CHAPITRE XJV

Théorie du plus grand commun diviseur algébiiquel

Théorèmcsfoadamfintauff.

36i. J'ai tardé jusqu'à présent à exposer la théorie du plut grand commun diviseur des quantités littérales , parccLqu^elle u^ rencxmtre guère d'application que dans les parties âevées de Tal-. gèbre. Pendant long- temps elle est restée sujette à des 4ifl^CM¥fif qui ne laissaient pas que d'être assez graves» J'ai essayé de les résoudre en démontrant, sur la décomposition des ppljn&mei». en facteurs , deux théorèmes p qui sans doute étaient jadmjfi lies analystes, mais que les auteurs avaient toujours éludés* )^ ma |^ reproduire ici après avoir rappelé que^oes définitiouA»

On a dit (i4) que les quaniUés rationnelles wulÇ^e%iof^ Texpression ne renferme point de radical ^ et qi9e Ict qufUffM^ entières sont celles qui réunissent la double condition d'être ra^ tionn^es et die ne comeair aictu» déowûnate ih>(

3^0 LEÇONS D^LGÈBRE.

De plus , j'appellerai quantité première toute quantité entière qui n'est divisible que par elle-même et par Funité : de sorte qu'en la divisant par toute autre quantité entière , le quotient ne sen point entier. Ainsi a — b^ est une quantité première j mais a* — l^ n'en est point une , car en divisant a* — b^ par a-^ç-b on trouve a — b pour quotient.

362. Théouème. Toute quantité première P, qui divise m produit AB de deux quantités entières, doit diviser Vune d^eUet*

Lorsque A, B, P sont des nombres, la proposition est connue (26g). Considérons successivement les quatre cas oii ces quanlitéi ne contiennent pas plus d'une lettre.

Premier cas. L'une des quantités k et B est fonction de x, r autre est numérique y et P esi aussi numérique»

Soit un polynôme

A:=ax^'\'bx'^'\'elc, ,

dans lequel les lettres a^ b^ , .. représentent des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs, et a, p,**. des exposans entiers positifs. £n multipliant A par le nombre B, on a

AB=Bflx'*+B/;a:^+etc.

Puisque ce produit est supposé divisible par le nombre P, il faut que les coeiHciens des diverses puissances de a:, dans ce produit , soient divisibles par P. Ainsi, P doit diviser les produits Ba^ B^,. . .; donc, en vertu du théorème connu (269), s'il ne divise point B, Il devra diviser tous les nombres «r, i, . ; . Or, s'il divise ces nombres, il divise évidemment le polynôme A^ donc P doit diviser ou B ou A.

Second cas. Les deux quantités AetB sont fonctions dex^tt P est encore numérique.

Admettons pour un moment que le nombre P ne divise ni A ni B. Nommons A' l'ensemble de tous les termes de A dont les coefHcieus sont àes multiples de P, et A" l'ensemble de tous ks autres; on aura A=A'+A". Décomposons B de la même manière, et soit B=B'-fB". Il viendra