r? — I lax^ — ^a^x — a^ *-^ax^^2a^x^a

867. Les raisonncracns précédens montrent comment des divisions successives conduisent au plus grand commun diviseur. Deux divisions ont suffi dans Tcxcmplc ci-dessus 5 mais si la seconde ne ne se fiit point effectuée exactement, elle aurait mené h un autre reste , de degré moindre que le diviseur , et Ton serait passe à une troisième division comme on est passé de la première h la seconde. En continuant de cette manière , il est évident que si Ton parvient à un reste nul , le diviseur de la dernière opération est le plus grand commun diviseur cherché.

LEÇOKS D^AIGÈBRE. 3^9

Voici un exemple dans lequel il y a trois divisions. Les quantités dont ou demande le plus grand commun diviseur /sont

Première division.

4«^^ — Ga'o:' — a^x — 6a^ isî^.r^ — i8a'^x^ — 3a^x — 18^^

I ort'a:'-

1 Ôa'^x — I ofl^ su:" — 3ax — • *ia^

Deuxième division,

3i^ — 7^^:'+ 3û'j: — 2û^ Go:^ — 14^0:*+ 6rt'.r— 4^"* — Gr^-j- 9rt.r*+ i^à^x

— 5aar^+i2a':c — 4^' — 1 oa.r'-|-24a'^^— ^û^ -|- 1 oax^ — I Sa^x — I Qo}

Troisième division.

Zx -^5à

o.x^ — 3ax — 2a'

ax — 2a'

— fl:ï.*-j-2a'

a:— 2rtf

ix-^-a

C'est donc x — OLn qui est le plus grand commun diviseur.

Dans la première division , on a multiplie deux fois par 3 5 et dans la seconde , deux fois par 2. On pourrait abréger un peu en multipliant une seule fois par le carré de 3 , et une seule fois par \fi carré de 2.

33o LEÇONS D^ALGtBRE.

Continuation : on étend la théorie précédente à tous lès cas,

368. Ce qu'il importe surtout de remarquer , c'est-que le succès du calcul est (entièrement fondé sur ce que , les quantités étant ordojinées selon les puissances décroissantes d'une lettre , chaque division conduit à un reste de degré moindre que le diviseur. Lorsque les polynômes contiennent plusieurs termes de même degré, il y a une précaution à prendre, sans laquelle on ne serait point sûr d'obtenir toujours une pareille réduction , et qui consiste à réunir tous ces termes sous un seul multipKcatcur.

Soient les polynômes

A = o:^ -}- 7j-x^ — X* -\'y*JC — aj-x — j**, B =j'x* -}- x^ +/^Y+T"^ + ^+/'

Je les écrirai ainsi :

A=:x^ + (2jr—^i)x*+(y^ — !^jr)x—y''^ ,,

La partie x^ ne pouvant pas se diviser par (y+ 0 ^*» ^ cause du facteur j^+ 1 , je rappellerai qu'en général , si une quantité est ordonnée comme sotit les précédentes , par rapport aux puissances de x^ tout diviseur de cette quantité, indépendant de :r, doit diviser séparément les multiplicateurs des diverses puissances de x. Dès lors, il est facile de voir que j"-|-i n'a aucun facteur commun avec B 5 car , s'il y en avait un , il faudrait qu'il se trouvât dans les quantités j-* -hj*-!" i ctj* : or , il est évident que le monomey n'a aucun facteur commun avecj'+ i. On pourra donc multiplier A par j'-J- I sans altérer le commun diviseur cherché, et la première division 'devient possible. Mais comme il faudrait tout-à-rheure multiplier encore par j*-^ i, on introduira tout d'abord dans Aie facteur (j*-!- i)' ou j"' + ?j-4" '• ^^^ parvient de cette manière à un reste dé degré moindre , en a:, que B , savoir :

Avant de passer h la seconde division , il faut supprimer dans ce reste tous les facteurs communs aux quantités qui multiplient les diverses puissances de x. Ici cette opération est facile , car on

aperçoit sur-le-champ que les deux parties du reste sont divisibles par — jr3— .3^» — J^4"2- En opérant cette division, on oblient •'^'f'J') quantité qui a encore avec Blés mêmes facteurs communs que \.

