CHAPITRE XV

Composition (Tune équation algébrique quelconque à

une seule inconnue.

Xhéorème fondamental dont Vohjet est d'établir que toute équation

algébrique a une-racine.

373. Les équations algébriques à une seule inconnue sont celles qu'on peut réduire à la forme

Ax'»4-B^'^'"*+C^'"""'« • • 4-Ga:-4-H = o,

X étant l'inconnue, m un nombre entier positif, et A, B , G,. • • des quantités connues quelconques. L'exposant m est le degré de Fcquation. Pour la simplifier encore davantage, on la divise par le premier coefficient, et on Fécrit ainsi :

P, Q, • . • T, U, étant encore des quantités connues.

338 LEçoHs d'algbb&î.

Il n'est pas évident à priori qu'il existe toujours une quui«tité réelle ou imaginaire qui, mbe dans cette équation à la plaoe de X, rende le premier membre identiquement nul. Ainsi, à parler rigoureusement , une démonstration est nécessaire pour établir que cette équation a toujours une racine; et j'ai pensé que le lecteur me saurait gré d'exposer ici celle qu'a donnée M. Gaucht dans ses Exercices de Mathématiques. Cependant, comme elle ne laisse pas que d'être assez épineuse , s'il jugeait à propos de la supprimer et d'admettre le théorème comme évident , alors il devrait passer immédiatement à la composition des équations p. 349*

374. Avant tout, il faut observer que le mot imaginaire^ pour avoir ici quelque sens, doit désigner une expression algébrique sur laquelle on sache effectuer les opérations indiquées dans l'équation. Or, comme nous n'aurons à considérer dans la

suite que des quantités réductibles à la forme a+AV^-^i, a et b étant des quantités réelles , je restreindrai désormais la dénomination de quantité imaginaire aux seules expressions de cette forme.

Avec les quantités at\. b qui entrent dans l'expression imaginaire fl+JV — I, on peut former une quantité positive égale à Va^'^'b^ : cette quantité est dite le module de l'expression imaginaire. Par exemple > le module de 3— 4^'-"i serait ^al à V g-(-i6 ou 5.

Deux quantités, telles que a-^bV — 1 et a^-bV^^, quinedifferent entre elles que par le signe de la partie imaginaire , sont àïies conjuguées Vxme. de l'autre. Deux quantités conjuguées ont donc le même module.

Si on fait 6=0, l'expression a + b\/^ se réduit à a. Ainsi la formule

est propre à représenter toutes les quantités^ soit réelles, soit imaginaires. Lorsque la quantité est réelle, elle a pour conjuguée une quantité égale, et le module n'est autre chose que cette quantité elle-même, abstraction faite de son signe.

^ Je vais maintenant établir quelques lemmes dont nous aurons I besoin.

875. Lemme 1*^. La somme ou la différence de deux quari'^ il tés quelconques a un module compris entre la somme ei la dif» \ férence de leurs modules.

^ Soient les deux expressions

. En appelant r et r' leurs modules, on a

1 Nommons R le module de leur somme, on aura évidemment

Mais, en multipliant r' par /^*, il est facile de voir que

r^F^*=a*i/* +b*l/*+a^l/*'^a'*lf*

z=:.{aa' -^-biy+^aU^bay ,•

donc la valeur numérique de aa'-^^bb' est inférieure ou tout au plus égale krr' '^ et par suite il est clair que R* est compris entre les deux quantités

ouy ce qui est la même chose, entre

{r'\^Y et ir^r^)^.

Donc le module R est compris entre la somme et la difierence des modules r et r^. La démonstration est exactement semblable,-

g lorsqu'au lieu de la somme des expressions imaginaires on consi-

. dère leur dififérence.

376. Lbhmi II. Le produit de deux quantités a pour module le'procbuit de leur$ mçdufes.

Ho LEÇOIfS D*ALGÈBIIB.

En effet, la multiplication donne et si on prend le modale de ce produit, on trouve

résultat conforme à Fënoncé.

Corollaire i". Donc le produit d'un nombre qudconqae de facteurs doit avoir pour module le produit des modules de tous les facteurs.

Corollaire a*. De là, en supposant tous les facteurs égaux entre eux et leur nombre égal à n , on conclut que la 7i*"« puissance d'une expression imaginaire a pour module la /i^^ puissance de son module.

