A = PQ
dans laqaelle Q serait encore une quantité entière i et de là on conclut sur-le-champ que A «st divisible par P.
Quatrième cas. A, B ef P sont trois fonctions de x.
Supposons la quantité A non divisible par P, et d'un degré plus élevé qufi P. Ordonnons A et P de manière que les exposans de x aillent en décroissant, et poussons la division de A par P jusqu'à ce qu^on trouve un reste dç degré moindre que P.
Avaat d'amener la division à ce point , on pourra rencontrer des restes dont le i^^ terme ait un cociUcient qui ne soit pas divisible par celui du i^"^ terme du diviseur. Alors , poursuivons ropération en prenant des coeflicicns fractionnaires, et concevons qu^à la fin tous les termes du quotient et du reste soient réduits au même dénominateur : on pourra représenter
ce quotient et ce reste sous là forme -jt; et :jrî , en désignant par Q
et A' deux quantités entières, et par M le dénominateur commun. Or, on doit toujours avoir
On voit par là qu^en multipliant le dividende par M avant^e faire la division , le calcul se ferait sans fractions. £t remarquez bien que A' ne peut pas être zéro , autrement le produit MA serait divisible par le polynôme premier P, et dès-lors P devrait diviser  (3" cas), ce qui est contre Thypothèse.
Gela posé , multiplions les deux membres de la dernière égalilé par B et divisons-les ensuite par P, il vient
donc , puisque AB est divisible par P, le produit A'B Test aussi. Supposons que A' soit algébrique, et^divisons P par A'. Soit M' le nombre par lequel il faut multiplier JP pour arriver, sans frac- . tions, à un reste de degré moindre que A^ En nommant Q' le quotient et A'' le reste , on aura
M'F^A'Q' + A"; et A" ne pourra pas non plus être zéro : car , pour que cela fût ,
LEÇONS D^ALGEBBE. 323
il faudrait que M^P fut divisible par chaque facteur algébrique premier de A'. Donc, en vertu du 3' cas , P devrait Têtre aussi , et dcs-lors P ne serait plus une quantité première.
Si on multiplie et si on divise cette égalité par P, elle devient
donc la divisibilité de A'B par P entraîne celle de A"R.
Divisons encore P par A". Soit M" le nouveau nombre par lequel on multiplie P pour éviter les coei&ciens fractionnaires , soit Q* le quotient et A'" le reste, il viendra
d'où Ton tire , comme plus haut,
A m A WD
donc A'^'B est aussi divisible par P.
- Eo continuant ainsi, on obtient des restes sucf^ssifs A',A'',A'^^..* dont le degré va en décroissant , et comme aucun reste algébrique ne pourra diviser exactement P, on est sûr d'arriver àun reste numérique Ai. Or, les raisonnemeus précéden s prouvent que tous les produits A^B, A*B, A'^B, etc., sont divisibles par Pj donc A,B doit rêtre ; donc , par le 3*^ cas , B est divisible par P.
Les quatre cas quW vient d'examiner sont les seuls qui soient à considérer lorsque les quantités A, B, P ne sont pas numériques à la fois, et qu^ellcs ne contiennent pas plus d^une lettre. Passons aux cas où il y a deux lettres x et. y dans Tune de ces quantités , ou dans deux d'entre elles , ou dans toutes les trois. Ces cas sont aussi au nombre de quatre, savoir :
1® Lorquun seul des facteurs A e/ B contient la lettre x et que "P ne- la contient point.
a" Lorsque les deux facteurs A e/ B contiennent la lettre x , cl que P ne la contient point.
3** LorsqiHun seul des facteurs A e/ B contient la lettre x , cl que P la contient aussi,
4® Enfin , lorsque les deux facteurs A et B contiennent la lettre x^ et que P la contient aussi.
324 LEÇONS D^ALGÈBRC.
Les démonstrations sont semblables à celles qui viennent d'être exposées , et pour cette rabon nous nous dispenserons de les rapporter. La seule dîfTérence consbte en ce que les quantités qui , précédemment, étaient supposées numériques , peuvent être ici des fonctions de j*.
De même que les cas où A, B, P, ne renferment pas plus d'aoe seule lettre, servent h démontrer la proposition pour les cas où ces quantités peuvent contenir deux lettres ; de même ceux-ci serviront à s'élever aux cas où ces quantités pourraient en contenir trois ; et ainsi de suite , quel que soit le nombre de lettres. Le théorème général doit donc être regardé comme démontré.