Ainsi, ce sera x-^-y qu'on prendra pour diviseur dans la seconde division ^ et comme elle se fait exactement , il s'ensuit que le plus grand commun diviseur cherché est x 4" JT*

Première division»

Deuxième divisiorf, {j'+î)x^+{j^+jr+l)X+y

— (.r + ' )^'+f —jr' — .r) -^

X+jr

(jr+O-^+ï

3Ç9. L'exemple qu'on vient d'expliquer met h découvert certaines difficultés qu'il faut encore résoudre. Dans la première division, il a fallu, avant de multiplier par j* + ^ ? s'assurer que cette quantité n'avait point de facteur commun avec celles qui multiplient les diverses puissances de x dans le diviseur 5 et comme le monôme y était une de ces quantités ; il a été facile de recon-

33a LEÇONS D ax«g£br£*

naître quUl n'a en èjSet aucun facteur commun avec j^ 4" ^ • Mai», en géAcral , .il n'en est point ainsi : car il aurait pu se faire que toutes lés. puissances de x eussent été multipliées par 4es polynômes. Il y a plus : après la première division , nous avons supprimé , dans le reste y les facteurs communs auK quantités qui multiplient les diverses puissances de x ^ et cela suppose qu^on sache déterminer le plus grand commun diviseur de ces quantités. Cette détermination a été facile dans Fexemple précédent, mais on comprend qu'il n'en sera pas toujours de même. Les développemens suivansfoàt disparaître toutes ces difficultés.

I® Elles n'ont point lieu quand il s'agit de deux polynômes qui ne contiennent que la lettre x : les règles du n** 366 suffisent alors. Ainsi , on saura toujours trouver le plus grand commun diviseur de djfeux polynômes qui ne renferment qu'une seule lettre; par suite , je dis qu'on saura aussi trouver celui d'un plus grand nombre de quantités dans lesquelles il n'entre qu'une seule lettre. Supposons, par exemple, qu'on ait troi^ quantités A, B,Cj soitDIe plus grand commun diviseur de A et B , et D^ celui de D et G. D'après la définition, D est le produit des facteurs conununs à A et B , et D' est celui des facteurs communs à Det C^ dçnc 1/ est le produit des facteurs communs aux trois, quantités A , B , G; donc D' est leur plus grand commun diviseur.

2® Considérons des polynômes A et B qui contiennent deux • lettres X qXj, Prenons dfebord le plus grand commun diviseur des termes de A 5 soit a ce diviseur et A' le quotient de A par «: on auraA=a A'. Ordonnons A' selon les puissances décroissante de .r, en ayant soin de réunir tous les termes qui renferment la même puissance de cette lettre; et supposons, par exemplo, qu'on ait

A'=L:c^+Ma:+N.

Tous les facteurs de A', indépendans de a: , doivent être facteurs des quantités L, M, N, qui multiplient les différentes puissances de X. Or, ces quantités ne contenant que la seule lettre j-, il sera facile d'avoir leur plus grand commun diviseur. ïiommonf a! ce diviseur et A" le quotient de A' par oi : en aura A' s= « A%ct par conséquent

a sera le produit des facteurs mouomes de A , a' le produit des facteurs polynômes qui ne contiennent point x , et A" le produit ! des facteurs polynômes qui contiennent x*

Faisons la même décomposition sur le polyn6meB, et soit

Alors , je détermine le plus grand commun diviseur des mono* mes a et p ,. ainsi que celui des polynônes a et p', qui ne contiennent que la lettre y; et si je puis aussi trouver celui des polyn6mes A" et D", qui renferment y et a: , j'aurai trois quantités dont le produit sera le plus grand commun diviseur de A et de B. En effet , la première contiendra les facteurs premiers monpraes communs à A et à B ^ la seconde, les facteurs polynômes indépendans *de x] et la troisième, les facteurs polynômes dépendans de x.

