Soit proposé d^évalaerà 0^0000 1 près le quotient
En prenant, diaprés les règles, le log. du numérateur et celui du dénominateur, pnis retrancliant Tun de Fautre , il vient
log a: = f log 1 46298 — I log 988789.
Yoici le tableau des calculs :
I log 146298
log 14629 0,1652146
pour 0,8 238
1100988789 Jog 98878 ..,,, P, 9950997 pour o,9.«.** 4^
log 146298 5, 1652884
produit par ^. » . . .20,6609536 quotient par 5 i\^\Z^\iyi^
|loç i46298 = 4»i32i907 comp. f log 988789 = 5,oo4o8o3
som. — I ou logo: = 1,1362710 log looooox = 4,1362710 iooooo;c=: i3686 or = 0, 1 3686.
log 988789-,.,. 6,995io37 produit par 5. . • . ^ 2999755 186 quotient par 6 4)9959197
3ia LEçOHt d'alobbrk.
'354- Soit proposé de résoudre Téquatiou exponentielle
En prenant les log. des deux membres, il vient
a:(log u 7 — log 337) = log 8493 — log 7 3 ,
d'où ^^ log 8493 --log 73^
log 3^7 — log 117
log 8493 = 3,929061 1
log 73 =s 1 ,8633229
différences: 2,0657382
log 337 r= 2^5276299 log 117 = 2^0681859
différence = 0,459444^
Je désignerai para/ la valeur de x , abslraclion faite du signe—, et je vais dierclier od par le moyen des logarithmes.
log 20657 •..0,3150672 pour 0,3 ... 63
pour 0,08 • • • 168
pour 0,002. •• 4^
log 20657882 = 7,3150752 log 4594440 = 6,6622826
log 4^944 ••••0,662228s
pour 0,40 .... 38
log 4594440 = 6,6622826
diff. ou log xf = 0,6528426.
Arrivé à ce -point , je dois chercher le nombre correspondant sa logarithme trouvé, comme il a été expliqué n** 35o (II" cas).
log a:' = 0,6528426
pour 0,6528860 •.. 449^»^ i'*" reste 66 . . . 06
2^ reste 80 . . . 008
3^ reste 20 . • • 0002
LEçôHs d'algebae. 3i3
Je n^ai mis qu^un seul chiffre à la partie entière, parce que la t^aractéristîque de log^ était zéro. Dans les calculs de cette espèce, quand ou revient des logarithmes aux nombres , on ne peut guères compter sur Texactitude du 7" chifire. G^est pourquoi j'ai pris simplemeut x = -* /^^^GiG.
355. Les logarithmes sont d^un grand secours dans les questions relatives aux progressions géométriques. Par exemple, prenons dans le tableau du no 3o6, la formule
o ss — ■ •
On commencera par Técrlre ainsi
S=aX— ,
puis on calculera les deux racines par logarithmes. En nommant ac et j* ces deux racines , on aura
expression qifon pourra aussi calculer par logarithmes , si on le
juge convenable.
Mais surtout c*est lorsque le nombre des termes de la progression gcomctrîque est inconnu , que les logarithmes paraissent indispensables. Alors Téquation à résoudre est celle-ci :
dans laquelle Flnconnue n est en exposant. On prendra donc les log. des deux membres , ce qui donnera
log û +(72— 1) log <7 = log /^ '
et de Vd on tirera la valeur de n , telle qu^elle se trouve au n** 3o6
. loff/ — loffa logj
Sf 4 LVÇDSH B'ALOàBEK.
Qucêthns sur tes itoéréu eompoidi.
S56. Llioiiinie inânstriett qui conçoit un profet dont IViéeitiott fierait profiiaUe à sa fertane , manqne sonvent des câf^âm nécessaires pbor le réaliser, tandis qn^au contraire oelm qni ks poi- Mde ignore les* moyens d^en tirer d^utîlefi résultats. Que cdei-ci ptéêe des capitaux au premier, et alors la difficulté disparaît- Toutefois , comme il renonce à s'en servir lui-même pendant un temps déterminé , il exigera non-seulement qu'ils lui soient remboursé au bout de ce temps , mais encore qu'un certain profit ou intérêt lui soit accordé, en proportion de ces mêmes capitaux et du temps pendant lequel il en aura cédé Tusage. Telle est en peu de mois rorîginc et la nature du prêt à intérêt. Pour régler toutes les stipulations de ce genre , on convient ordinairement de l'iutérêt qu'une somme fixe de loo francs doit rapporter en un an y et c'esl là ce qui s'appelle le taux de l'inlérêl.
