Souvent la composition de^ équations fliontrc avfC H

LEÇOVS D^JOpàBIK* 365

grande facilité comment la trausformatioa qu*on efFectuè , atteint le but proposé. Supposons que rëqiialiou [A] décomposée en fac- ' leurs soit

[i] (x— ûj (x — b) (a:— c). . . = o/

Si on remplace x par — x, et si ensuite on change les signes de tous les facteurs, ce qui est permis , il vient

et il est évident, à la seule inspection de cette équation, que ses . racines sont égales à celles delà proposée^ mais de signes contraires l c'est la transformation du n^ 387.

Le changement de jp en - dans [i] donne

On peut multiplier les facteurs respectivement par -, rt -« ••• et changer le sigtae^le chacun. De cette manière il vient

équation qui a évidemment pour racines -, j, -, • • • ainsi que

Texige la question II.

Faisons x=*^, et multiplions chaque facteur par A:, ce qui re«

Tieu( à multiplier toute Féquation par k^y on trouve

Cr— ^û) (y-^kb) iy—kc) . . • = o,

équation, dont les racines sont ta^ kb^ ^c. • • Cette transformation eb celle du n® 38g.

Faisons comme dans le n** Sqi , x=^-4~^ • Téquation [i] devient

et celle-ci a évidemment pour racines a— ft, b — ft, c^^k,. , ,, e^est-à-direi les racines de la proposée^ chacune diminuée de k*

366 LEGOirS D^ALGEBBZ.

Lorsque y pour faire 'évanouir le deuxième terme de Téquati

p [A], on fiait x =^ -— —, les racines de la transformée sont

a A — » bA — > ^+*--j«--; m 'm m ' ■

donc , en se souvenant que a+ *+^- • • =— P ( n* 882) , lei somme sera .

a4.ft+c...4-2il = — P+P=o:

'c^est-il-dire que Téquation en y n'aura point de second terme, c qui est en efiet le but de la transformation. .

396. Dans les questions que nous avons traitées, il y ^vait entr rînconnue primitive x et la nouvelle inconnue^ une relation foi simple : mais quelle que soit cette relation , la marche à suivi sera toujours la même. Ainsi, on exprimera d'abord cette relalîoi par une équation, puis on en tirera la valeur de x en y y puis enfii on substituera celte valeur dans l'équation proposée*

n pourrait se faire que Tcquation de relation entre :r en/fa trop compliquée pour être résolue par rapport* à :r. Alors il faadr éliminer x entre cette équation et la proposée^ par les méthode! qui seront exposées plus tard.

Recherche des diviseurs des équations.

397. La résolution des équations serait complète si Ton pouvai toujours , une équation étant donnée , déterminer un diviseur di cette équation : car alors on descendrait par des réduction: successives jusqu'à des équations du 1"^ degré. En effet , soit

l'équation proposée, Y un diviseur de X, et Zl e quotient; cclU équation se changera en

YZ=o.

Or, pour satisfaire à celle-ci, il faut et il suffit quel 'an de ses faC' teurs soit zéro; ainsi on aurait à résoudre séparément les dem équations

t=:o, Z=io,

LEçovs d^JlLgIebae. 36^

qui sont de degré moindre que X. Semblablement cbacune d^elIes se décomposerait encore en deux autres, et ainsi de suite : de sorte que la résolution de Téguatioti S. = 0 finirait par s^àbaisser à dés équations du i**^ degré. Mais malheureusement nous verrons tout à Theure qu^en général la recherche des diviseurs est un problème au moins aussi difficile que la résolution de Téqnation proposée «Ile-même.

Quand on parle des diviseurs d^une équation X==: o, il faut toujours, pour donner plus de précision' au langage y entendre que cette équation* est ramenée à la forme ordinaire

[A], a:"»+Pa:'*"*+Q^'*"*4"C'c. = o,

^et que les diviseurs sont aussi des poljii6mes en or, ayant tous .comme X l'unité pour coefficient du i*"^ terme. Alors, toutdiviseur d'un degré supérieur au premier ne pourra être qu'un produit de quelques uns des facteurs simples de Téquation : autrement il y . aurait plusieurs manières de la décomposer en facteurs premiers, ce qui est' impossible.