Or, je dis qu'on peut trouver le plus 'grand diviseur commun des quantités A" et B'' en les soumettant aux calculs des divisions successives , comme dans l'exemple du n<» 368. H est clair, en effet , que fiQS quantités n'ayant plus ni facteurs monômes , ni facteurs polynômes indépendans de j: , il sera permis de multiplier les dividendes partiels de la première division par lé polynôme qui est placé devant la ])1us haute puissance de .r, dans le diviseur, et qu'on arrivera ainsi à un reste de degré moindre, en x^ que le diviseur. Jl sera facile d'ôter dcce reste tous les facteurs monômes qu'il renferme , aussi bien que les facteurs polynômes indépendans de 07 5 et alors on procédera à la seconde division , en prenant pour diviseur ce reste ainsi simplifié. On se conduira comme dans la première ; puis on passera à une troisième ; et, en continuant toujours de cette manière , on est sûr de parvenir enfin à un reste nul, ou à ua reste indépendant de x.

Dans le premier cas, les quantités A'' et B^' ont pour plus grand diviseur commun le diviseur de la dernière division. Dans le $6cond, elles n'en ont aucun, ou, pour parler plus exactement, elles n'en ont point d'autre que l'unité. En effet, le plus grand commun diviseur de ces quantités devant être le même que celui du dernier diviseur et du reste indépendant de Xy serait lui-même indépendant de x: mais les polynômes A' et B", à cause des décompositions préliminaires j ne peuvent a^o][r aucuo facteur commun indépendant

334 LEÇONS D^ALGÈBEE.

de Xy autre que Vunité ; donc Funîtë est leur seul facteur coniman. Ainsi, on pourra toujours trouver le plus grand diviseur commun de deux polynômes dans lesquels il y a deux lettres; et par conséquent aussi celui de trois polynômes, ou davantage.

3** De même qu'on s^est élevé du cas où les polynômes ne con- I tiennent qu^une le ttre^^ celui oii ils en contiennent deux, de même on s'élèvera de ce second cas à celui des polynômes qui en renferment trois, et ainsi de suite, quel que soit le nombre des lettres. Donc enfin il n'y a aucun cas où l'on ne puisse détermioer le plus grand commun diviseur de plusieurs polynômes.

D9 quelques modifications 'nécessairesy quand les polynômes sont teb

qu'on les considère dans les équations,

370. Dans la théorie générale des équations^ qui ya bieni&lf nous occuper, on considère d'une manière spéciale des polynômes de la forme •

dans lesquels x représente une inconnue, m un nop[d:>re entkr positif, et A, B, G,. • • des quantités quelconques, numériques ou littérales, qui ne contiennent point x. Or, quoique les coefficiens A, B, G , . • . puissent renfermer des radicaux et des dénominateurs, comme l'inconnue x ne se trouve ni sous ces radicaux ni dans ces dénominateurs, le polynôme est dit rationnel et entier par rapport à a:; et l'on dit encore que deux polynômes de cette forme sont divisibles l'un par l'autre , lorsque la division donne un quotient exact , entier aussi relativement à ac, Ainfi , jf'+'îArK 2— aa" est divisible par 2x — aV2, : car on trouve le quotient exact ^X'^-aV^, Gela posé, voici une proposition tout-àfait semblable à celle du n"* 362 , et dont l'application se présentera dans la théorie des équations.

Si un binôme du premier degré y de la forme ar4-«\ dipise un produit AB de deux polynômes rationnels et entiers par rapport àx^ il devra diviser Vun deux»

Divisons A et B par ox -{-<»% ^t supposons que les divisions ne se fassent pas exactement , on est sur au moins d^arrlver à dêv

LEÇONS D^ALCéBRE. 335

restes qui îie contiendront plus x. Soient Q, Q', les deux quotiens, et R, R', les d^ux restes : on aura

A = Q (a:r+a')+R, B = Q' (aX+*'H-R' , et par suite

AB = QQ'(ar4-a' )' ^ (^R {.ax-\-(^) + QR'(«a-^a') -f RR' . De là ou tire, en divisant par ar-|-a',

^' = Q^^C^+aO +Q'R+QR' 4- ^^^, ,

Par hypothèse AB est divisible par «x+a', il faut donc que le second membre se réduise à un polynôme entier, relatiT^ptent à X s or, pour cela, il faudrait que RR' fût divisible par aar-f-tf'y ce qui est impossible, puisque R et R' sont des restes qui ne contiennent point X. Donc la division de A par 9.X'-\-dy ou celle de B, doit se faire exactement.