L'intérêt peut être simple ou composé. Il est simple quand on le reçoit à la fin de chaque année ; il est composé lorsqu'on le laisse chaque année entre les mains de l'emprunteur pour angroeo' tar le capital qui doit porter intérêt pendant l'année snivaiitt. Les questions d'intérêt simple sont sans difficulté, et je ae m'œcuperai ici que des questions d'intérêt composé.
357. Une somme quelconque étant placée à intérêt composé , que doit devenir cette somme, par V accumulation des ùitéréis^ au bout d'un certain nombre d'années ?
Nommons a la somme placée , r Tintérét que rapporte i & par an , et n le nombre des années.
Il est clair que la sonune a doit rapporter rX^ ou ar pendant un an ; et, si on réunit cet intérêt au capital a, on aura o-f-ar oa £[(i-4-r). Donc, pour obtenir ce que devient un capital pendant «n an, il faut multiplier ce capital par i-|-r.
Au bout de la 1'* année le capital étant ^(i-f^)* il aéra dose fl(i+r)' au bout dedans; ^(i-f-r)^ au bout de 3 ans; et en général ^(i-f-rV, au bout de n années. Ainsi, en nommant A cette valeur, on a
[i] Ac=:a<t + r)*.
Suppoftoni I par exemple , qu'on deneadi b vakur de t fr. t» bout de 10 ans, Tintérét étant de 5 poor loo. On fem «wl^ n = 10 , r = o,o5 , i+r = i,o5, et par suite il viendra
Si on fait le calcul par logarithmes ^ on trouve
logAsa ioIogiyo5=sO| 3118930^
ce* qui donne à peu près As=:t,628g«
Si on veut savoir en combien d'anndes le capital se trouve double par l'accumulation des intérêts à 5 pour 100 , on fera A =s a/7, i-|-r s=: i,o5 , et la formule [i] deviendra, en divisant par a ,
Ici c^est l'exposant n qui etl inconnu , et en se servant des logarithmes on trouvera
log 2 o,3oio3ooo .
log i,o5 0,02118930 ^'
Ainsi , telle est la puissance dis l'intérêt composé , qa*iHi capital placé à S p» 100 est doublé dans l'intervalle de i4 ii i5 ans.
La formule [ij, oonsidérée d'une manière générale, exprime une relation au moyen de laquelle on peut trouver une qud* conque des quatre quantités a, r, n» A, quand les trois autres sont données.
358. Quelle valeur produira^i'^n au bout éPun certain twm^ ire d'années , si on ajoute chaque année au capital primitif n^ capital égal , et si on accumule avec toutes ces sommes leurs intérêts composés ?
Soit a le capital placé chaque année , n le nombre des années > •t r l'intérêt de i fr« La première somme a s'ajoutera avec ses m** térêts composés pendant n années, ce qui produira n{i'^t^] in deuxième somme â à ses intérêts pendant n^^\ années , ee qui produira «(t-^r)*"'' ; ainsi de suite jusqu'à la dernière somme « qui, n'étant placée que pendant on an, pi^uiraseoleiicnt a(t-ff^* La valent demandée n'est autrt dose que la nittokwi à% UgiMi
3>l6 LEÇoifS D'iLGXBEtt
€09 falears, àiosi accamnl^ avec leun intérétf ; de forte qn'en Aéàgaant le total par S, on aura
ou , sous une autre forme ,
S = fl(i+r)[i+(i+r)+(i+r)«. ..+ («+/•)«-'].
La somme i+ (1+0 + etc. est une progression géométrique; donc, par la règle connue (3o3), il viendra
fol Q a(T+r)[ii+rY^i]
Celte relation servira h déterminer une quelconque des quantité! a^ r, /?, S, au moyen des trois autres. Soit a=iy r=o,o5y ns=io : il viendra
Ainsi , 1 fr. placé chaque année à 5 pour 100 produit ao boot de 10 ans une valeur de plus de i3 fr.
Cet.exjemple sufdt pour montrer combien s'accroît la puissance des intérêts composés , quand on y joint celle d^une économie soutenue.
. 359. Un emprunt tstfail sous la condition et être remboursé au moj-en (Vun certain nombre J'anruites, c'est-à-dire ^ par sommes égales quon paiera d'année en année. On demande la quotité de r annuité , calculée iï après le taux d^un intérêt convenu.