377. Lemme III. Pour qu^ une quantité de la forme a-f-bv — i soit nulle , il est nécessaire et il suffit que son module soit égal

à zéro.

En effet, a et ^ étant des quantités réelles, supposons qu'on

ait

Comme la partie réelle a ne peut pas détruire la partie imaginaire bV '^i 7 il faudra qu'on ait séparément âssso el frsso; donc

\/fl?+7^=o,

c'est-à-dire que le module de la quantité a-^^^bV — i doit être zéro. Celte condition suflit évidemment, car ^ et ^ étant des quantités réelles, leurs carrés sont des quantilés positives et la somme à*J^b* ne peut pas être zéro à moins qu'on ait a=o et ^sso. Corollaire. Il est manifeste qu'un produit de plusiean <puuitités réelles ne sera pas nul si aucune de ces quantités n*est ^jÊÏt à zéro. Mais quand il y a des facteurs imaginaires, il n'est pas évident qu'après la multiplication les termes du produit ne puissent pas s'entre-détruire sans que cela arrive dans l'an dm fiie-

LBÇ09S DVLOiBBE. 34l

tears. Or voici comment oa démontre que dans ce cas encore il faut qu^un facteur soit zéro.

Pour que le produit soit nul , il faut que le module de ce produit soit nul. Or, le module est le produit des modules des différens facteurs (3;^6) ^ et comme ces modules sont des quantités réelles, leur produit ne peut pas devenir zéro à moins qu^un d^eux ne le soit. Mais alors le facteur auquel correspond ce module doit lui-même être nul; donc en général le produit de plusieurs facteurs ne peut pas devenir nul à moins qu^un des facleun ne soit nul.

378* Lehmb IV • Soû un polynôme X de la forme

X ssx- —Px*»-» —Qx»»-». . .— U,

dans lequel tous les termes qui viennent après le premier ont des coefficiens essentiellement négatifs • Si on fait croître x positif vement au-delà d'une certaine limite ^ les valeurs du poijrnême X seront continuellement positii^es et croissantes , et pourront devenir aussi grandes qilon voudra.

On peut écrire X comme il suit <

X=sa::»( 1 — -^.. . — — J.

Alors, si on fait croître x positivement, on voit que les termes uë* gatifs compris dans les parenthèses iront en décroissant et qu*ou pourra rendre leur somme aussi petite qu'on voudra. Une fois que X aura atteint une valeur a qui rendra cette somme m^feidre que I , il est clair que la quantité renfermée entre les parenthèses sera positive et croissante. Elle ne poun*a point surpasser Funité , mais elle en pourra différer aussi peu qu^on voudra. D*un autre c6téy le facteur x^ va aussi en augmentant et peut surpasser toute limite $ donc , à partir de a; = A , on est sûr que X doit croître positivement jusqu^à Tinfini.

Remarque, Le nombre des termes négatifs de la parenthèse est en général ^al à m , mais il peut être moindre parce que quelques uns d'entre eux peuvent être nuls. Soit n le nombre des termies rcsttns f et posons les égalités

34^ LEÇONS D'ALCiumE.

on en tirera ces valeurs de x ,

x=znPf a:= V'/iQ, ... xs=\/nU

et il est clair qu^en faisant x égal à la plus grande de ces valcnrf ; le polynôme X sera positif. Ainsi, on pourra prendre A égal à cette valeur.

379. Procédons maintenant à la démonstration du tliéorcme fondamental que nous avons en vue.

Théorème. JJne équation de degré quelconque , à coefficiem réels ou imaginaires , a toujours au moins une racine.

PremiIere partie. La démonstration générale exige que Ton considère d'abord le cas particulier de Féquation bin&mc. Supposons cette équation ramenée à la forme

a et ^ désignant des quantités réelles qui peuvent être nulles , ensemble ou séparément. Il s^agit de prouver qu'il existe une valeur

dear, de la formç a+i v — i, propre à vérifier réquation cidessus.

. Lorsque le degré m est égal à une puissance de a , la détermination de X revient à extraire de «+P^"^' plusieurs racines caCftf|B successives. Or , on a vu (269) qu'on parvient toujours ' à exprimer ces racines sous la forme a+ ^ v — i .