De là il suit que Féquation doit avoir autant de diviseurs ^du 2^

degré, du S*', etc., qu'on peut former de produits en multipliant 2

-à 2, 3 à 3 , etc.^ ses m facteurs simples. Ainsi, d'après le n^ 209,

e nombre des diviseurs du 2* degré = — • 1 ,

, , , j. . j'oe m(7w— i)(m — 2) le nombre des diviseurs du 3 = • 5 — ^,

etc.

898. Expliquons maintenant comment on procède à la recherche de ces diviseurs, et supposons qu'on veuille trouver ceux du 2« degré.

Ils doivent tous être de la forme ar» 4"/^^"l" Ç'j ^' ^^s coefficîens p cl q doivent être tels qu'on puisse diviser cractement le polynôme X par **+/^a:+^. En conséquence, ou effectuera cette division- jusqu'à ce qu'on ait un reste de degré moindre que ce diviseur, c'est-à-dire, du i*"" degré 5 et alors on remarquera que si p et 9 avaient des valeurs convenables, les termes en x dans ce

388 LKGOirS D'iLGKBlt.

reste deyraient le détruire entre eux, et les tenues sans x f traire aussi entre eux. Oc ce reste sera de la forme Âjl A et B étant des quantités dan% lesquelles entrent les iaco petq combinées avec les coefficiens de Féqualioa proposa faudra donc poser

et la résolution de ces équations, si elle était possible, ferai naître/? et q.

Tous les procédés imaginés pour opérer une telle rëso ramènent toujours à résoudre une équatiou unique qui ne co plus qu^une seule inconnue, et qu^on nomme équation final méthodes dVlimination seront expliquées plus loin ^ mais or reconnaulre dès à' présent ht quel degré doit s^élever Yé<fi finale de laquelle dépend séparément p ou q. En effet , il < avoir autant de valeurs pour/? ou q que Féquation a de div du 2* d^é, et par conséquent chacune de ces quantités, coi rée séparément , doit être déterminée par une équation du

Lorsque m == 3 , ce degré = 3 ; raab lorsque m surpasse est plus grand que m. Ainsi, au-delà du 3* degré, pour coni /) ou ^ , on est conduit à une équation de degré plus élevé t proposée, et par conséquent elle est plus difficile à résoudre les cas particuliers. •

En général , si on cherche un diviseur du degrc n , Vém finale, de laquelle dépend un coefficient quelconque de ce seur , doit s'élever au degré

Quand on suppose 7i=iou7i=m*-i, cette formule de égale à m. Mais si on fait successivement /i ^ 2, 3, 4 • • • » elle d des nombres croissàns tant qu^on a

n^^nf^n + ij dîoùn<'"+^j et^ passé cette limite, elle donnera des nombres décroimn

LKÇOirs d'algsbbs. 36q

seront, dans un ordre inverse, les mêmes que les précédens. Ainsi, la détermination d^un diviseur de degré supérieur à i, et inférieur à m — I , dépend toujours d'une équation plus élevée que la proposée.

39g. La recherche des diviseurs d'une équation peut encore se faire par un procédé qui en général est plus commode , et qui consiste à introduire dans le calcul, comme autant d'inconnues' distinctes , les coeificiens du quotient aussi hien que ceux du diriseur. Tous ces coeâlciens sont en nombre m , et on les déterminera d'après la condition que la multiplication du diviseur par le quotient reproduise Téquatiou proposée, terme pour tenne.

4oo. Pour première application, je chercherai les diviseurs du

2« degré de l'équation du 3«; et comme on peut toujours faire

disparaître le second terme de cette équation, je supposerai

qu'elle soit

«3+Qa:+R = o.

Conformément u la première méthode (SgS), je diviserai ar^-|-Qx4-R par a^'+Z^^+S^*

a:3 + Qa:4-R

— .r^ — px^ — qx

x^'\^pX'\-q

Parvenu au reste du i**" degré , je dois égaler a zéro le mulliplica^ teur de x dans ce reste, ainsi que la partie indépendante de x\ Ton a ainsi ces deux équations

De la seconde on tire y = — — , el par suite la première devient

liVst de celle-ci quHl faudrait tirer les valeurs de/73 et ensuite la !V>nnulè ^ =— — donnerait les valeurs correspondantes de q.

