I : i-j-«» : (i4"«)''s (ï+»)^ 2 etc

SLon jsuppose que a soit une très-petite quantité, les' termes croî* tront par degrés trcs-rapprochés ^ et comme on peut diminuer a in(}éfîuiment , on doit regarder à la limite les termes comme variant d'une manière continue. A la vérité , ou ne peut point écrire une progression dans laquelle celte continuité existe j mais Tesprit la conçoit , et cela suffit. £n conséquence , ou pourra cony sidérer tous les nombres plus grands que i comme compris dans la progression géométriqiie. Je laissé de côté ceux qui sont moindres, pour y revenir tout-à-Flieurc.' • En même temps , Neper prend une progression arithmétique .

~o . p . 2p . 3p . etb.

dont les termes croissent y à partir de o , par différences aussi faibles qu'on vofidra^ et alors, envisageant les termes de cette suite dans leur Caison avec ceux de la première, il les désigne sous le nom de logarithmes, •

Ainsi , les logarithmes des nombres sont les termes d'une progression arithmétique qui commence à zéro , correspondons à ces nombres considérés cpmme faisant partie d'une progression géoméirique qui commence à V unité,

324* Cette définition semble ne point attribuer de logarithmes aux nombres plus petits, que i^ et si- au lieu de prendre la* progression géométrique croissante , oh la supposait décroissante y ce seraient les nombres plus grands que i qui n'auraient point de logashhmes. Pour fixer les idées, je raisonnerai toujours dafris la première hypothèse^ et alors^ pour que U progression géométrique embrasse aussi les nombres moindres que i , il suflit de la concevoir prolongée au-dessous de l'unité , ce qui. revient à diviser l'unité par les puissances successives de \^ raison i-^-a.

Mais quels seront les logarithmes de ces nombres, et comment continuer la progression arithmétique au-dessous de zéro? On péat bien former les termes de cette progression dans un ordre rétrograde, en retranchant la raison de chacun d'eux 5 mais

286 li£ÇOirS D^ALGkBBE.

quand on est arrive à zéro , ]a soustraction n^cst plus possible , et il semble que la progression doive s'arrêter à ce terme. Cette difficulté disparaît sur-le-champ par l'emploi des quantités négatives, qui s'introduiraient jci naturellement, si elles n'étaient déjlx connues : c'est-à-dire qu'on mettra le signe — devant les multiples de la raison qui devraient être retranchés de ^éro , si cela était possible. L'on engendre ainsi des termes négatifs j au moyen 4csquels on fait descendre la progression arithmétique au-dessous de zéro, et qui sont les logarithmes des nombres moindres que l'unité.

En conséquence, si on écrit à la gauche des.deuii: suites leurs termes descendans , on pourra les présenter ainài :

et alors la Seconde donnera les logarithmes de tous les termes de la première. Il ne faut pas perdre «de vue qu'il entré dans la définition des logarithmes commue condition essentielle , que les termes I et o doivent toujours se correspondre, ce qui revient à dire que log 1=0.

Dans les deux suites, la partie ascendante augmente jusqu'à l'infini^ mais, dans la première, la partie descendante tend indéfiniment yers zéro , tandis que , dans la seconde , elle croît'jusqu'à l'infini négatif. Donc log 00= 00, et log 0= — ce.

CeS deux suites mettent encore en évidence cette remarque, que si un nombre quelconque n est placé à une certaine distance de

l'unité dans la partie ascendante de la première, le nombre -

doit occuper le même rang dans la partie descendante. Donc ce dernier nombre a le même logarithme , mais pris négativement;

donc Ipg - == — log 72.

325. Passons aux propriétés des logarithmes. La propriété fondamentale est celle qui a été remarquée n*" 822, et que je vais démontrer généralement. Elle s'énonce ainsi : Le logarithme étm. produit est égal à la somme des logarithmes de ses /acteurs.

