Pfl +Q

• • • • -J-Pa' ..-i-Qa

Au reste, tout ce qu'on vient de démontrer dans ce n® était déjà connu (53).

38 1 • Théorème. Un polynôme'^ de îaferme x'"-|-Px"«^» -f"®^-» est toujours le produit de m facteurs simples tels que x— », x— b, etc. Par suite V équation X= o peut avoir m racines^ d jamais davantage.

Ici on suppose admis que toute équation algébrique a au moiui une raciue réelle ou imaginaire* Soit donc a une racine de l'équation X=o; le polynôme X doit être divisible par «—a <38o), k premier terme du quotient sera évidemment x"^*y et en détignaut ce quotient, d'une manière abrégée ^ par a:'**^'-4» etc. » on aura

X=(«— a) (x"»-'4-etc).

Puisque toute équation a une racine, il existe une yaleur b qui, mise à la place de Xy anéantit :r"^'-|-eto« ^ donc ce facteur dt * divisible par «-«-* b ; donc, si on désigne le quotient par x"*^ [letCi on aara ar*-*+ctc.sB (*— ftXa^'^+eic.), eljpar fuite

LIÇORS D*i&QiBRS. 35 1

En répétant le même raisonnement, on décompose le polyn&me x''"~"'+ etc. comme on a décomposé le précédent a:^— '-j-^'^.j el en continuant ainsi , chaque opération mettra en évidence un nouveau facteur du !*>" degré en même ten^s qu'elle diminuera d'une unité le degré du dernier quotient. On arrivera donc enfin à un quotient qui lui-même sera du i'^ degré, et dont le premier terme sera x. Par conséquent, si on désigne ce quotient par x — /, le polynôme X sera décomposé en m facteurs comme il.suit :

X={X'^a){x — fc)(j:— c) . . .{x — /).

A quoi il faut ajouter que les binômes x-^a^ jr-— &, etc. étant des ûicteurs premiers, dans le sens expliqué n" 371 , il n'y a aucun autre système de facteurs premiers qui puisse reproduire X. Ainsi, OQ est sûr qu'aucun binôme nouveau x— • a ne peut être un diviseur de X.

Corollaire, La possibilité de la décomposition précédente étant établie, on reconnaît sur-le-chàmp que l'équation Xs=o doit avoir iti racines; car son premier membre devient nul par chacune des valeurs xssza , x^=:b , x=c^ • • • x=L De plus, die ne peut paa avoir d'autres racines ; car s'il en existait une nouvelle, « , le binôme serait un nouveau diviseur de X , ce qui est impossible (*).

(*) On peut éviter la considération des facteurs premiers en observant que si on remplace x par une quantité et différente de a, de ^y ... de/, il n'est pas p«t possible que X devienne zéro, puisqu'ancua de ses facteurs ne s'anéantit; doac l'équation X ss o n'a point d'autres racines que a, &> . • . /.

Donc aussi, X ne saurait être divisible par un binôme or— «, différent de x — a, de X — b, etc. Car si cela était, X deviendrait xéro en faisant x ssa, et par conséquent te serait une nouvelle racine de Féquation X =s o.

Ce raisonnement est fondé sur ce qu'un produit ne peut pat être nul lon- ^'ancnn de ses facteurs ne l'est. Cette assertion, ainsi qu'on l'a d^à reoiarqûé dans le ccroll. du n? 377, est évidente d'elle-même quand les facteurs sont rée1t« Hais ici les lettres x, a^ b , c, ... peuvent représenter des quantités inia^naircs , et il n'est plus évident que les tenncs du produit ne puissent point le détruire entre eux sans que cela arrive dans l'un des fiicieurs. Par cette lai- Mm,1a démonstration du texte doit être préférée, k moins qu^on ne veuille t'appuyer sur le coroUaîre qu'on fient de citer.

35i LBÇOirf D'ik&okeii.

Remarque. Si quelques nnes des qnantiUf a » 6 ^ c, • • • mm ^ales entre elles , il n*y a plus alors m yaleurs différentes dex qui Térifient réquation. Cependant on est convenu de coondcnr toujours le degré de Téquation comme indiquant le nombre ds racines; mais alors on sous-entend que plusieurs de ces rachs peuTont devenir égales. Ainsi , en supposant qu*il y ait dans Féquatîon a facteurs égaux à x — a , on dira que parmi les radnci il y en a « qui sont égales à' a.