Il est remarquable que cette équation soit toute pareille à la pro-

3^0 LtçoNs d'algèbbi.

posée , et c^est ce qu*il était facile de prévoir. Ea effet , cliac diviseur du 2** degré devant être le produit de deux diviseurs i*'^, le coefficient du deuxième terme de ce diviseur est la som de deux racines de Téquation proposée , chacune prise avec signe contraire. Or, cette équation manquant de deuxième teri la somme de ses trois racines est zéro ; donc la soAime de de quelconques d'entre elles y prises avec des signes contraires , ' égale à la troisième; donc les valeurs du coefficient p ne si autres que les racines mêmes de Féquation proposée. 4oi. Pour seconde application, considérons Téquation da

degré

a;4 4- Qx' 4- Ra:+ S s= o ,

et cherchons ses diviseurs du 2* degré par le procédé du q« Sp On posera

et , après avoir effectué la multiplication , on égalera entre euxl multiplicateurs des puissances semblables de x. On a ainsi , poi déterminer les incounues p, q, p'y q'y ces quatre équations

gr-l-^'-f/^y =Q,

qqf — S.

Les trois premières donnent

•^ ^ ^ 2p ^ ^ zp '

et par luite la quatrième équation devient

jp s. .

OU bien , toutes réductions faites ,

Cette équation est du 6* degré ^ maïs comme elle ne contient qi des puissances paires de /;, on peut prendre/»' pour inconnue, < elle ne sera plus que du 3'. Si on pouvait en tirer les trois val»

dep^j elles feraient connaître pour /7 ilx râleurs, égales deux à deux et de signes contraires , et ensuite on calculerait facilement les valeurs correspondantes de^', qetq\

Il sufHt de connaître une seule valeur de p pour qu^on puisse résoudre Téquation du 4** degré : car alors elle se décomposent en deux équations du 2* degré , dont les racines seront celles de la proposée. C'est ainsi que Desgartes a ramené la résolution du 4* degré au 3'; mais ce procédé reste sans succès pour les degrés supérieurs.

La seule inspection de Féquation en /; a suffi pour juger qu^elle doit s'abaisser au 3" degré , et il semble que ce ne soit là qu'un résultat heureux et tout-à-fait inattendu du calcul. Cependant rien n'était plus facile à prévoir. En effet , si on désigne par a^ b y Çj dy les quatre racines de l'équation proposée , les valeurs de p devront être

— a — ^, — a — c, —a — dy

Or, cette équation n'ayant plus de 2* terme, on a û-f-^"4"H"<^^o> donc les trois dernières valeurs de p sont égales et de signes contraires aux trois précédentes ; donc l'équation en p ne doit contenir que des puissances paires de /?.

^02, Je ne quitterai point ce sujet sans donner un dernier exemple de la facilité avec laquelle la composition des équations fait prévoir certaines particularités du calcul.

Soit l'équation complète du 4** degré •

a:4 + P:i:5 + Qx»+Rx + S = o;

et soit toujours jp'-f"/^^"4"^ ^^ quelconque de ses diviseurs du 2« degré. Ici la somme des racines a4"H"H"^= — P> et les six, valeurs àep ne seront plus égales deux à deux et de signes contraires ; mais ce qu'il y a de très-remarquable , c'est que si on cherche l'équation enp et si on en fait évanouir le 2* terme au moyen de la règle connue (Sga) , les autres puissances impaires de l'inconnue devront aussi disparaître.

Pour le démontrer, remarquons encore qu'en appelant a, b^c^dy les quatre racines de Féquation en x^ les six valeurs de p sont

ÙÇOKt D^ÀLGiBAEt

par conséquent; si on représente l'équation en p par

/^ + F/>5+ctc,=:o,

le coefEcient V sera la somme de ces six quantités prises ayec des signes conUraires , et Ton aura

Mab pour faire dbparaitre le second terme de Féquation en/;, il faut prendre une nouvelle inconnue// et poser /?==/>'— -g- P : or, de cette relation on tire

donc en remplaçant, dans cette expression,/? par ses diverses

valeurs, et F par 3(^24"^4"^4"^)> ®^ ^^^^ ^^^ six yaleurs de//t savoir:

y=-^i — J+i(a + ^ + c+é/)=xi(— ^ — rf+û-l-c),

Or, gn voit clairement que les trois dernières sont ^ales et de signes contraires aux trois premières ; donc réquation en p* ne devra renfermer que les puissances paires de//.

Théorie des racines égales.