Lorsque le degré m est un produit de facteurs égaux à a et d'an nombre impair quelconque , la détermination revient à extraire

de a+pV' — I plusieurs racines carrées successives, puis à It fin une racine de degré impair. Les racines carrées pouvaDt toutes s'exprimer sous la forme a-\'bV — i, il reste à examiner s'il est possible de représenter la racine de degré impair par une quantité de la même forme. Or, il est évident que cette question sera résolue, et que le théorème sera démontré à Tégard de Féqoa* tion binôme y si ou prouve que m étant impair , il existe tncoie

LEÇ09S d'algèbre. 343

une valeur de âr propre à vérifier l'ëquatioii ^aaa+P^— *• tel est Tobjet des raîsonaemcns suivans.

La vérité de la proposition se reconnaît facilement cjpiand Fnne des quantités a et ^ est zéro. D'abord , si ^sso, Téquation bin&me se réduit à

et y quel que soit le signe de «, le radical d'ordre impair xssVm doit avoir une valeur réelle, laquelle est racine deFéquatîon. Si «= o y l'équation binôme se réduit à

Alors , en posant x = a/r — 1 9 on aura or* as ^a/* Y — i ( on doit prendre + ou — suivant que m est un multiple de 4 s^ug" mente de i ou de 3). Par suite l'équation devient a:''"=ihp. Or

cellc-'ci'a une racine réelle 5 donc l'équation x'^ss^y-^i en

aura une de la forme x = bV — i.

Considérons les cas où. ni 1» ni ^ n'est égal à zéro. En mettant tous les termes dans le premier membre, l'équation sera

a-i»^(^^pV^Zr7)Œ0,

ou^ plus simplement ,

X=:o, en posant

Si on remplace x par l'expression

xzs^a + bV^y X se transformera, en une expression semblable

X=A+BV^^

A et B étant des polynftmes entiers en a et &, dans lesquels V — i n'entre point. Dr -, je vais prouver qu'il existe des valeuit réelles

dt a el b qui font évaaouir le module ï/A'+B! de X.

344 LEÇOHS D^ALGÈBEE.

Représentons par f , «^i Y^ les modules des quantités de telle sorte qa'on ait

Par le lemme II (cor. a«), on sait qne le module de ar* sera p*} et» d'après le lemme P', le modnle Y de X ne pent être inférieur à la différence entre w^ et p. Donc | en choisissant x de manière

qu'on ait v^ > 2p ou i\;> V^2p , on devra avoir V>2^— ^ ou

Au contraire , on aura V < f si on prend 6 = o et a"* = a : car alors la valeur de a:^ se réduit à «"• ou a , et par conséquent

donc V' = p»5 donc Y'<a' + /8' ou V<f.

On apprend par là qu'en faisant varier a et 6 de toutes les manières possibles , la plus petite valeur que puisse prendre le module Y sera moindre que p. Et il faut bien remarquer que cette valeur minimum ne doit correspondre ni à la valeur de x dans

laquelle a et ^ seraient zéro, car alors on aurait Y = Vu * -|- P" =p^ ni à une valeur de x dans laquelle a ou b serait infini | car alors on aurait V==co .

Soit X = c une valeur quelconque réelle ou imaginaire de x , mais assujettie à ces dernières restrictions. Supposons que la valeur correspondante du module Y ne soit pas zéro : désignons-la par Y' , et par C la valeur correspondante de X » laquelle doit aussi être différente de zéro. Si on pose

a:=:c4-z, et si on fait attention qu'on a

le polynôme X deviendra

Dans ce détdoppenieiit la somme da deux premieit termes i^é-

Yanouit en prenant

Désignons par i une quantité podtire 9 qu'on pourra choisir aussi petite qu^on voudra, et faisons

les deux premiers termes du dëyeloppement deviendront G (i— 0? et y en mettant G en facteur commun , on pourra écrire

X=G(i^i+/t*+/t^ + etc.),

fi f'% * • • ^^^°^ ^^ quantités de la forme or^by — 1 . ^. Si on appelle 4 le module de la quantité qui multiplie C , on aun^our celui de X, en vertu du lemme II y

D'un autre c6té, puisque i est une quantité réelle ^ si on nomme cp, ç'i... les modules dey*,y, ... ceux des quantités i — •,/«% /"i*,... seront i—iy 91*, cp'i*,...^ et , en vertu du lemme I", le module ^ ne devra point surpasser

I — i+9i*+(p'i'+ etc.