LEÇONS d'aLGÈBAE. 9187

I* Sapposons que a et 6 soient detix nombres appartenant àla '^ parCie ascendante de la progression [i]. Par exemple, prenons

on aura

■ Dans la progression {2], les logarithmes de a el 6 sont 2^8 et 5^;' donc * •

log fl +log Ô = (5+2)/3.

Or (5-|-2)/8 est le logarithme de (i+«)^*; donc

log a^ =log a-f-log ^.

v^ Sapposons a dans la partie descendante, et b dans la partie ascendante , -mais plus loin de Funité que a. Soient

on aura

Mais log a = --^ 2/8, log 6=5/8; donc log ^z+log b = (5r— 2)/S : et comme (5 — 2}/aest évidenuncnt le log. de (i+«)^—', on conclut encore log «6 =log a + log 6.

3* Sapposons a dans la partie descendante y et b .dans la partie ascendante j mais plus près de i . Soient

on aura

Riais logos — 5/8, log ^=2/8; donc logû+logi= — (5 — 2) p,

I • ce qui esjt le log. de . ^^ ^J^-. Donc loga6=loga-|-log^.

4^ Enfin , prenons les deux nombres a et 6 dans la partie desrendante y et soient

ii + ar' {l±^)

â88 LEÇ0I7S D*ALGÈBRE«

on aura

Ici ]oga=: — 2p , 4og^=±= — 5p. Par suite loga^l-log.^ss: — :(24-5)p, ce qui est le logarithme du produit ci-dessusj donc

encore loga^=ipgû4~^®g^* • .

Cette égalité étant vraie dans tous les cas , changeons-y ô en bc : elle devient

log a^c = log a -f- log hc == log a + log b +]og ^»

On peut Continuer ainsi , quel que soit le nombre des facteurs ; donc le logarithme d^ un produit elc,

326. Posons j =q , on aura bq=ai donc log 4+ log q =r log a ,

d'où

\ , loggr = loga— log^.

Donc le logarithme (Tun quotient est égal au logarithme du ai" vidende moins celui du' diviseur.

327. Si un produit est composé de n facteurs égaux à a, on doitavbir

log û" = log a -f-loga+ • • • rrr 71 log a.

Pour étendre cette formule aux exposans fractionnaires, on

posera x=^a"^ , d'où a:"*.{=a'* Par suite logar^ssloga" 5 donc, eni vertu de la formule ci-dessus , mlogj:;=nlog^; et de là on

tire loff:r==: — loflbû. ' ^ m ^

Si a est affecté d'un exposant négatif — 72, on remarquera que a-^X^î" = 1 5 <lonc (SaS) log a— '*+ log a" = log i . Or- logi = oj donc log/x""'* == —log a"= — /ilog at

Donc le logarithme d'une puissance quelconque d*iify nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par V exposant de la puissance.

. 328. Soit r= V «, on a r« = a 3 donc , par la règle précédente, n log r = log a , d'où

ïpg r=log V^âsr-^-

Donc le logarithme de la racine d'un nombre s^obtienî en diyi-* sant le logarithme du nombre par V indice de la racine,

3'2g. Ces propriétés montrent clairement que si l'on ayaît des tables dans lesquelles on pût trouver tous les nombres, et à c6té leurs logarithmes j il serait facile de ramener la multiplication à l'addition , la division à la soustraction , la formation des puissances à la multiplication , et Fextraction des racines à la division/

Par exemple, qu'on ait à calculer V^837 : on prendrait dans les tables log 887, on le diviserait par 7, et on aurait ainsi le log. de

V^837 ] donc, en cherchant dans les tables le nombre correspondant, on aurait la racine demandée.

Table des Logarithmes. Des différens Systèmes considérés (Taprês leurs

MODULES. Système Népérien,

33o. On comprend bien que les tables ne peuvent pas renfermer les logarithmes correspondant à toutes les nuances de grandeur que peuvent avoir les nombres : car ces nuances sont infinies , même entre deux limites très-rapproohées.Elles ne peuvent pas non plus contenir les logarithmes de tous les nombres entiers : car la suite de ces nombres est illimitée. Maïs on y mettra ceux des nombres entiers depuis i jusqu'à une certaine limite, jusqu'à ] 00000, par exemple^ et, comme toutes les opérations immériques se ramènent à des calculs de nombres entiers , ces tables seront encore d'une immense utilité. Je vais exposer leur construction , en suivant toujours les idées de NiSper.