Corollaire, JSoit un produit ABCD de plusieurs polynômes entiers par rapport à x. S^il est divisible par aar-f-a^) il y aura au ' moins un des facteurs qui devra Têtre. En efFet^ on peut considérer ABCD comme un produit de deux facteurs ABCxD^ donc si le binôme ax-|-« ne divise pas D, il doit diviser ABC. Semblablement, on conclut que s'il ne divise point C, il doit diviser AB, et que s'il ne divise point AB, il doit diviser A. On continuerait de la même manière s'il y avait plus de facteurs.

871. Supposons que le polynôme Aa:"'+etc. soit formé par la multiplication de m facteurs du premier degré, et qu'on ait

Aj:'»+etc. = (ax+a') (pJ:+p') (yx+o/) on pourra toîre '

A.T»+etc. = apy. . .>C (^+ j)(*+| X^+^) * * * ' puis, si on observe que le coefficient A doit être égal au produit *Py- ••> ^^ ^ ®^ P^*® -=û, k^^^> — =c,,.., on aura Aa;"*+etc. = A (x+û) (x+i (^-H?) • • . . .

336 Leçons D^ALGàoRE»

. On dit alors que le polynAme Aa:"»+ctc. est décomposé enjacieurs simples ou jj rentiers ; cl j sous celte dénomination j ou en^endid les biu6mes ^+^, ^+^> -^"h^j • • • abstraction faîte de A.

On peut appliquer a cette décomposition un tbéorëoie toat« ^-fait analogue.à celui du n« 363, c'est;à-dire qu!un pofynômt X de la forme Aa::"*4"^^"~'"4"^'^~~'"t'Clc. , ne peut se déam* poser que d'une seule manière en facteurs simples» ' Admettons qu^on ait à la fois

X=A{X'^a)(x-\~b)(X'\-'C){X'^d)... j X=A {x+a'){x+b') {x+c') ix+d'). . . .

Le biftémc x-^a doit diviser le produit A(a:+a)(j:-4-i) (x^c) . . . j donc il divise Tun de ses facteurs, et pour cela il faut évidemment quMl soit égal à Fun d'eux. Supposons-le égal à a:-4-a, et divisons les deux produits par x-^^a^ il vient

A (.r4-^) (ar+c) (x+d) . . • = A (x+b') {x+c'){x+d')

On prouvera de la même manière que a:+y doit être égal à Tun des facteurs du premier membre. Soit x-^b ce facteur 5 en divisant par x-f^by on aura

A (ar+c) (X'\^d). . . = A (ar+c') (^+cf) •••}

. et en poursuivant le raisonnement on arriv^era à conclure que les 772 facteurs simples du second produit sont les mêmes que ceux du premier.

372. Dans latbéorie des équations, quand il s^agîra du pins grand diviseur commun h plusieurs polynômes ;i entiers relative* ment à x^ il faudra toujours entendre que les facteurs simples de la forme jr+a, ar-j-^j» • •> qui sont communs à ces polynômes, ont été multipliés entre eux pour composer le plus grand commun diviseur, lequel pourra contenir en outre un multiplicateur quelconque indépen'dant de x. La présence de ce multîplicateor est d'ailleurs tout-à-faît indifférente : car ordinairement on ne considère ce commun diviseur que pour en déduire les valeurs de X qui le rendent égal à zéro , et un multiplicateur indépendant de .r ne peut en aucune façon changer ces valeurs (6g}.

: La dëtennination de ce commun diviseur pourrait être tout-à- ! iait assimilée à celle des nombres. Il sera inutile de tenir compte des facteurs communs indépendans de x, et on admettra y si on veut, des coefficiens fractionnaires dans le calcul. Cependant il 1 sera en général plus simple de les éviter, en introduisant ou en f supprimant des facteurs dans les divisions partielles. A la vérité , les résultats qu'on obtient par ces diverses manières de procéder différeront entre eux par des multiplicateurs ou des diviseurs indépendans de X ; mais on vient de dire que cette circonstance ne doit être ici d'aucune considération.