382. Théorème. Dans toute équation ramenée à Informe or» dinaire^ les coefficîcns sont composés avec les racines a, b, €,•.. ainsi qi^il suit s

Le coefficient du 2* terme ^ pris a\^c un signe contraire^ est la somme des racines ;

Le coefficient du 3* terme est la somme des produits des rscines multipliées deux à deux $

Le coefficient du 4* terme , pris avec un signe contraire^ crt la somme des produits des racines multipliées trois à trois^

Ainsi de suite , en ayant soin de changer les signes des eoef' Jiciens de termes de rang pair;

Enfin , le dernier terme y pris avec son signe ou avec un s^flt contraire^ suivant que le degré de F équation est pair ou impaif) est le produit de toutes les racines >

On sait (212) que dans le produit de plusieurs binômes tdi que x-^Uy X'^'by ar-f-c, • . . le coefficent du a* terme est ^al à U sonune des seconds termes des binômes , que le coefficient da 3* terme est égal à la somme de leurs produits deux à deux 9 etc. Or y on a yu tout à Theure que dans une équation de la fonte ar^-l-Px^^'^"^^^* ^^^ ^^ premier membre est composé de mfiwteurs simples ar«— a, x — b y x — c, etc. , et que les quantités «1 byCy etc. sont les racines de cette équation. On pourra donc ippliquer ici les règles qu'on vient de rappeler | pourra qu^oniit soin d'y remplacer a, 6, c, . • • par —a, — A,— c,. • • c'esl-à-difCy par les racines elles*mémes, prises avec des ugnes eontraires. Se là résulte le théorème énoncé.

383. Remarque. Il semble, au prenner coap*d^œil| que ctf relations pourront faire conndtre les racines. En effets ellisdoinent sur-le-champ des équations, dans lesqndles entrant M

LCÇOKI D*iLLGSB&E. 353

acines , et qui sont en nombre ^al aux coefficiens de Téquation abstraction faite du premier terme dont le coefficient est Funité). le le nombre de ces coefficiens est égal, au degré de Féquation ; insi on aura autant d'équations que de racines inconnues. Mais nalheureusement , quand on cherche à les résoudre, on est oujours ramené à Féquation proposée elle-même , de sorte que a question ne fait aucun progrès* Pour plus de simplicité j je prendrai Fcquation du 3* degré

In déUgpant les trois racines par a, ^, c, on aurait, pourxléter«v niner ces racines y les trois relations

?=:—«— 6— c, Il = — a&c*

?our en déduire une équation qui ne contienne plus que la seule nconnùe a y le procédé le plus simple consiste à multiplier la i" )ar a* y la a** par a, et à les ajouter ensuite ayec la 3*, membre à. nembre. Il vient d'abord

p^« 4- Qa+Ti =: — fl3 a>^ a%c

+ a*i + a^c 4* abc -^abc^

)ub y en effectuant les réductions et transposant a^y

a^+Pa'-j-Qa+Rssa.

Les inconnues i et c sont ainsi éliminées y mais on arrive à une équation tout-à-fait semblable à la proposée y et dont la résoluion doit par iconséqucnt offrir levâmes difficultés.

II en serait encore de même de Téquation qui ne renferme que b ou c. J)n effet, si au lieu de mnltîplier les deux premières équaions par a* et Oy on les multipliait respectivement par b^ et par 6, >u bien par c* et par c , et si ensuite on les ajoutait avec la 3% >n obtiendrait ces équations,

b^J^Vb^ + qb-^^VizsiOy c3+Pc' + Qc+R=aoj

354 LEGOKs d'algebrc.

et Von yoît qu'on est toujours ramené à des ëquations semblables à la proposée.

On pourrait croire qu'en cbercbant quelqu'autre procédé d'âimination , il seraitqpossible de parvenir à une équation d'une résolution plus facile. Mais voici un rabonnement qui doit convaincre du contraire. Les trois inconnues aj 6, c, entrent de la même manière dans les trois équaUons , de telle sorte que ces équatbm ne changent point quand on fait entre Oy b^ Cy telle permûtatioa qu'on voudra. Dô là il suit que les mêmes calculs qui conduisent à Téquation finale en a doivent se répéter pour avoir l'équation «finale en 6 ou en c, avec cette seule différence qu'on remplacent partout a par b ou par c. Chacune de ces trois équations finales doit donc à elle seule déterminer les valeurs des trois racines de Téquation proposée [i] , et par conséquent aucune d'elle^ ne sait* rait être différente de cette équation elle-même.

On arrive. encore plus rapidement à cette conclusion en observant que chacune des lettres aj b ^ Cy représente indifféremment telle •racine qu'on voudra. Donc, lorsqu'on aura trouvé par un moyen quelconque une équation qui ne renfermera plus que </, ou ^, ou c^ elle devra déterminer pour valeurs de cette inconnue les racines mêmes de Téquation proposée , et par conséquent être toute semblable à cette équation.

Obtcrvalions auxquelles donnent lieu les racines imaginaires,

384- On suppose ordiu&irêment que les coefficiens des équations algébriques sont réels ^ mais on atteindra une plus grande généralité en les considérant comme représentant des expressions de la forme a-^-bV — i, aetb étant des quantités réelles : car cette hypothèse comprend la première ^n faisant Z> = o. Dans le n* 379, c'est en donnant aux coefficiens ce degré d'étendue, qu'il a été reconnu qu'une équation algébrique a toujours au moins uge racine

delaformea-f-^K—i, réelle ou imaginaire; et maintenant je veux faire remarquer qu'en admettant cette proposition commi démontrée, les m racines de Féquation X= o ou

[A] :t:*-t-P:r'»-'-l-Qx«-'-t-etc.=o

IiEÇOKS D^ALGÈBRE. 355 >

doivent toutes avoir la même forme a-^lV-^i .

