AB = (A' + A«)(B' + B^)«A'B' + A'B'' + A»F+A'B

Les trois premières parties sont divisibles par P , car dans A' et B' tous les coefiTiciens sont divisibles par P ; et pour que A"B" le fût aussi il faudrait que les coefidciens de tous les termes de ce produit le fussent eux-mêmes.

Soient ax^ et hx^ les termes de A" et de B", dans lesquels la lettre X a le plus haut exposant 5 le terme abx^'^fi fera partie du produit A^'B" et ne se réduira avec* aucun autre. Or, ni a ni 6 n'est divisible par P, puisque P est un nombre premier qui ne divise aucun des cocfliciens de A" et de B"; donc àb n'est point divisible par P, et par conséquent A"B" ne Test pas. Ainsi , les trois premières parties du produit AB seraient divisibles par P et la quatrième ne le serait point ^ donc AB ne pourrait pas Fétre, ce qui serait contraire aux conditions de Ténoncé. Il est donc impossible d'admettre que ni A ni B ne soit divisible par P 3 donc A ou B est divisible par P. •

Troisième cas. L'une des quantiu^s A et 13 est numérique^ Vau ire est fonction de x^ et F est aussi fonction de x.

Soit A le facteur fonction de .v, et Q^e quotient entier de AB par P : on aura AB =PQ , ou , en représentant par F, F, F% . . . les facteurs premiers du nombre B , •

AFFF". . . = PQ.

.Le premier membre étant divisible par F, le produit PQ doit l'être aussi : or F est un nombre premier ; donc , en vertu des cas précédens , P ou Q sera divisible par F. Mais P est une quantité première qui contient x ; donc elle n'est divisible par aucun nombre; donc Q est divisible par F ; donc , en désignant par (V le quotient de Q par F/ et en divisant par F les deux membres de l'égalité ci-dessus , on aura

AFF^^-rsPO'.

On prouvera de la même nanière que Q' doit être divisible par P; et «en nommant Q" le quotient , on aurait