Question II. Former Véquation dont les racines soit
réciproques de celles d'aune équation donnée
[A] a:'«+Pa;'«-'+Qa;^-». . . +Ta:4-U= o.
Deux quantités dont le produit est i sont dites réciproques l'une de l'autre. Ainsi les racines de l'équation [A] étant c, b^ c,.,.
celles de la transformée doivent être -, 7 ,-,••• : par con-
abc "
scquent il suffira de changer dans- [A] -x en >. Par là il vient
' , P .. Q . T , TT 1-— — •-H-' , » . * -H— -HUssO,
.2?"* Ol"*'~'^ JL'"^'~' X
OU bien, en multipliant parx^, divisant par U, et renversant l'ordre des termes,
«A> ^I^TT . • • "fT**" I TT*^ ^1^ TT ' ' ^*
389. Question III. Multiplier par une quantité quelconque Il les racines d'une équation donnée
[A] x"'+Vx""-"+Qx"'-\..+Tx+V=o.
L'énoncé exige que les racines de la transformée soient les produits qu'on olytiendrait en multipliant.par k toutes les racines de l'équation [A]. Ainsi, ^ étant la nouvelle inconnue, on aura
rsskx ou ^s^rî
36o LEÇONI D^ALGEBEE.
et par iiûte Véquadon [A] se change en celle-ci :
Il est bien éyident que la substitution de ka au lieu de^ dsos cette équation donne le même résultat que la substitution de aaa lieu de x dans Téquation [A] ; de sorte que a ne peut pas. être une racine de Tcquation en x sans que le produit ka en soit une de Téquation en j*.
On multiplie par h"* tous les termes de cette transformée et on l'écrit ainsi :
[B] . j-« ^Vky"^' +Q^«^m-a, , , 4.TA«-«j-+U£« = o."
Alors on voit que ses CQef&eiens peuvent se déduire immédiatement de ceux de la proposée [A] , en multipliant ces derniers »}• ptctivement par A**, X'% A', • . • l"*, de telle sorte que dans chaque terme de la nouvelle équation la somme des cxposans de A et/ soit égale h m.
La^ransformatîon précédente comprend cetk qui se proposerait de diviser les racines par un nombre k : gir celle-ci revient à multiplier les racines par t, et par conséquent à diviser les coeffideni
de réquation donnée par A", A% it*, . . .
Sgo, QuESTioîî IV. 'Transformer une équation^ qui a des coeffir cîens fractionnaires y enune autre qui r^ ait plus de dénominateurs) et dont le premier terme ait toujours V unité pour coefficient.
Laissant là quantité k tout-à-fait indéterminée , faisons x^s^kj et effectuons la transformation du n° précédent. Les coefficieos P, Q, ... étant fractionnaires, formons un nombre N qui soit divisible par chaque dénomiuateur, et prenons i& = N. Il est clair qoe dans réquation [B] les coefficiens Pi&, QA',... deviendront entien* Ainsi , on résout la question en substituant à la place de l'inconnue X, une nouvelle inconnue j^ multipliée par un nombre N wi soit divisible par chacun des dénominateurs.
Quelquefois on peut prendre pour multiplicateur de^ un nom* bre moindre. Par exemple, soit Téquation
LZGOKI d^alcebai.* 36i
En muliipllant ses racines par ft, la transformée scfra
et les dénominateurs disparaîtront si on prend £s=4^99 ™^'^ il suffira de prendre it = 2 X 3. Eu efifet, il vient
j'^ — gy» + 45r — 4* «o.
391 Question V. Augmenter ou diminue f dUine quantité k les racines d^une équation donnée
[A] a^ + Pi'"-» 4.Qa;«-*. .,.|-Ta:4-U= o. -
Posons xssyJ^kyOn auraj*=:ap — it; et, par conséquent, en substituant j--!-^ au lieu de or dans [A], on aura une transformée dont les racines sont celles de celte équaliou diminuées de k. Pour qu'elles fussent augmentées de k il faudrait changer partout /r en •?- it.
En opérant la substitution de^'-{-i&, on a d'abord
Cr+*)°'+P(j+*)'"-+Q(r+'&)"— . . . .•+T(y+it)4-u=o;
puis, en développant les puissances,
[C] y^mh + P
, Tn{m — i)' ^
+ (Wl— l)P*
Si on voulait prcsenlcr celle équation dans un ordre inverse , c^est-&-dire , de manière que les exposans déj* fussent croissanSy on' substituerait dans [A] A-f-'*^ au lieu dcj^-f-^* Alors il vient
36» LEÇONS DALGEBES.
en faisant, pour abréger,
K'=wit«-'4-(m-i) Pir«-» + (m-2) Qib«-^ . . + T,
K"= 772 (772. l)/fc«-* + (772-l)(77|.2) Vk"^^ +• (771-2 )(772-3)Qit«-4+..., R'^=772(772.l)(772-2)A'«-3 + (772.l)(772-2)(7W.3)PA"-^4- • .•, .
etc.