En mettant cette quantité sous la forme

I — • (1— cpi — 9'i* — etc.),

on voit que, pour de très-petites valeurs de c, la quantité entre parenthèses est <^i. Par suite la quantité ci-dessus , tout entière , est elle-même <C^i\ donc alors on aurait <|) <^ i et V <^ V.

Ainsi y lorsque Y' n'est point zéro, on peut choisir x de manière que le module Y deX devienne inférieur à Y'. Donc la plus petite valeur de ce module ne saurait différer de zéro. Or, la valeur dex qui donne Y=:o est racine de Féquation Xc=oj donc enfin Féquation hinftme admet toujours une racine de la forme

346 UlÇOItt D^ALGkBUI.

SEGoimi PAETiK. Aotuellement soit Tëquation g^Snérale

dam laquelle P, Q, R, etc. sont des quantités quelconques, réellei ou imaginaires , de la forme a-f-6 ^— i . Posons encore , pour abréger ,

X= *"•+ P«*-'+ Qj:"-?+etc. j puis remplaçons x par la valeur

U viendra un résultat de la forme

A et B étant des polynômes en a eth où k — i n'entre point; et pour que Féquation [A] soit vérifiée, il faut et il sufEt que Iffm»*

dule V A'-|-B' de X soit zéro (377). Or, Fobjet des explicatiooi suivantes est de prouver quUl existe en effet des valeurs réelles de a et ^ qui doivent anéantir ce module. '

Représentons par p,p',^^,.«. les modules des coefficîens P^Qy R,etc., par v le module de Texpression «=:a-4-6 l^— 1, et par Y celui de X. En vertu du lemme II, quand on substitue a-^bV — I à la place de x , les puissances af^^ a:**"*», x*~*,.m ont pour modules f/*, t;*"^', v*»— •,... 5 et les diSérens termes

ocf^j Va^^^j Qx"- % Rar~~^ etc., qui composent X, auront pour modules

\^y P»''^S fV"»-% f"v^^f etc.

Donc , par le lemme I*% on est sûr que le module du polynftae

Px^-i + Qa-»- » + Rx~-? + çlc.

ne devra point surpasser ia somme

f w^^î + p'»''^* 4- p*v"^? + etc. ;

LEÇOHS D*ALGEBâI. 347

et quci par suite f le module Y du polyn&me X ne devra point èlre inférieur à la différence

[l] li« — pt^»— «— -p'ym— * — p^'i;»»— 3— etc.

^' On suppose cette différence positive , autrement il faudrait la prendre en signe contraire.

En donnant à v des valeurs de plus en plus grandes , à partir d^une certaine limite, on sait que l'expression [i] sera constamment positive et croissante jusqu'à ^^infini (378). Par conséquent le module V, qui ne doit jamais être au-dessous de cette diffiérence, peut lui-même acquérir des valeurs plus grandes que toute limite.

Si on attribuait une valeur infinie h a onk ùy le module v de

X serait infini. D'après ce qui vient d'être dit , l'expression [i] le

serait donc aussi , et par suite le module Y. Mais tant que a

4 et ^ n'auront point de valeurs infinies, il est évident , par la na-

^1 ture même des polynômes A et B , que ce module ne devra pas

t, devenir infini. De là il suit que^ s'il ne peut devenir zéro par au-

j cune valeur de x y on est au moins assuré qu'il en cxbte une ,

formée avec des valeurs finies de a et 6 , qui donne pour Y une

.; quantité au-dessous de laquelle il ne pourra tomber aucune autre

' valeur de ce module. Toute la question se réduit donc à prouver

^ que ce minimum n'est autre que zéroé

Soit xssc une valeur particulière de x , laquelle peut être rédle ou imaginaire ; soit G la valeur correspondante de X , laquelle est supposée différente de zéro ; et soit Y^ le module de G. Si on prend pour x une valeur x^s^c^^Zy différente de c, il an résultera pour X un développement tel que

[2] X=G+C';s+iGV+etc.,

Admettons d'abord que G' ne soit pas zéro, et prenons

f ëtaurunè quantité positive qu^on peut choisir aussi petite qu'on Teut. L'expression [2] pourra s'écrire ainsi

X«C(i— i+Zi^+Z'^'+ctc.),

3^ tiçmrs d^algIiu.

j^/'i. . . étant encore des qnantiuSs de la forme « + 41/'— i. On pourra donc reconnaître ici, comme à la page 345^ qoedé Taleurs très-petites de c rendront le modale Y^ Y^.

