x—a)" {x — bf {x^c

-4" etc.

Mettons en évidence les facteurs communs aux différentes parties du second membre, et, pour abréger, posons

jT { n{x — b){X''c)(x — ^...-^-«'(j:— û)(x— c)(a: — d),..

\ + {X'-aXx — b)(x—d), . .+ (a:— #)(a:— &X^-^^)' • • + e'^.

on aura

X'=:{x'-ay-'{x-^by-'n.

Par là, on voit que le produit {x — ay-'^{x — b^^^ divise à la fois les deux polynômes X et X'; et je dis de plus qu il est leur plus grand diviseur commun. Pour qu'il en fût autrement, il faudrait au moins qu'un des facteurs x — «, x — b , x — c, etc., qui sont dans X , pût diviser H : or, x — a manque dans la première partie de H et se trouve dans toutes les autres, x — b manque dans la seconde et se trouve dans toutes les autres, ainsi du reste î donc aucun des facteurs de X n'appartient à H.

Si les exposans n et n^ étaient égaux à i, l'équation X=o n'aurait que des racines inégales. Alors X' se réduirait à H , et le raisonnement précédent piouverait qu'il n'existe aucun facteur commun entre X et X'.

Donc , pour quune équation X=o ait des racines légales , il faub et il suffit que le premicrmcmbrc et son polynôme dérivé aient un diviseur commun ; ct^ si on cherche leur plus grand diviseiœ commun^ on aura le produit de tous le/yàc tours égaux de X , él<fvés chacun à une puissance moindre d*unç unité.

3^8 LECONI D'ÀLGkBAC.

par là on est déjà certain que Téquation donnée a dei racines égales On cherche de même le plus grand diviseur commun £ entn le polynôme D et son dérivé iys=3:c'—ax-—i, et Ton trouve

On est donc sûr qne Féquation a des racines triples; et puisque i est du i«' degré, elle n en admet point d'un degré de muitipliciu supérieur au 3*.

En conscrvanlàXi^ Xa, X3, le même sens que tout à Theurei on aura donc

X, X,'X33=X=:Ar:— :ç»— 4:c5^.etc., .

Xa X3'=D = x3-.a7»— ar+i, X3 =E = j: — I,

En divisant la i" égalité par la a», et la a« par la 3% il vient

X,XaX3=:c4 3x' + *>

XaX3=Jf* I,

Pub, en traitant encore ces égalités delà même manière, on a

Xi = a:' — 2, Xa = j:-f-ij X3 = af — I. Ucqualion, décomposée en facteurs, sera donc , . (:c>-.2)(j:+i)'(x— i)3 = o;

et par suile elle se partage en celles-ci

x* — 2 = 0, j:-4-i'=o, a:— i=o, lesquelles sont faciles à résoudre et donnent

donc enfin l'équation proposée est complètement résolue. +V et — V2. sont deux racines simples , — 1 est une racine double, •4-1 est une racine triple.

407. Quelquefois on veut décomposer une équation X=o q a des racines égalçs en dfinx équations, dont Tune renferme ^

racia«s inégales | et dont Fautre renferme les racines égales f mais chacune une fois seulement.. Yoici la manière la plus simple iTy parvenir. Après avoir trouvé le plus grand commun diviseur Y entre X et X^, on cherchera le quotient de X par Y^ et ce quotient, que je nommerai Z, sera le produit de tous les facteurs égaux ou inégaux de X y mais pris chacun une seule fois. On cherchera donc le plus grand commun diviseur V entre Z et Y ; et V sera le produit de tous les facteurs simples de X. Puis, on divisera Z par Yf et le quotient Yx sera le produit des facteurs égaux abaissés ail I*' degré. En conséquence les deux équations demandées seraient