Remarques. Ces quantités K, K% K", etc. sont liées avec Téqnation proposée [A] suivant une loi irës-simple sur laquelle il im* porte de fixer Tattention.
La première K se forme en écrivant k au lieu de- a: dans le premier membre X,
K' se déduit de K en multipliant chaque terme de K par Feiposant qui affecte k dans ék terme , et en diminuaut ensuite cet exposant dVne unité. Comme le terme U équivaut à UA° , il doit s'anéantir dans cette opération , puisqu'il est multiplié par zéro.
K" se déduit semblablement de K'^'KT de K''^ et ainsi de suite.
Les quantités K% K'', K'', • • • portent le nom de polynômes dérwés* R' est le polynôme dérivé de K , K* est le polynôme dérivé de K', etc. On dit encore que K' est le premier polynôme dérivé de K, que K" est le second^ et ainsi des autres.
Les lois précédentes donnent le moyen d'effectuer avec br cilité la substitution âe h'\-j' à la place de x dans une équation quelconque. Par exemple , soit celle-ci
on aurt
K= A3— 2ifc»— 4^4-5, K'=:3it»— 4Jt —4, R'=6A —4, R'"=65
et , par suite, en ayant soin de diviser R'' par a, et R"" par 2.3^ b transformée sera
(P-.2A»— 4iH-5) + (3it»- 4/t-4)^ 4.(3A--2)^»+jr3 =,0.
3ga. QuBSTioiT YI. Transformer une équation en nnmauW qui manque àCun certain terme.
UÇOXS D^ALGiBaS. 363
Soit toujours Fé^usition
faisons x^ij-^^k^j' étant une nouvelle inconnue , elk une indéterminée dont on peut disposer à volonté. Par cette substitution^ o» obtient Téquation désignée plus baut par [C].
Si on veut que le second terme disparaisse, il faut déterminer k par l'équation
IWi& + P:sO, d'où k = ;
et alors la valeur a:= r-fr^ devient j: = r . Donc on fait
évanouir le second terme d'une équation en substituant y à Vinconnue de cette équation y une nouvelle inconnue , à laquelle on ajoute le coefficient du second terme de Véquation, pris avec un wigne contraire et divisé par le degré de Véquation. Le troisièjne terme disparaît en posant
* iw(m— i)X»+(m— i)Plr-fQ=:0. * .
De là on tire en général deux valeurs pouri&; par conséquent il sxiste deux substitutions diÛerenles pour transformer une équation en un^ autre qui n^ait plus de troisième terme.
L'évanouissement du quatrième terme dépend d'une équation . 3u troisième degré 5 et ainsi de suite jusqu'au deriiier, qui ne dis^ paraît qu'en déterminant k par une équation toute semblable
^ la proposée, savoir :
A"» 4- Fit"»-! + Qifc«-> . . . + T/r+.U =6.
La raison de cett% ressemblance est facile à trouver. Egaler à . iéro le dernier terme de l'équation enj-, c'est supposer qu'une Ses valeurs de y est nulle : car lorsque cette équation n'a plus de dernier terme, elle se vérifie évidemment en faisant/ = o. Par mite la relation 'a: =: y -|-/r devient a: = h; donc , on doit prendre ^nr k une quelconque des valeurs de x; donc k doit être déterminé par la même équation que x.
3g3. B-emarques. Lorsqu'on fait évanouir un terme, il se peut
364 Liçôiii dVlgsbm.
qu'un ou plusieurs autres disparaissent en nieme tempcj niiis i faut pour cela qu'il y ait entre les coefliciens de réqdalioa doaiiéi quelques relations particulières. Supposons , par exemple , qa^M demande celle qui doit exister pour que le second terme et le troisième disparaissent ensemble. Il faudra qu'on ait à la fois
JI1* + P=:0, ^m(w— I)ir«+(W— l)P*4-Q=:0.
Or, la première équation donne i& = -— — ; il faut donc que celtt valeur satisfasse à la seconde , ce qui donne
w(w— i)P» m— OP' , ^
— — ; 4-naa o t
ou 9 réductions faites,
telle-serait la condition cherchée. Si delà on tire la yaleur deO pouf la porter dans Téquation [A], on aura la forma générale da équations dont le second et le troisième termes doivent disparaitn en même.temps.
3g4* Il ne faut pas croire qu'on puisse, par des transformation! successives, faire évanouir d*abord un terme, puis un second, pi0 un troisième, etc. : car chaque opération ferait reparaître le tenK àdëanti par la précédente. Soit en effet une équation
X™ -(- Qx«— * -(- etc. = o ,*
qui matique déjà de Second terme. La substitution de^-4~^ ^ lieu de x donne
ou, en développant,
Or, on voit que la valeur de k qui anéantirait le terme en^*^ serait différente de zéro, et que par conséquent le terme enjr*^ reparaîtrait.