563. Théorème. Il n^ existe quun seul système de facteurs pre» miers dont le produit soit égal à une quantité donnée : ou , ce qui est la même chose , deux produits de facteurs premiers m peuvent être égaux que lorsqu'ils sont composés de facteurs égaux chacun à chacun.
Cette proposition, toute semblable à celle qu'on connaît sur les nombres (271), se démontre aussi de la même manière* Soient ABGD. . • et abcd. • • les deux produits égaux. Puisque tous Ici facteurs sont premiers, si a n^cst point égal à quelqu'un des facteurs A, B, G , . • • il ne pourra diviser aucun d'eux. Or a, ne divisant ni A ni B , ne divisera point AB : car, d'après le théorème précédent, si a divisait AB , il devrait diviser A on B. Par la même raison, a ne divisant ni AB ni G, ne divisera pas ABC; et ainsi de suite. Donc a ne pourrait point diviser le prodçdt ABCD,i . . ce qui serait absurde , puisque ABGD. • . = abcd..* il faut donc que a soit égal à Tun des facteurs A^ B , G , D, etc. Supposons a = k, et divisons les deux produits par a. Les .produits rcstans BGD... et bcd^.. seront encore égaux, et Ton pourra leur appliquer le raisonnement précédent. On conclura
donc que b est égal à l'un des facteurs du produit BGD. • ., à B, par exemple. On fera voir semblablement que c est égal à Fun des facteurs du produit GD. . ., à G^ par exemple; et ainsi de suite. Donc les deux produits ABGD. • . et abcd. . • sont composés des mêmes facteurs premiers.
Si plusieurs facteurs du premier produit sont égaux entre eux i le second produit doit les renfermer précisément en pareil nombre.
LïGoiïs p\lgèbre. 3a5
Définition du plus grand commun diviseur* Principes sur lesquels reposé
sa détermination* Cas les plus simples,
364. En Algèbre , la dénomination de plus grand commun diviseur n'indique point comme en arithmétique , un diviseur qui soit réellement plus grand qu'un autre. Une nouvelle définition est nécessaire, et j'adoyterài cellc*ci : Le plus grand commun diviseur de plusieurs quantités entières est le produit de tous leurs Jac leurs premiers communs , soit numériques y soit-monômes y soit polynômes.
On n'a besoin d'aucune méthode nouvelle pour détenpiner ce produit lorsque les quantités dont il s'agit sont des monômes. Par exemple, soient les quantités
Je cherche, par les méthodes de l'arithméliquc, le plus grand dî- . viseur commun des coefficiens 432, 270, 90, et j'obtiens le nombre 18. A la suite de ce nombre je place chacune des lettres communes aux trois monômes, et je lui donne le plus petit exposant dont elle est affectée dans ces monômes. Je trouve ainsi iQa^bx pour le plus grand commun diviseur.
365. Mais lorsqite les quantités proposées sont des polynômes, leur plus grand diviseur commun ne s'obtient plus avec la mcmc facilité. Sa détermination repose alors sur deux principes que nous allons exposer.
Pbemier principe. Le plus grand diviseur commun à deux quantités entières n'est point altéré si l'on, multiplie ou si l'on divise l'une d'elles par telle quantité entière 'qu'on voudra, pourvu que celle-ci n'ait aucun facteur commun avec l'autre.
Il est évident, en effet, que les facteurs premiers, communs aux deux quantités proposées , sont toujours les mêmes. Or, c'est le produit de ces facteurs qui est le plus grand commun diviseur des deux quantités.
Deuxième principe. Si l'on a deux polynômes A et B, si l'on divise A par C, en ayant soin de ne prendre que des termes en-: tiers au quotient^ cl si l'on désigne par R le reste de la division ,
je dis que le plus grand commun diviseur de A et de B est le même que celui de B et de R.
On doit avoir, comme dans toute division ,
A = BQ4.R,. d'où A— BQ=R.
Soit D le plus grand diviseur commun de. A et de B : il devra diviser A — BQj donc il divisera aussi R. Représentons par A', B', R', les quotiens de A,B,R, par D, et divisons par D les deuic membres de la première égalité^ il viendra
B' et R' n^ont plus de facteur commun : car, s'ils en avaient un , il devrait diviser B'Q + R', et par conséquent aussi A'* Donc A' et B^ auraient encore un facteur commun ^ et D , qui est le plus grand diviseur commun de A et de B, ne renfermerait pas tous les ,^f acteurs communs à ces quantités , ce qui est contre la défini tien.
