Soit une progression géométrique quelconque

^ hlhq :hq* :hq^ : etc.,

les logarithmes des dififérens termes seront

log A, log A + log 7, logÂ-4-2logé^ etc.

Donc les logarithmes des nombres en progression géométrique sont en progression arithmétique.

Si Ton snppose &^i, les deux progressions seront

ir ^ * q * q* : q^ : etc. , J- 0 . log y . 2log q . 31og q . etc. ,

ce qui ramène à la définition des 1 ogaritbmes , tels qu'on kl t considérés d'abord.

LEÇONS D'AIxdUBR]^ 3o3

Des deux questions principales que les tables de logarithmes sentent

à résoudre.

34g« La première de ces questions est celle-ci : Un nombre quelconque N étant donné, trouver son logarithme.

Les t£^les publiées par Callet, qui sont les plus répandues ett France, contiennent les logarithmes des nombres depuis i jus* qu^à 108000. Elles sont dites à sept décimales, parce qu^en effet elles donnent les logarithmes ayec sept décimales. Cependant on doit observer que dans quelques parties il j en a huit. Pour réduire ces tables à un format commode, la caractéristique ft été partout supprimée, comme étant connue d'avance (345) ; et en outre , une disposition particulière a été adoptée, que je vais ex* pliquer en parcourant les dîfférens cas de la question dont il s'agit ici.

!•' Cas. On suppose que le nombre N est entier et <^i 08000.

De I à 1200, il ne faut aucune explication. Par exemple, veuton le log. de 652? on cherche ce nombre dans la colonne N ; on trouve à c6té les huit décimales 81424760, et en rétablissant la caractéristique, on a log 652 = 2,8 1 424760.

Au-delà de 1200, la disposition est moins simple. Dans la colonne N, les nombres se suivent sans interruption depuis 1020 jusqu'à 10800, et leurs logarithmes se trouvent encore dans la colonne immédiatement à droite. Je suppose qu'on demande le log. de 3456. Après avoir trouvé le nombre 3456 dans la colonne N, on remarquera que dans la colonne à droite les trois chiffres 538 sont censés se répéter dans Fespacc vide qui est au-dessous d^eux i et par conséquent ou aura , en restituant la caractériqne , log 3456 = 3,5385737.

Jusqu'ici, il semblerait que les tables sVrêtent à 10800. Mais à Taide des autres colonnes, intitulées i , 2, 3 ... g, elles vont réellement jusqu'à 108000. D'abord, si un nombre est décuple d'un autre, la partie décimale de son logarithme est la môme ^ et de là il suit que la colonne marquée o donne aussi de 10 en 10 les logarithmes des nombres jusqu'à 108000. Pour avoir ceux des nombres intermédiaires , il faut recourir aux colonnes i; 2> ^. • .g.

3o4 LEÇONS D^ALGEBRlS.

La i'*' sert à trouver les nombres termiaës par i, la 2* les nombra terminés par 2, etc. Au-delà de 10200, les logarithmes des doubrcs qui ue diflerent que par le chiffre des unités ayant les trw premières décimales communes, on s'est contenté d'écrire ce décimales une seule fois dans la colonne o, et on n'a placé dans la colonnes suivantes que les quatre dernières. Ainsi, Teut-on le bg. de 34567? on fera abstraction des unités 7, on cherchera 349 dans la colonne N, puis on s'avancera horizontalement, à parts 1 de ce nombre jusqu'à la colonne marquée 7, pour y prendre la | derniers chifû-es 6617 du logarithme demandé; et, quant au premiers , ils sont donnés par le nombre isolé 538 qui se troaie dans la colonne o, le plus proche en montant. En rétablissant dose la caractéristique, on a log 34567=:4y53866i7.

IF Cas. On suppose que le nombre N est entier et ^ 108000. Soit N = 345678g. Je sépare d'abord sur la droite assez de dût fresponr que la partie restant à gauche ne surpasse point 108000. J'ai ainsi le nombre N'= 34567, 8g qui est 100 fois moindre <pe N, mais dont le logarithme a la même partie décimale que cela de N (337).

!Ne considérant que la partie entière de N', je cherche log 345Gj comme dans le i**^ cas, et je trouve, abstraction faite de la canotéristiquc, log 34567 = o,53866i 7.

Mais M' surpassant 34567 de 0,8g, le logarithme de N' doit surpasser le précédent d'une certaine quantité que je Tais cher* cher. Admettons pour un moment que les accroissemens des nombres soient proportionnels ausaccroisscmens de leurs logarithmes; on remarquera alors que les tables contiennent, dans la deroiète colonne à droite, les différences, toutes calculées, entre les logarithmes des nombres consécutifs ; et que , pour les nombres 3456; et 34568, cette différence tabulaire est de 126 unîtes décimales du dernier ordre. C'est donc là ce qu'il faut ajouter au log. de 34567, lorsque ce nombre augmente d'une unité; et par conséquent} lorsqu'il augmente de 0,8g, on aura ce qu'il faut ajouter à son logarithme en faisant la proportion