et je proposerai la suivante :

28a LEGON'B D^ALGÈBRB*

Supposons que x soit une quantité comprise entre u et v | et qu^en développant i/, Vj Xy en fractions continues , on ait

^^^+Ï7> ^'-^+jr,j v"=c4-^^, etc.,

a:==fl'+2;, a:/=&'+i7, a/=(/4-~, etc.

Puisque' x est entre i/ et (^ , et que la même partie entière a se trouve «dans uetVj cette partie entière doit aussi se trouver dans

x; donc a^=a. De plus il est clair que -doit être entre -7 et -7,

et que par suite xf est entre u' et t^' : ainsi on peut raisonner, sur i/y \/ y x\ comme sur 1/9 (', x,'(^i on conclura que ^'= b. Ensuite on conclura encore que cf=c. On poursuivra de même ^ et tant qu^il y aiira des termes communs aux deiix premières fractions continues , on reconnaîtra que ces termes doivent également se trouver dans la troisième : c'est ce qu'il fallait démontrer.

321. Gomme dernière application des fractions continues, je donnerai lé procédé qu'on en déàuit pour résoudre ennombres entiers Véquation indéterminée ;

[1] ax-^-bj^c. •

Les nombres a^ b^ c sont entiers, et les deux premiers sont sap* posés Q^avoir acucun facteur commun. Concevons qu'on ait réduit

le rapport j en fraction continue, et qu'on ait calculé toutes les

réduites : la dernière réduite ne sera autre que ce rapport même.

Relranclions-en Favant-demière que je représenterai par —, Le

numérateur de la différence sera aU-^hd ^ et, parla propriété du n^ 3 10, on a

[2j aV^ba!^±.\. ^,

Multipliée pardtc, cette égalité devient

doue on satisfait à Fêquatîon [i] en prenant jr=Bdii>'<?, j^!=qia'c. Cette solution étant connue, on sait (187) que toutes les autres sonl données par les formules

t désignant un nombre ^tier quelconc[ue. On prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, selon qu'il y aura -f- ou — dans Tégalité [2]; ou bien encore, ce qui est là même chose, selon que

la réduite y sera de rang pair ou- de rang impair.

Exemple. Soit. Téqu'ation • . •

.[3] 261a: — 82j-=ii7.

Si on réduit" -Tf— -en fraction continue , on trouve

Quotiens. . . .' 3, 5, 2, 7 .

ilcduites. • • • -, -7=-, — , -77— .

Si on prend le numérateur de la différence-^ — fr j et si on fait attention que -^i- est une réduite de rang pair, on aura

Donc 9 en multipliant par 117,

donc on satisfait à l'équation [3], en faisant :c = 1 1 Xi 17 = 1287 et j-= 35 X 117 =^4^95; donc enfin les valeurs générales de x et àej- sont

Si on fait la division de 1287 par 82 et celle de 4^95 par 261, on trouve 1287 = 82X15 + 57 et 4095 = 261X1*5 +180. Alors, en . remarquant que t est un nombre entier quelconque , on pourra écrire plus simplement j •

a84 LEÇOITS D^ALGkBRE.