D'après nos explications , pour que la progression géométrique embrasse les nombres plus grands que i , dans tous les états de grandeur, il faut la concevoir comme formée de termes qui croissent d'une manière insensible à partir de i^ et, pour avoir leurs logarithmes, il faut aussi concevoir la progression arithmétique comme composée de termes qui varient par degrés insensibles , à partir de o.

A leur origine , les accroîssemens simultanés que peuvent rece^

voir les termes i et o , sont d'une petitesise inappréciable ; maiS|

quelque petits qu'ils soient, ou conçoit qu'on peut établir entre

jlQO UEGOBS D ALGEBRE.

eQX «n certain rapport, lequel est entièrement arbitraire. Ainn, lorsque ces accroissemens commencent à naître, on pourra supposer que celui du logarithme o est double, triple, etc., de celui du nombre i • Ce rapport est appelé , d'une manière générale , le Module des logaritlimes, et je le désignerai par M.

Cela posé , donnons au terme i de la progression géométrique un accroissement très* petit «, mais cependant appréciable en nombres. L'accroissement correspondant du terme zéro de la progression arithmétique sera à fort peu près égal à M^^; et Ton pourra prendre, pour les deux progressions, celles-ci :

[i] TT I : !+• : (!+»')• : (i4-*')^ : (i+*)^ î etc. [2] -7- o . M« : nMàf . 3Màf . 4^*' • ^'c.

Nous avons dît que le rapport ou module M peut être pris à volonté : par conséquent, selon les valeurs particulières qu'on lui attribuera , on aura difFérens systèmes de logarithmes.

33 1. Les logarithmes que Néper a publiés étaient tirés des progressons

[3] TT I : !+• : (»+•')* : (!+•')' 2 etc.

[4] -f- o . « . 2«» • Sat • etc.

Cela revient à supposer le module M= i, et celte hypothèse se présentait d'^e-même, comme moyen d^cviter les multiplications

par M.

Les termes de ces deux suites varient très-peu rapidement, de

sorte qu'en les prolongeant Tune et l'autre aussi loin qu'on voudra, on est sûr de trouver, dans la première, des termes ^ux aux nombres entiers 2, 3, etc., ou siapprochans que la différence sera négligeable. Les termes correspondans de la seconde pourront donc être pris pour les logarithmes de ces nombres , et ce soi^kteux qu'on devrait écrire dans les tables.

Par-là I on voit que ces logarithmes ne sont pas exactement

ceux des nombres à côté desquels ils seraient inscrits. Mais il exbte

d^aiUeui^ une autre cause d'inexactitude , laquelle résulte de ce

qut^ ne représente qu'approximativcment l'accroissement que doit

.prendre le logarithme o, lorsque m est celui du nombre i. Ton-

LECOKS D ALGEBRE. agi

tefoiêf cette supposition approchera d'autant plus de la t ^ritë que « sera une quantité plus petite.

33a. Les logarithmes dont je viens déparier, qui répondent au module IVI=i, se nomment iVi^^nefz^. On les appelle aussi hyperboliques j pour une raison qui ne peut point trouver place

La comparaison des suites [2] et [4] montre snr-le-champ que, pour transporter les logarithmes Népériens dans un système quelconque , il sitffirait de les multiplier par le module de ce système,

333. Je placerai ici deux valeurs assez souvent empVvées. L'une est le logarithme népérien de 10 ^ et l'autre, qu'on icprësente ordinairement par c , est le nombre dont le logarithmo népérien est I. Ces valeurs sont :

Log. nép. de 10 = 2, 802 585 092 ••«,

D'après ce qui a été expliqué n^ 33i , il n'y a aucune difhciiUé à concevoir comment elles ont pu être calculées.