Celte quotité doit être telle qu^en tenant compte de chaque annuité et de ses inlcrêls composés jusqu^au moment du dernier paiement, on ait précisément la valeur que doit acquérir à celte époque le capilal emprunté.
Appelons C ce capilal , a la quotité de l'annuité , n le nombre des annuités, et r rintérét de i fr. par an. Le paiement de la 1'* annuité devant se faire un an après. le jour de l'emprunt, la valeur qu'elle acquerrait, si on reportait le paiement à la n*""* année.
lEGOirs d'alceibc. ài7
ierait a(i-|~r)'*"^. A cette époque, la ralear de la a* annuitd serait «(i+r)**""*, celle de la 3* aérait û(i-|-r)'^', etc. Donc Fenaemble de toutes ces valeuiSi y compris la dernière annuité a, serait
progression géométrique dont la somme est
Maïs à cette même époque, c*est-à-dîre, au bout de n années , le capital emprunté G vaudrait G (i-f-r)"; donc on doit avoir
fKl±îfz:l3 = c (.+r)".
r De cette équation Ton tire la valeur de l'annuité a^
'• -* Ci+r)»— i
Ici encore il faut observer que cette relation peut servir à caU culer une quelconque des quatre quantités a, r, C, n^ quand les trois antres sont connues.
Soit fait G=iy rs0o,o5 , 7t«Bio, la formule donnera
Cette annuité est celle qu'il faut payer pour éteindre en 10 ans une dette égale à i fr. Pour une dette de 10,000 fr., l'annuité serait donc de 1 2g5 fr.
Proposonfl*nous encore de calculer combien il faut d!'annéea pour amortir une dette au moyen d'une annuité donnée. Alors rinconnue est /i, et réquation[3] donne successivement
(a-Cr)Ci4-r)-=a, log a — log (a — Cr)
3i8 uçom B^AiiGionii*
Sohassiy 0=siO| rs=io,o5s enobfltnraiit qiiel^axao,fl Tiendra
— !og(i — 0,5) loga 3oio3oo ,
"^ log(i-J-o,o5) log I ,o5 211893 ^*
Ce résulut fractionnaire, compris entre i4 el i5, montre qoe 14 annuités ne suffisent pas pour éteindre entièrement une dette dé* cuple de Tannuité, mais que i5 annuités amortiraient une dette plus que décuple.
36o. Plusieurs sommes sont payables à des échéances SJJ^ rentes , et Ton veut fondre toutes ces sommes en une seule , payable à une époque déterminée. Quel sera le montant die cette dernière ?
Kobjet principal de cette question est de bien faire Fçmarqim que, pour comparer entre elles des sommes payables à des échéances différentes, il faut toujours les ramener à une même époque , laquelle peut d^ailleurs être dioisie comme on youdra. G^est ainsi qœ dans le problème précédent elles onttootes été rapportéeaau lanne du dernier paiement.
Soit a une dette payable au bout de. m années y b une aolN dette payable dans n années , et e la somme inconnue , qa\>n doit payer au bout de p années pour acquitter ces deux dettes. Prenons arbitrairement un nombre d'années s phis grand que chacun des nombres m , n^ p, et rapportons les trois sommes a , bf c, à Texpiration de ce n^nnbre d'années.
Pour arriver à ce terme, la somme a devrait rester placée pendant ^«-771 années, la somme b pendant «— ft, el la tOBune:^ pendant s-^p. Or, par.U elles acquerraient les valeoft
«(i+'-y-^, ^r+ry--", cCi+r)*-^,donc, d'après l'énoncé de la question , on doit avoir
En divisant par d+r)*, cette équation devient
c(î+r)-/teaa(i+rr- 4-^(i+r)— , et Ton en tire l'inconnue
c os a(i+r)^-"*4-6(i-|-r)
LEÇONS I>*AiGEBai, Sig.
On aurait pu réduire les trois sommes a^b^ c^ h rëpo^fue où Ton veut fondre les deux dettes eu une seule. Alofs on obienrera que la somme a n'étant payable qu'après m années ^ sa voleur actuelle doit être j^ .^; que semblaLlement la valeur actuelle de
b est 1^ , et que celle d^ c est , ^^ : donc on doU avoir
l'équatioB
laquelle revient à celle qui a été trouvée plus haut avec des exposans ucgalîfs*