En effet, soit x =/i4-*V^ — i la raciif.e dont rexîstencc est démontrée. On sait que le polynôme »^+^*c. est divisible par

X j^{a'\'bV — »i). Or, quand on effectue cette division, les quantités « + ^V — ï? P> Q, etc. ne peuvent se combiner que par addition, par soustraction, et pat* multiplication 3 donc le quotient

jfTO— ï «^ etc. aura encore tous ses coefficienade la formé fl-j-^V^— ï. Par suite , l'équation jf"*"~' + ®^' = o ^^^21 aussi au moins une racine a '\'VV — i de cette forme, et en divisant le polynôme ^m-^i^etc, para: — (ûi'+i'K — 1), les coeiïïciens du quotient a:»»— '-{-etc. seront encore de la même forme. En continuant de raisonner ainsi, il est clair que le polynôme primitif X se trouvera

décomposé en m facteurs tels que a: — (éz+^v — i), et que par conséquent Ijbs racines de l'équation seront toutes de cette forme. 385. Si on considère deux équations conjuguées ,

• ti] " jr4.Zt/=ï=o, [2] Y-zy~=io,

qui ne diffèrent que par le signe de ZV — i, et dans lesquelles Y et Z sont des polynômes en x dont tous les coeffîciens sont des nombres réels \ les racines de Tune seront les quantités conjuguées des racines de l'autre. En effet, soit x^a^^^bV — i une racine de l'équation [i], et soit Ï'+Z' V — i le quotient de son premier membre par ar— a — b V^^i ^ on aura identiquement

[3] ( Y'+Z' V/=T) (AT— û-i V/^)=Y+Z V~i.

En effefltuant la multiplication indiquée dans le premier membre, on trouve le produit-

(x-a)T^bZ'^[{x^a)Z-br;iV~i=X+ZVpi.

Or, en changeant dan» les deux facteurs Z en — Z et («q «m J,

356 LEÇOVI D*M.GiEBEI.

on voit que, dans le produit^ la partie qui ne conlient pas V^iri reste la mime , et que celle qui contient V — i change f eolemen' de signe; donc, par cela seul qu'on a l'^alité identique [S], on doit aussi ayoir

[4] (Y'— Z' V^x) (x— fl+i V^=T) = Y— Z|/=7.

De là on conclut que x^za^^b ^— i est racine de TéquadoB [i] : c'est-à-dire qu'on obtiendra toutes les racines de cette équation [2] y en changeant le signe de VZ—i dans cdles deTéquation [i].

Si on ne fait attention qu'aux racines réelles , cette condusioD montre qu'elles sont les mêmes dans les deux équations.

386. Une particularité' remarquable se présente lorsque les coefficiens P^Q, R, • • • sont réels : c'f st qu'alors l'équation ne peut

pas avoir une racine imaginaire a-4-^v — i sans en avoir nne seconde ' égale à a-— ^K — i • En effet , supposons .qu'après avoir divisé X para: — a— 6r — i on réunisse tous les termes du quotient qui contiennent V — i , et que ce quotient soit niprésenté pv

y+Z V^--T, de telle sorte qu'on ait [5] X = (Y+ZV'~,)(x — a — èV'^.

En effectuant la multiplication, le produit pourra s^écrire ainsi : [6] X=:(*~û)Y+6Z+[(*— o)Z — iY]V/.IT.

Mais puisque X est un polynôme qui ne contient pas V~\ , I*

partie qui, dans pe produit, multiplie V — i, doit s'anéantir décile* même j donc on doit avoir, simplement

X=(a:— fl)Y+6Z.

Maintenant, dans les deux facteurs de l'expression [5] chaiH geons Z en — Z et 6 en —6. Pour avoir le nouveau produit , 3 suffira de faire les mêmes cbangemens dans Texpression [6], et ptf

LEÇONS D'ALGilII. 357 •

là elle ne subit pas d'autre altération que celle du signe de la

partie affectée de y — r. Or, on Tient de voir que cette partie est nulle d^ellc'-mênie ; donc^ on retrouve encore pour produit le polynôme X. Ainsi Ton doit avoir

X= (Y— Z VII7) (^— a+6 V'^Tj;

donc la valeur :r=a— & V — i est racine de l'équation X=:o,

U suit de là que les racines imaginaires de cette équation sont

^n nombre pair et peuvent se grouper par couples de la forme

•X'=^a±Lb V — I. £n multipliant entre eux les deux facteurs du 1 *^ degré; correspondant à un tel couple, il vient

• Ce produit est un trinôme réel du a* degr^, c*est*à?*dire| que ses coéfficiens sont réels.

Ou peut donc regarder comme démontrée cette belle proposition : Qu'une équation algébrique à coéfficiens réels est toujours composée (Fautant de facteurs réels du !•' degré qiCelle a de ra* cines réelles , et ajoutant de facteurs réels du 2*, qu*elle a de couples de racines imaginaires.

358 LEçovs p'algebbe^