334* On a fréquemment à multiplier et à diviser par 10, 100, 1000, etc.; par conséquent, en construisant des tables dant lesquelles 10 aurait i pour logarithme, ces opcratious se réduit «icnt à une addition ou à une soustraction de quelques unités entières. Cette remarque n'avait point échappé ù Népeb; mais la mort l'empêcha de construire ces nouvelles tables, et ce futB^rccs, professeur d'Oxford , ù qui il en avait recommande instam^nent l'exécution, qui publia les premières en 16249 sous le liUe de Arithmeticalogarithmica^ avec une inti'oduction très-dévelof pée. Ces logarithmes sont ceux dont on fait toujours usage dans Ici calculs numériques : ou les appelle iudilTércmment logarithvtfs de Briggs^ ou logarithmes vulgaires.

D'après la remarque du n® 332 , on voit que les logarithmes oëpcriens une fois calculés, on les fera passer dans le noureau système , en les multipliant tous par un module convenaLfe M. Ce module est facile à trouver : car, puisque dans ce sjstèo^ le logarithme de 10 est i, on doit avoir

M X log. nép. de 10 = ] j

29^ LEÇ098 D ALGEBRE.

donc, en divisant l'par le log. nëp. de lOy rapporté plus haut^ on

connaîtra le module M i savoir :

Des dîjfévens systèmes de logarithmes , considérés d'après leurs bases»

Système de Briggs.

335. Si Ton suppose toujours qu on s'ëlëvc ou qu'on s'abaisse à partir de i , en suivant une progression dont les ternaes varient gcomctriquement d'une manière continue , on peut lui adjoiudre une in&nilc de progressions dont les tcimes croissent , à partir de zéro, arithmétiquement et aussi d'une manière continue. Cest pour cette raison qu'il peut exister une infinité de systèmes de logarithmes^ mais toute indëterminatiou disparaît dès qu'on fixe le nombre auquel correspond un certain logarithme , qu'on peat d'ailleurs choisir arbitrairement. Par exemple , on peut donner le nombre auquel on attribue Funité pour logarithme, et c'est ce nombre qu'on nomme la base du système.

336. Sous ce point de vue, le système qui se présente toat d'abord comme le plus simple, est celui dont la base est 10, et je vais m*en occuper spécialement.

Dans ce système, les logarithmes de 10, 100, 1000, etc., sont 1 , 2, 3 , etc. , et en général log io*= A,* de sorte que ces logarithmes, qui doivent revenir si souvent dans les calculs , sont toujours connus sans aucune peine.

De 10 à 100, les nombres ont leurs logarithmes compris entre 1 et 2^ de 100 à 1000, entre 2 et 3, etc. Or, la partie entière d'an logarithme se nomme caractéristique : on peut donc conclare que, dans le système dont la base est 10, la caractéristique da logarithme éCun nombre a autant d'unités moins une qifily a de chiffres dans le nombre.

337. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise un nombre par 10, 100, 1000, etc., son logarithme doit augmenter ou diminuer du logariÛime de 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire de 1,2, 3, etc. Donc, tant que le nombre restera plus grand que i, la partie décimale du logarithme sera toujours la même , et il n'y aura qne la caractéristique qui changera.

LEÇONS D^ALGÈBBE. Ogi

Ainsi, en prenant pourpoint de départ le nombre 658; on aurait

lofç 658=2, 8i82îiS»9, log65,8= 1, 8x82259; log 6,58 = o, 8 1 82259.

Si on continue la division par 10, il vient

log 0,658 =0,8182259 — 1 = — 0,1817741, logo,o658=o, 8182259 — ^— — ^> i8i774i« etc.

Mais on a tronvc plus commode de ne point ciTcetuer les soustractions, et de donner à la partie décimale une caractéristique

négative quon écrit ainsi : i, 2, ••• Par exemple, 3,8182259 ne sera qu'une abréviation de — 2+0,8182259.