Puisque B' et R', qui sont les quotiens de B et de R par D, ne peuvent plus avoir de facteur commun , il s'ensuit que le plus grand commun diviseur de B et de R est égal à D ; donc il est le même que celui des quantités A et B.
366. Maintenant , passons à la recherche du plus grand com* mun diviseur des polynômes. Par cxempfe , soient les quantités
Q=/fia^x7 —QSa^bx^ —6/ia^bx^ -^Sa^ùx^.
Je cherche d'abord le plus grand commun diviseur des termes de P, ainsi que celui des termes de Q : je trouve i2a'Z>^r*, pour le premier, et 8a^bx^ pour le' second. Le plus grand commun diviseur de ces deux monômes est ^a^bx^ , et ce diviseur cAommun est le produit de tous les facteurs monômes communs à P et à Q.
Alors' je divise P par i7.a^b^x'^y Q par Sa^bx^j et j'ai pour quotiens les polynômes
A = 4^^ — I oax^ + a^x* — a^ , B = 6j:^ — iiflx' — Sa'x — a^ j
dans lesquels il n'y a plus que les facteurs polynômes des quantités P et Q. Par conséquent , si Ton connaissait le plus grand com-
mun diviseur do A et.de B , il suffirait de le multiplier p%r le monôme ^a^bx^ , pour obtenir le plus grand commun diviseur de P et de Q. Ainsi , la question est simplifiée : car elle se réduit à déterminer Id plus grand commun diviseur de deux polynômes A et B , qui n'ont plus de facteurs monômes. C'est donc cette recherche qui doit nous occuper.
D'après la définition, ce diviseur est le produit des facteurs com muns a A et à B^ donc si la quantité B divise exactement A, elle sera elle-même ce diviseur : c'est pourquoi nous essaierons cette division. Or, une difficulté se présente dès le commencement, c'est que 4^^, premier terme du dividende ^ ne peut point se diviser par 6:i;^ , premier terme du diviseur. Pour rendre la division possible, on pourrait multiplier A par 6, et le diviseur cherché ne "^ serait point altéré (365) ] car 6 ne contient aucun facteur qui soit commun à B , et en efict il ne doit point en contenir, puisque B n'a plus de facteurs monômes. Mais il suffit de multiplier A par 3 5 car alors le premier terme du dividende devient la^, et il est divisible par 6.r^. C'est donc la quantité Ax3 ou
12x4— 3o^x3+ 3tt»^» — 3â4,
qu'il faut prendre pour dividende. Après avoir placé le terme 7.x au quotient , on Irouvele reste
lequel, en vertu du 2« principe (365), doit avoir avec B les mêmes facteurs communs que A.
Lvi division est encore arrêtée ; mais on la rend possible en multipliant aussi ce reste par 3. On trouve ainsi — ^a au quotient , et pour reste la quantité
qui a encore avec B les mêmes facteurs communs que A.
Ce reste contenant x à un degré moindre que le diviseur, cest celui-ci qu'on prendra maintenant pour dividende, tandis que le reste servira de diviseur. Mais on supprimera préalablement dans ce reste les facteurs qui sont communs à tous ses termes, ce qui le réduit à x^ — 7,ax — û% et ce qui n'altère en rien 1« plu» grand ' commun diviseur.
3aJ3 LEÇONS d'algèbre.
On a ijors à diviser Tune par l'autre les deux quantités
R= X* — 2ax — a".
La division se fait sans qu'il soit nécessaire d'introduire aucun facteur dans les dividendes partiels 5 et comme on parvient à un reste nui , on en conclut que x* •— 2ax — a* est le plus grand commua , diviseur cherché.
• On donne a\}^ calculs la disposition suivante :
Première divisicîu
[\oc^ — ioax^'\-' à^x* — a^ 1 7.x^ — Zoax^-)^ Za\x^ — 3^4 ■1 9,.r4-|-22fl.r^-4"ï^^'^'"l"2fl^.r
— 8aa:^-|-i9a':r'-|- 2.d^x — 3rt^
+9.40^:' — l\\n^x^ — Ziia^x — 4^^ i.3fl'.T' — liôa^x — 1 3a*
Deuxième division»
x^ — lax — a