4o3. Quand une équation est divisible par une puissance de X — « , elle a autant de racines égales à a qu il y a d'unités dans Fexposant de cette puissance , et alors cette racine est dite douUe, triple, quadruple, etc., selon que l'exposant est 2, 3, 4, etc. Li recherche des racines égales revieut donc à celle des diviseon tels que (x— <7)», (x— «)3, etc. j et sous ce rapport on pourraitlt

regarder comme comprise dans eeUè deê ditisenrs en général. Mais comme elle constitue à elle seule un point essentiel de la théorie des équations , je dois ici la traiter d^une oiaiiière spéciale . > 4^4* ^^'^^ Téquation X=3 o ou

[A] x^+Px^-^ -I- Qx^\ . . +Ta: + tJ = 0.

Quand elle a des racines égales à a^ il est elair qu'après Favoir di- TÎsée par x — a , l'équation résultante doit se vérifier encore en y faisant a: = a. Or, en introduisant cette hypothèse dans le quotient rapporté n? 3?o, il devient

et ce résultat est le même qn^on obtiendrait en substîCiiàiit a auUen de X dans le polynôme

donc ce polynôme , que j'appellerai X', doit s'évafioiûr par Cette • substitution ; donc 11 est divbible par a:-*- a ; donc x —a est facteur commun à X et à X'.

Réciproquement, si x — a est facteur commun à ces deux polynômes, o» sera sûr que Féquation X = o a des racines égales à a : car alors il est évident que la substitution de a au lieu de x fait ëyanonir à la fois et X et le quoUent de X par x — û.

On remarquera sans doute que le polynôme X' se déduit de X d'après une loi très-simple, qui a déjà été remarquée (3g i), et qui lui a fait donner le nom de polynôme dérivé.

Ce qui précède montre bien que le plus grand diviseur commun de X avec X^ ne doit contenir que les facteurs égaut de X , mais on ne voit point à quels degrés ils s'y trouvent. Quoiqu'il soit trèsfacile d'y parvenir par les considérations dont je viens de faire usage, je préfère reprendre en entier la théorie des racines égales par un procédé qu'a indiqué M. Lagroiic dans son Complément des éîcmens d^ algèbre, et qui me parait le plus simple.

4o5. Considérons d'une manière générale les polynômes dérivés de X, et montrons comment ils sont composés avec les facteurs de X. D'abord, par ce qui a été dit dans le n* 3gi, on sait qu'en changeant x tn X'\'y dans le polynôme i^ lerésnUftt de

374 LEGOETS D^ALG£BRE.

cette substitution sera un polynôme Y qu'on peut écrire ainsi :

en nommant X', X'', X'^, • • • les polynômes dérivés succcssifis de!* Maintenant soit

X= (x — a) (x — b) (x — c). . . • En changeant x en x-^-y ou en y'^Xj on aura

On peut donc regarder Y comme un produit de m bin6mes | qni ont j* pour premier terme ^ et dont les seconds termes sont a>-a, X — ùy X — c, etc. Par suite, les règles connues (lia) détermineront la composition des multiplicateurs des diverses puissances dey. Ainsi, la partie indépendante de 7* sera égale au produit dei m facteurs {x — a) (x-^b) (x — e)'. . • ; la quantité qui multiplie/ sera égale à la somme des produits de ces facteurs multipliés 773—1 à/Ti— i^ etc. Tout à riieure on -vient de voir que ces mêmes

X X" quantités sont représentées par X, -, -, — , etc. de sorte que h

composition des polyn&mes dérivés se trouve mise en évidence.

Si Ton se borne au seul polynôme X\ on pourra donc dire qu^m polynôme du degré 772 étant donné, son polynôme dérivé est égal à la somme des produits de ses facteurs simples, combinés 772 — 1 à 772 — 15 et, comme ces produits peuvent s'obtenir en divisant successivement X par chacun des 772 facteurs x — a, x-^bf X — c, . • • ou aura encore

X'= •+" 7+ + etc.

Gela posé, admettons queréqualion X=o ait des racines égales^ ou, ce qui est k mcmc chose, que X renferme des facteurs élc?és à des puissances ^ et soit

X^{x^ay(x — b)"\x^c){x-^d). . .

On ne prend ici que deux facteurs élevés ù des puissances, mais

LEGOIfS D^ALGEB&I. 3^5

ft'il y en avait davantage^ les raisonaemens seraient tout*à-fait les

mêmes.

On vient de démontrer que le polynôme X est égal à la somme des quotiens qu^on obtiendra en divisant X successivement par chacun de ses m facteurs simples^ donc, puisque n facteurs sont . égaux à X — ay et nf égaux à x — ùj on aura

n{x — û)"— ' {x — ùY (x — c) ix-^d). . .