En admettant ainsi des logarithmes dont la caractéristique seule est négative, il sera permis de dire qu'un nombre décimal étant donné, on peut y changer à volonté la ])lace de la virgule^ sans que la partie décimale de son logarithme soit altérée; et en même temps on voit qu'il sera toujours facile de rétablir la caratéris tique à la simple inspection du nombre donné.

338. Expliquons maintenant comment on peut calculer les logarithmes des difiérens nombres, depuis i jusqu^à 1 00000, par exemple. Dans le système que nous considérons, i et 10 sont deux termes de la progression géométrique auxquels répondent les termes o et I de la progression arithmétique. Pour avoir des termes qui varient par degrés trcs-rapprochés, insérons un très-gi'and nombre de moyens géométriques entre i et 10, tout autant de moyens arithmétiques entre o et i, et prolongeons les deux progressions jusqu'à 100000. Dans la première, on trouvera des termes qui différeront si peu des nombres entiers 2, 3, 4, etc., qu'on pourra négliger la différence, et prendre les termes correspondans de la seconde pour les logarithmes de ces nombres.

Soit un nombre n qui tombe entre deux termes de la première, auxquels correspondent Z et l^ dans la seconde. On peut concevoir par la pensée qu'en augmentant de plus en plus le nombre des moyens insérés, on s'élève dans les deux progressions par toutes les nuances possibles de grandeur. Il est clair qu'alors, dans la se* conde; le terme correspondant à n serait entre / et T, et par con-

994 LBÇOirS D*AI6ÂBB1»

fëqut Ut, en prenant log nés/, Terreur sera < l'— /. Par exeiuplci en admettant que les termes de la progression arithmétique croissent de millionième en millionième , elle fournirait les logarithmes avec six décimales exactes.

Pour réaliser cette supposition, il faut que lo ait loooooo terui#s avant lui dans la progression géométrique; et par conséquent, pour avoir la raison de cette progression , il faudrait extiairc la racine loooooo* de lo. Comme on a 1000000 = 2^' .5^, cet! e opération peut se faire par des racines carrées et par des racines cinquièmes; mais ces dernières exigeant des calculs assez laborieux, Néf sa a pris soin d'indiquer lui-même la manière de trouver les login Ithmes des nombres en n'employant que des racines carrées.

INcmmons n le nombre dont on veut le logarithme , et que je sappMe compris entre i et 10. On calculera le moyen géométrique entre i et 10, ce qui se fait par une simple racine carrée , et aosiilc moyen arithmétique entre o et i. Désignons le premier par A et le second par a. Supposons que n tombe entre i et A : on cherchera le moyen géométrique B entre 1 et A, et le moyen arithi^élique b entre i et a. Supposons que n tombe entre A et B : i^u cherchera encore le moyen géométrique entre A et B, et aussi le moyen arithmétique entre a et b» On continuera ainsi jus* qa*& ce qu'on ait resserré n entre deux moyens géométriques auxquels correspondent deux moyens arithmétiques dont les six premières décimales soient les mêmes : alors, en rejetant les décimales ultérieures , on sera sûr que l'un de ces moyens est le logarithme de n avec l'approximation demandée. Pour atteindre la plus grande approximation possible avec six décimales, on aura soin de calculer la 7* décimale; et, dans le cas où elle serait égale à 5 ou ^ 5 on ajoutera i à la 6*. De cette manière Terreur, en plus ou en moins, sera toujours au-dessous d'un demi-millionième*

33<). Les nombres premiers sont les seuls dont on ait besoin de calculer les logarithmes par cette voie : car, d'après ce qui a été démontré f325), les logarithmes des autres nombres s'obtiendront en ajoutant entre eux les logarithmes des facteurs premiers dont ees ^^mbres sont composés.

