g :: 126 : x^ d'où a:=i26xo,8g
Ott doit négliger la fraction o,i4 qui est moindre que Tunité dé- t.
LEGOP78 D^LG^RE* 3o5
cîmalc du 9' ordre, et Ton a simplement ^e=ii a. On peut aussi s'épargner la multiplication 126 X 0,89* En effet, dans les tables on yroîi au-dessous de 1 26 une petite colonne àt parties proportion^ nettes j qui renferme les produits de celte différence par ■^,-~, etc., et qui donne immédiatement 126X0,8=101, i26Xo,ogsss ii,3; donc 126X0,89=101+11 = 112.
De quelque manière que ce produit soit trouvé, en Tajontant au log. de 34567, et en rétablissant la caractéristique, on aura le logarithme cherché, savoir : log 3456789 = 6,538672g.
Les calculs que je viens d^expHquer sont réunis dans le type suivant :
log 34567 0,5386617
pour 0,8 101
pour 0,09 • • Il
log 3456789 6,5386729
Remarques, La proportion entre les accroissemens des nombres et ceux des logarithmes n'est point rigoureusement exacte. Seulement elle fournit une approximation suffisante , quand les nombres sont grands et leurs accroissemens peu considérables. Cest pourquoi il est essentiel de ne séparer sur la droite du nombre donné que le moins de chiffres possible.
Si on avait à trouver log 345678987, il faudrait séparer quatre chiffres; et, en calculant la différence correspondante h 0,8987, on aurait 126X0,8=101, 126X0,09=11,3, 126X0,008=1,01, 1 26X0,0007 = 0,088. Or, si on ajoute ces produits partiels, on voit que le dernier, celui qui résulte du chiffre 7, n'a aucune influence sur la 'f décimale du logarithme. Cet exemple montre qu'en général , lorsqu'il faudra séparer plus de trois chiffres pour que la partie restante à gauche ne surpasse point 108000, on pourra compter comme zéro le 4* chiffre et les suivans (*).
* Si on voulait apprécier rapproximation sur laquelle on peut compter en faisant usa£;e des tables logarithmiques , on ne saurait mieux faire que de consulter la note de M. Vikce»t insérée dans UAlgèbre de At. Eeynaod et dans celle de M. BouftooR,
3o6 LEÇOVS D^ALGEBRE.
III' CAS. On suppose que N t*en ferme des parties décimales , Soit ]N==s34^56789* Oo fera abstraction de la virgule, etoa opérera comme si le nombre était entier. La partie décimale du logarithme tie tera point altérée, et en lui donnant la caractéristique convenable^ qui est toujours connue d'avance , et qui dans notre exemple est égale à i , on aura le logarithme cherché, savoir : log 34)56789=1,5386729.
Soit encore N =: 0,003456789. En opérant sana faire attention à la virgule , et en laissant toujours la caractéristique de côté, on trottveniit 0,5386729. Ce serait là précisément le logarithme da nombre donné, si la virgule était placée à la droite du pre« mier chiffre significatif 3. Mais par là le nombre serait multiplié par 1000 ; donc il faudra retrancher 3 du logarithme oi-dessus, et Ton aura log 0,008456789 =0,53867 29 — 3=»— 2,4613271 .
Ce logarithme est entièrement négatif 3 mais, diaprés ce quia été dit dans le n*" 337, on pourra, en employant la caractéristique négative 3 , se dispenser de faire la soustraction, et écrire simple* ment log 0,003456789= 0,5386729.
IV* CAS. On suppose que N est un nùthbre fractionnaire quelconque.
Si des entiers sont joints à une fraction , on convertit le tout en tibe expressioil fractionnaire que l'on considérera comme un quotient \ et en conséquence on retranchera le log. du dénomioatear du log. du numérateur. On trouve ainsi ,
loS^ = 1567209786
iji949î^«-
Quand il s'agit d'une fraction proprement dite , on rcUancbe encore le log. du dénominateur de celui du numérateur ; et alors ^ vient un loganiihme négatif. Par exemple |
losri= 0,47712125 —1,67209786 *-i, 19497661.
Mais on peut facilement avoir, si on veut, un logarithme dont
LEÇOlfS D^AtiGÈBRE. Boi
la caractëiîstiquc soit seule négative. Pour cela, il suffit d^ajouter au premier logarithme assez d^unitcs pour que la soustraction puisse se faire , et de donner ensuite au reste , pour caractéristique , ce nombre d^unîtés pris négativement. En effet, si, dans l'exemple ci-dessns, on ajoute 2 au log. de 3, on a évidemment
• log T- = — 2 + 2,47712125 "+' — 1,67209786
Pour plus d'uniformité, on pourrait convenir d'augmenter toujours de 10 la caractéristique du numérateur. Alors il faudrait diminuer de 10 celle du reste, ce qui ramènerait à une caractéristique négative.
35o. La seconde question que les tables doivent servir k résoudre est celle-ci : Un logarithme L étant donné ^ trouver le nombre correspondant,
I«r c^s. On suppose que la partie décimale de L est positive et qu^elle se trouve dans les tables.
Soit L = 5,53866i 7. Dans la partie des tables qui s'étend audelà de 10800, on clierclie à la colonne marquée o le logarithme qui approche le plus de la partie décimale de L 5 puis on avance dans la ligue horizontale jusqu'à la colonne marquée 7, où l'on trouve les quatre dernières décimales 6617 ^^ L- Alors on se transporte dans la colonne N , pour y prendre le nombre 3456, à la suite duquel on placera le chiffre 7 ^ et on obtient ainsi le nombre 34067, lequel serait le nombre cherché • si la caractéristique donnée éuit ^. Mais la caractéristique étant 5, il faut multiplier 34567 par 10, et on aura le nombre cherché = 345670.
