CHAPITRE XVI

Transformation des équations. Recherche des diviseurs. Théorie des racines égales.

7*ransformation des équations,

387. Gonsidcrce dWe manière générale, la«transfonnalioii des ' équations a pour objet de déduire d^une équation donnée une nouyellé élquation dont les racines aient avec celles de la première une relation connue. Les questions suivantes^ quoique fort sknplet, suffiront pour comprendre le but de cette théorie et les procédéi qu^elle emploie.

Question I. Une équation étant donnée f changer les signes de ses racines.

Par là on veut dire qu'il faut trouver une équation dont les racines soient celles qu'on obtiendrait en changeant les signes des racines de Féquation donnée 5 donc, si on appelle x l'inconnue de l'équation donnée, et^ celle de l'équation transfdrmée , on devra avoir .r = — jr. Ainsi il faut remplacer x par — jr dans l'équation donnée. Il est clair, en elTet , que si une quantité a est racine de l'une des deux équations , la quantité — a sera racine de Tautre.

Soit l'équation donnée

[A] oC^'-^Px^-^ +Qa:'»-'4- etc. = o.

Après la substitution, les coefficiens seront évidemment les mêmes, avec cette seule -différence, que ceux: des puissances impaires de l'inconnue auront des signes cçntraires. Si m est pair, le premier terme de la nouvelle équation sera donc j*", et si jw est impair, il sera — j"». Mais comme il est permis de changer tous les signes

LEÇOUS D*JU.«EBUE.. 35gf

de l'équation , on peut dans ce dernier cas rendre le premier, terme égal h y^^ et alors ce seront les coefficîens des puissances paires qui prendront des signes contraires. Par exemple, si l'équation est

la transformée qui aura les mêmes racines, mais de signes con^

traires, sera *