C ladditions pourront élever Terreur à plus d'un demi-millionièit mais il est facile de fixer un maximum qu'elle ne dépas-

sera Jamais. Observons que dans notre hypothèse kuMblei doivtat s*arrêter à looooo, que le pkis petit nombre prenier esc % «If qne 2'7= 131072. Donc un nombre <^ 100000 ne nmlttatt pM plus de 17 facteurs; et par conséquent, Terreur de ohaqoe loff^ rithme étant moindre qu'un demî-miliionième > la soniae dor erreurs, même quand elles seraient toutes dans le même WÊUèf sera moindre que 1 7 demi-millionièmes.

Toutefois on conçoit qu^eRe peut approcher assez près de cette limite; et, pour obvier à cet inconvénient, on calculera les logarithmes des nombres premiers avec 8 décimales. Alors, en les ajoutant pour avoir ceux des nombres composés, Terreur ne surpassera point 2 unités du 9* ordre, et par conséquent die no sera point d'une unité sur la 6' décimale (*).

340. Quand on détermine les systèmes de logarithmes par leurs* bases , le passage d'un sj^stème à un autre est toujours facile. £a désignant par a une quantité aussi petite qu'on voudra , tons les n^nbres se tireront de la progression géométrique

— I :i + « : (i+i»:* : 0+«)' : etc.

Sapposons que , ^ et ^^ étapt aussi des quantités de tel degpë de petitesse qu'on voudra , les logarithmes des deux systèmes qneF«a compare soient pris respectivement dans les deux progressions arithmétiques

f-o . p . 2p . 3p . etc. -^ o . y . 2y . 3y . etc.

On voit sur-le-champ que les logarithmes d'un même nombre, dans le second système et dans le premier, ont entre eux un rapport constant : de sorte qu'en appelant :>/ et :c: ces deux logarithmes |^ et K ce rapport constant, on aura

(*) Onnepentpoint aflirmer qa*cllc sera moindre qii*iin deraUmilliomène. Par exemple, sapposons qu'après Vadditiun les huit décimales sûieiit o47d3si4^ La partie négligée pouvant s'élever prcsqu^à 3 unités du 9*^ ordre, l'erreur commise, en prenant les six premiers chiffres o,4733ai, atteindrait presque 7 unités du 7» ordre ; mais comme on Pignore, on n'est point autorisé à aagmenter d'une unité le 6* diiffre.

9^ LJ^ÇOirs D^ALQEfiBE.

Quant au rapport K , il suffit , pour Tobtenir , que les logarithlaes d*un seul nombre soient conaua dans les deux systèmes. Or, dans le premier, le logarithme de la seconde base est censë connu, et y dans le second , il est égal à i ^ donc , en appelant a et a' les deux bases , et désignant par log a! le logarithme de af dans le premier système , on aura

isKloga' d^où Ka '

log û' ' Des logarithmes considérés comme exposons,

34 1* Reprenons n* 3^4 les deux progressions T I 1

dans lesquelles a et ^ sont des quantités aussi petites qu^on voudra, de telle sorte qu^on puisse regarder leurs termes comme variant d^une manière conlinuc. La seconde suite renfermera un multiple de ^ égal à i : soit fi^ ce multiple , et soit a le terme correspondant de la première suite ^ on devra avoir à la fois

De là on tire

û^ i ^ fi

Par conséquent , en faisant usage des exposans négatifs , les deux progressions peuvent s^écrire ainsi

et alors on voit que si on appelle x un terme quelconque de la seconde etjr le terme correspondant de la première, on doit toujours avoir la relation j- = /2*.

Donc on peut encore définir les logarithmes des nombres comme étant les exposans des puissances auxquelles il faut éle-

LEÇOICS d'algèbre. ^/ffj

ver une quantité constante , qu^on appelle base^ pour en déduire tous ces nombres.

Quand on adopte cette définition , on sous-entend toujours que la base doit être une quantité réeUe et positive. Il est d^ailleurs facOe de prouver qu^on peut lui donner telle grandeur qu'on voudra , autre que Tunité.