Admettons à présent que, dans Texpression [a] , G^ soit séro, et qn^à partir de ce coefficient le premier qui diffère de zéro soit celui de or". En le désignant par Ci, et les soivaiu par d, G 3 y etc., Texpression [2] sera simplement

[3] X = C+CjZ''+Cs»+» + etc.

Si on pose 1 égalité

Z'^rs

la quantité — rr pourra se ramener k la forme a +Al/^^, el

Ton sait) par ce qui a été dit pour le cas de Téquation bioAmei qu^il existe une vsdeur de z propre à vérifier cette ^pilité. Ifommons s' cette valeur et prenons

xf

f étant encore une quantité positive aussi petite qn^on voudra* En remarquant que z'"=i fr-» Fexpression [3] se changera en celle-ci

X=C(i— •'•+/,i«+"+/ai»+'+etc.)t 4ans laquelle/*!, /*«,..• désignent toujours des coefficiens de b

forme a+* ^ — ' •

En raisonnant encore comme à la page 345 déjà citée , on voit évidemment que les très-petites valeurs de c rendront le module de l'expression ci-dessus moindre que celui de G , c*est-à-<lire qa*0B auraV<V^

Ainsi y lorsque Y^ n'est point zéro , on peut toujours choisir x de manière que le module Y du polyn6me X soit moindre qœ Y' . Donc la plus petite valeur de Y ne doit point différer de aeéro; et par conséquent la valeur de j? à laquelle correspond ce mû»mum est une racine de Téquation [A]. Sans assigner ici la valev de cette racine, et sans examiner sll existe plusieurs valeurs its qui puissent donner Ys»o , on n'en peut pas BM>ins oondnre vm

I ctrtltncle qa^une équation de degré quelconque f à eo^Jiamis r^eb ou imaginaires , a toujours au moins une racin0 de la forme

Composition det équations*

f 38o. Théorèmi. Si une^quantité a est racine cCune équation , le f rentier membre de cette équation est exactement divisible par le binôme x— a*

Dans cet énoncé, on suppose que TéquaUon est de la forme

[A] a:«-|-Pa:~-«+Qaf—». . .+Tx+U=o.

Pour abréger, je désignerai son premier membre par X , de sorte Z^ que Féquation $era elle-même dc^ignée plus simplement par

Divisons X par x — a : comme le diviseur est du premier de- ' gré , on pourra pousser l'opération jusqu'à ce qu'on trouve un

reste qui ne contienne plus x» Nommons Y le quotient et Z le

reste^ on aura

dJ af'+P j:«-«+ Q ap'»-«+ eto.= (^— n) T+ Z.

# Si on fait «8=a , )e produit («—-a) Y sera nul : car x^^a devient zéi30 , et Y ne peut pas devenir infini attendu que x n*jr entre pas ea dénomiuaieur. D'ailleurs Z ne change pas, puisque x n'y entre

Bi pas ; donc Tégalité précédente se réduit à

fl"-^ P a"^'4- Q û'*-*^ etc . = Z.

É De Ik on tire cette conséquence remarquable que, quel que soit n, f le resté Z ile la division de X par x-^d s'obtient en changeant

xen a d^nsX. Donc, lorsque a est racine de l'équation X==o, - I le reste Z sera nul ; donc alors X est exactement divisible pa^

Au{re démonstration. Quelle que soit la quantité â, le polj-

nônie X peut s^écrire ainsi :

3So LEÇ0V8 D*ALQEBBK.

La première ligne contient les différences etc., lesquelles sont tontes divisibles par .r -— a; donc la seconde lif^ne est le reste indépendant de x qu'on doit obtenir en di- YÎsant X par x — a. Or, il est évident que ce reste n'est autre chose que le résultat de la substitution de x au lieu de a dans le polynôme X^ donc, lorsque a est racine de Téquation X=:o, le polynôme X est divisible par x — a.

Remarque, Par cette dernière démonstration , on voit aussi que pour avoir le quotient de X par x — a il n'y a qu'à diviser a:*— û*", a"*—* — «"•—', etc. par x — a, et à ajouter entre cnx tous les quotiens, après avoir multiplié le 3' parP, le 3* par Q, clc. Ces divers quotiens sont faciles à former , et il vient