Soit L = 2,5386617. Après avoir trouvé , conune ci-dessus, le nombre 34567, on remaïqucra que la caractéristique donnée étant seulement 2, ce nombre doit être divisé par 100^ donc le nombre cherché = 345,67.
Soit encore L = 2,5386617. Le signe — , placé au-dessus de 2, indique que cette caractéristique est seule négative. Après avoir trouvé le nombre 34567, comme si la caractéristique était 4, on
remarquera que, pour passer à la caraclcrislique 2, il faudrait rc-
3o8 LEÇ09S p'jllgebec.
trancher 6 de 4 3 donc le nombre 34567 doit être divisé par lo'^; donc le nombre cherché = 0-034567.
Il est assez commode d^obser?cr, dans ces différens exemples , qu'il faut toujours, en ajoutant des zéros, ou eu plaçant la virgule, avoir soin que le chiffre de Tordre le plus élevé soit tel qae la caractéristique donnée lui convienne.
II« CAS. On suppose que la partie décimale de L est positive^ et quelle ne se trouve point dans les tablei.
Soit L= 2, 4971 499* ^^ cherchant, comme précédemment, si la partie décimale se trouve dans les tables, pu reconnaît qu^clle est comprise entre 0,4971371 et 0,4971509. Si celte partie déôr roale était exactement 0,4971371, le nombre correspondant, tel quUl est donné par les tables, abstraction faite de Tordre des unités, serait 3 141 5*
Mais elle surpasse 0,4971371 de 128, ce qui doit produire une augmentation dans le nombre 3i4i5. Or, la différence tabulaire la plus voisine est i3S, et elle répond à une unité d'augmentation dans le nombre 3i4i53 donc, en admettant toujours qu^il y ait proportion entre les accroissemens des nombres et ceux des logarithmes, Taugmentaliou cherchée se connaîtra en posant
l38: 128 :: I : ar, d'où Jr=-:rrr = 0,Q3.
Par suite, le nombre cherché , abstraclion faite de' Tordre des unités, serait composé des chiffres 3i4i593. Mais comme la caractéristique donnée est 2, ce nombre ne doit avoir que troîschiffrcs à sa partie entière; donc enfin le nombre cherché = 3 149 1 593.
\*es parties proportionnelles de la différence tabulaire peuvent épargner la division de 128 par i38. La partie moindre que 138 et qui en approche le plus est 124) cette partie répond à o, g, et il y a 4 de reste. Si on met un zéro à droite de 4? on a 40 qui diffère trcs-peu de la partie 4 1 > et comme le nombre 3 est à c6lé, on conclut que ^o répondrait à o,3; donc 4 répond à o,o3. En conséquence le nombre cherché se compose des chiffres 3i4i593; donc, en tenant compte de la caractéristiques, ce nombre == 31451593.
LE00H8 d'aLGÈIAE. SoQ
On pourra disposer les calculs comme on le Toit ct-deisoai:
Pour 0^4971^7 1* 3i4i5
1'" reste 128.^ og
2* reste 4*** •• •• oo3
Nombre cherché 3 1 4^ i SgS*
Quand la caractéristique est négative , il est évident que cela ne change rien aux calculs. On Vy fait d^abord aucune attention , mais on y a égard à la fin pour déterminer le rang des plus hautes unités.
III« CAS. On suppose que le loganihme donné L est entièrement
Soit £ = -—1,8753145. Prenons ce logarithme positivement, et cherchons le nombre correspondant N. En divisant Tunité par N, on aura le nombre cherché : car le log. de Tunité étant o, il est évident que le log. de ce quotient sera égal à — log N ou L.
Mais il vaut mieux éviter la division de i par N, en ramenant le logarithme donné à un autre dont la caractéristique soit seule négative : or, c^est ce qu^on fera en ajoutant 2 à L , et en prenant
ensuite 2 pour caractéristique. En effet , on a
Alors on opère comme dans le second cas^ et on trouve le nombre cherché = 0,01 332556.
Complémens aritîunétu/ues. Exemples de calculs effectués par logarithme».
Résolution des équations exponentielles.
35 1. Souvent dans les calculs on doit ajouter des logarithmes , et de leur somme retrancher d'autres logarithmes. Je vais expliquer comment on peut réduire toutes ces opérations à une seule addition , au moyen des complémens avithméliqucs.
Soient p y Çj Fj Sy plusieurs logarithmes , lesquels sont presque toujours moindres que 10 , et supposons qu^on ait à efTecluer les calculs indiqués dans Texpression
3lO L£ÇOSS D*ALGÈBB£.
Il €Sl dair ip^oii peut écdre
-=/7+9 + (lO— l,+ (lO— *)— lO— lO,
OU Lien, en faisant lo — r=r' et lo — s=s'j
Ainsi , js se calculera en ajoutant/;, q^ ?', s\ et en ôlant 2 diaiugp de la somme. Or, cette soustraction ne coûte racmie peine ^ et quant à celles qui sont nécessaires pour éralacr / et /, dlcs soBt toujours très faciles : car, pour avoir /, par exem)^, il n'y a «pa retrancher de i o le premier chiffre significatif de r, sur la droile, etdetf tous les autres chiffres j à ffémchcn Le reste est ce qa on nomme le complément arithmétique de t.
On peut donc poser en règle qu'au lieu de soustraire des le^ rithntes, on peut ajouter leurs complémens arithmétiques^ patan qi^on ait soin éPôter à In somme autant de dizaines qu*on owfB pris de ces complémens. ]