34a* Cela revient à démontrer que si, dans Téquation expO" nentielle ^

on donne à Fexposant :r tontes les valeurs possibles, tant ncgatives que positives , les valeurs correspondantes de y comprendront toutes les nuances de grandeur entre zéro et Tinfini* ^

En premier lieu, soit a ^ i . Si on donne kx des valeurs positives croissantes à partir de zéro, telles que 7V 9 t?» • • • ii vient

,0 lO ^ÎÔ* 10

y:=a y û' , a y a , etc.

OU en faisant Va = a' ,

j-=f, €/, û'*, a'^y etc.

a' est ici une quantité plus grande que i, et par conséquent celte suite est croissante jusqu'à Finfinî. De plus, il est clair quVn faisant augmenter x par différences plus petites que tz 9 ^^ P^ut rapprocher autant qu'on voudra les valeurs de y. Posons x= — ZyOu aura

Or, d'après ce qui vient d'être dit , si on fait passer z par toutes les valeurs positives à partir de zéro, a" croîtra d'une manière continue depuis I jusqu'à Finfinî; donc - décroîtra depuis i jusqu'à zéro. De là on conclut que les valeurs négatives de Xy cnlre zéro et l'infini^ font prendre à y toutes les grandeurs descendantes depuis I jusqu'à zéro.

En second lieu, soit a<Ci. Faisons 0=^-—, y a' sera>i, et on aura

a^ LEçoirs d'algèbre.

Icii/ e$ty>ii donc, selon qiTon fera croître x positivement ou négativement! le dénominateur </' augmentera à partir de i jusqo^à rinfini oïl diminuera à partir de i jusqu^à zéro ; et par suite y devra décroître depuis i jusquli zéro ou croître depuis i jusqa^à rinfini .

Concluons donc que tout nombre , autre que Funité , peut être pris pour base d'un système de logarithmes.

La dbcussion précédente fait voir en outre :

1° Que, dans tous les systèmes, le logarithme de Funité est égal à zéro , et celui de la base égal à l^anité ;

^ Que, dans les systèmes dont la base est ]>i , on a log 30=00, etlogoss — 005

3* Que, dans ceux dont la base est <^ i, on a, an contraire, log 00=— 00 et log o = 00.

343. Par la nouvelle définition (34 1); les propriétés des logarithmes se tirent immédiatement de celles des exposans. En effet, soient y^ y^ ^y» des nombres dont les logarithmei sont Xj 2/, o^',. • • : par cette définition, on doit avoir

donc, par les règles relatives aux exposans, il viendra

•1 -iM . /ijr— x'

n n tt

Mais , d'après la définition , les cxposans de a y dans les derniers membres, sont les logarithmes des quantités qui sont dans les premiers \ on retrouve donc ainsi les propriétés connues.

344* L.es logarithmes étant toujours considérés comme des exposans , proposons-nous de calculer le logarithme d\in nombre donné b. Ce problème, sur lequel repose la construction des tables, revient à résoudre Féquatiou

LCÇOiri D*ALOkBlB. 9^9

Uinconnae est en exposant , et les méthodes expliqaëes josqu^ici ne sont point applicables à ce cas. Voici celle quHl faut snivre.

Supposons les nombres ^ et 6 tous deux plus grands que i . £a donnant à x successivement les valeurs o, i, a, etc., on arrivera à deux puissances a** et a^+'y entre lesquelles b sera compris , et alors on saura que x est entre n et n'\'\. En conséquence» on posera

Par suite, Téquation a*tsi b devient

a'^^^b d'où fl^ = --

Puisque 6 est > a» et <Cû*+', — doit être > i et <[a. Faisons ,

pour abr^er, ^^^c, et élevons la dernière ^alilé à la puissance «', elle devient

En formant les puissances c*, c', c',» • • on reconnaîtra que a est compris entre deux puissances consécutives t^' et a*'4-'^ et par suite que af est entre ri et /l'-f-i • Ou posera donc

il viendra

c '*'=:«, d'où c^^-zin

puis, en élevant à la puissance a^ et faisant —s=J|

En opérant semblablement sur cette équation , on trouvera entre quels nombre entiers, n" et /i'^-l-i, doit être ^r". On fera encore .

a^^ssz n"'^^'^ et ou continuera le même procédé aussi loiu qui!

sera convenable.

3oO LZÇCi.^S D^iliOiBliF.

Rapprochons présentement les relations trouvées ci-dessns, et on pourra exprimer x par cette fraction continue

'iH

/i"+ etc.

Par la théorie de cette sorte de fractions , on sait que plus on prendra de termes, plus on approchera de la valeur de Xj et que même on pourra rendre Terreur aussi petite qu^on voudra.

345. Lorsqu^on prend 10 pour base, on a évidemment io'=io, 10'= 100, etc.; donc les logarithmes des nombres i, 10, 100, etc., sont o, I, 2, etc.^ et en général log 10^= A:. Ici viennent naturellement se reproduire les remarques déjà faites sur la caractéristique n«* 336 et 337, et auxquelles je renvoie.

Pour avoir les logarithmes des autres nombres, on devra résoudre successivement les équations

io'=2, 10'== 3, io-'=4, etc.,

ce qui ne peut plus maintenant offrir de difficulté. Il ne faut pas oublier qu'il suffit de chercher les logarithmes des nombres premiers : car de simples additions feront connattre ceux des nombres composés.

346. Dans les tables, les logarithmes sont toujours exprimés en décimales, et par conséquent il importe peu de savoir s^il e;Liste d'autres nombres que les puissances de 10, qui aient des loga^ rithmes commensurables. Cependant, pour satisfaire le lecteur, je traiterai ici cette question.

Pour plus de généralité, je chercherai d^abord à quelles conditions on peut reconnaître que x est commensurahle dans l'équation a'= b, a tff b étant des nombres entiers positifs.

Supposons donc or ss -• m eln étant deux nombres entiers. 0 ' * n

viendra

LEÇOirS D^tGEBEE. 3oi

Dans a"*! il ne peut pas y ayoir d'autres facteurs premiers que dans a, ni dans b'* d'autres facteurs premiers que dans b; doncla iemière égalité exige que les facteurs premiers de b soient les mêmes que ceux de a.

Soien t

a ■= oLP^iyT et i = a/»' ^l'yf^ : on aura

Mais, pour que cette égalité subsiste , il faut que chaque facteur premier entre le même nombre de fois dans les deux membres 3 donc

De là on tire

n y-» ' « q * n r ' et par conséquent on a ces conditions

Réciproquement , admettons qu'on ait

Si on prend

on aura/)X=^, qx = q\ rx=:r% et par suite

Donc, pour que x soit commensurable, il faut et il suffit que a et h soient composés des mêmes facteurs premiers, et que les rapports des exposons de b aux exposans de a soient égaux (*) ,

(*) Les cas où, atib étant des fractions ondes radicaux, on vondrait encore que X fût commcnsurabie , se traiteront d*unc manière analo^e.

3oa LBGOIli D'AUtfanE.

Lonqae osaiocsaXS, oa devra avoir iâso^'xS*', ft ^=2 ou f/=i(jf } donc is=2^X 5^^=10'^ : c'cst-à-diie

qaUlnyaquc les puissances de \o qui aient des logarùhm commensurables.

347» Quand on définit les logarithmes par les exposaxU| et qu^on les a calcules pour une base particulière, il n*y a aucmiedit ficulté à les transporter dans un autre système. En efifet, Ad di la nouvelle base, et que, pour cette base, j/ représente le logr rithmc d^an nombre quelconque y^ on doit avoir

Ovy en prenant les logarithmes des deux membres dans le premier système, et observant (343) que log d''^=xxf log a', il viendii

rc' log a'=log j^, d'où ^«j^-

od 1 Remarque, De là on tire aussi •= =5 1 ^; donc, qud tpt

soit le nombre ^y il existe un rapport constant entre ses logaritlh mes, pris dans les deux systèmes. Quand les logarithmes ont été tirés des progressions , cette conséquence s'est présentée toot d'abord (34o), puis on en déduit la valeur de jcf ; mais ici c'eft le contraire.