CHAPITRE XVII

2?e r élimination et de quelques unes de ses

applications.

Forme générale (Pune équation k deux inconnues. Comment on recorioati que la valeur d'une inconnue cornaient à deux équations.

408. Lorsqu'une équation algébrique ne contient que des termes entiers et rationnels par rapport aux inconnues , on a déjà dit (66) que le degré de cette équation est la somme des cxposans des inconnues , dans le terme oii celte somme est la plus forte.

L'équation générale du degré m, entre deux inconnues xcijy doit donc renfermer tous les termes où la somme des exposans de X et de^ ne surpasse point m. Or, on peut toujours réunir dans le premier membre, sous un seul multiplicateur, tous les termes où Tune des inconnues , x par exemple , se trouve affectée du même exposant y et ordonner ensuite par rapport aux expo-

38o LEG0K9 D*àL6ÈB1E»

sans dëcroissans de x; par consëqaeat réqnalion géoénle dh degré m pent se mettre sous la forme

[A] A:c-+ Rc~-« +Ca-«^. . .+G4P-l-)a«= o.

Ici A est une quantité qui ne contient point jr^ antrement II d^é de Féqualion surpasserait m ^ B représente un polyntoN du premier degré en j- de la forme b^bry^ dans. leqnd h et bx sont des quantités connues ; G est un polynôme de la fonMT c-f-cj^+^aj-* 5 ainsi de suite jusqu'à H , qui représente en général un polynôme du degré m de la forme ft+Ai^+^a7*t«f

Lorsqu'une équation est incomplète, c^est-à-dire, lorsquVlIene renferme point tous les termes que comporte son degré , il &Bt supposer, dans l'cquation générale, que les coefficiens des termes manquans sont égaux à zéro.

Comme il est toujours permis de diviser une équation par Fim de ses coefficiens, il semble que Ton peut , sans diminuer la gêné* ralité de Féquatîon [A] , supposer A=i : mais alors elle ne com* prendrait plus celles qui manquent de premier terme* Par exemple , l'équation du second degré

ne pourrait pas donner l'cquation particulière

(5 + 2j-)^+3 + aj- — 3j-* = o.

409. Après avoir divisé l'équation [A] par l'un de ses codficienSt il en reste autant d'indéterminés qu'il j a de termes , moins un, dans l'équation. Ce nombre est donc égalàa-|"3-4*-4* • •*h('M~0» c'est-à-dire, à

7W2[2-4-(W2-|-l)], ou 7 772 (m -(-3).'

Celte formule indique à combien de conditions données une équation du degré m peut satisfaire au moyen d'une détermioation convenable de ses coefficiens. Par exemple , on pourra ça général faire en sorte qu'elle admette des soljiliona données 01 nombrf^ égal à ees coefficiena»

IXÇ0N8 P^ALGeBAZ. 38l

4 10. €^est ici le lieu d^expliquer comment on reconnaît qu'une ▼alcur attribuée à Tune des inconnues conyienl à deux équations. Soient deux équations

Ms=o, Nsso,

^ntre deux inconnues x et j'y et soit ^ une valeur donnée de y. Si on substitue p au lieu de^ dans M et N , les résultats y que je désignerai par M' et W^ seront en général des fonctions de x. Or, il est évident que la valeur p de j^ ne convient aux équations proposées qu'autant qu'il existe $iu moins une valeur de x propre à rendre nulles en même temps les deux quantités M^ et W ; donc «ces quantités doivent avoir un commun diviseur fonction

Il est clair, d'ailleurs, que cette condition est suffisante : car, si on désigne le conmiun diviseur par D et si on pose P=o , chaque valeur x=(x,, déduite de cette équation, étant substituée dans M' et N', rendra ces polyn&mes égaux à zéro ; et par conséquent, en faisant à la fois a:=:« et j-=P dans M et N , cçs quantités s'évanouiront , c'est-à-dire que les équations proposées seront satisfaites.

Donc, en général, deux équations à deux inconnues étant données , pour qiCune valeur attribuée à l'une des inconnues convienne à ces équations , il est nécessaire et il suffit quen la substituant dans ces équations , elle leur fasse acquérir un commun dis^iseur fonction de Vautre inconnue] et , si Von égale ce commun diviseur à zéro , on a une équation dont les racines sont les valeurs correspondantes de Vautre inconnue.

4ii* Ce principe montre aussi comment il faut s'y prendre pour achever la résolution de deux équations à deux inconnues , lorsqu'on est arrivé, par un moyen quelconque, à une équation Y=o , dont les racines sont les valeurs de y y et qu'on a déterminé^ toutes ces racines.

Si l'équation Y==o renferme , ^ulre les vraies valeurs de y , d'autres valeurs , étrangères aux équations proposées , on les connaîtra à ce qu'elles ne feront point acquérir à ces équations de commun diviseur fonction de a: , et l'on doit les rejeter. Et au contlraire, si une valeur àejr vérifie les proposées, indépeudam-

382 LEÇONS d^àlgIbre;

ment de toute valeur de x, il est évident qu*cn lai adjoigoint telle* valeur de x qu*on voudra, les équations seront toujoui satisfaites.

4 12. En général, la résolution de deux équations à deux inconnues consiste à trouver tous les systèmes de valeurs qm, substituées à la place des inconnues , peuvent satisfaire aux dm équations \ et Ton ramène toujours cette détcrmÎDalion à la réscH lulîon des équations à une seule inconnue. Pour réduire ainsi h question, il faut donc chercher à déduire des équations donnéa une équation qui ne renferme plus qu^une inconnue 5 et tel est en effet Fobjet des méthodes d'élimination. On regarde conuDC parfaites celles qui conduisent à une équation finale ayant ponr racines toutes les valeurs de cette inconnue, sans complication de valeurs étrangères. A cet égard, la méthode que nous exposeroM bieni^t (4i6), et qui fait l'objet principal de ce chapitre, est défectueuse \ mais il n'en existe point dont l'usage soit plus commode lorsque les deux équations sont numériques , c^est-à-direj lorsque leurs coefllciens sont des nombres donnés : or c^est ce ott que nous avons principalement en vue*

Elimination dans quelques cas fort simples^

4i3. Avant d'expliquer la méthode dont il s'agit, je veux rap« peler ici le procédé déjà connu qui peut être employé toatei les fois qu'on saura résomdre l'une des deux équations par rapport à l'une des inconnues.

Les deux équations étant représentées par

supposons qu'on sache tirer de N=o la valeur de x en fonction dc^, et qu'on ait

On est assuré que cette fonction , substituée au lieu de x daoi l'équation N = 0; rendra N identiquement nul , sans qu'il soit besoin d^attribuer de valeur particulière à y. Mais cette inconnoe y doit être telle qu'en mettant/f/) à la place de x dans la pre-

LEÇONS D*ALGÈBiE. 383

mière équation, M devienne aussi identiquement nul ; donc il faut prendre pour valeurs de j* les racines de Tëquation qui résulte de cette substitution.

L'équation ainsi obtenue sera donc Féquation finale en j* ; et,

si on peut la résoudre, il n^ s^ura plus, pour avoir les valeurs

correspondantes de x, qu'à transporter successivement chaqu«

' Talcur dej- dans la formule x =f{j^). Quoique ce procédé soit

' fort simple, cependant le calcul exige, dans certains cas, des pré-

' cautions que l'exemple suivant apprendra à né point négliger.

Soient les équatious

/ lia seconde donne

jr=±:f V^a ( i5/-*— 28) ; et en substituant ces valeurs dans la premièrei on trouve

65;^* — 107" Va(i5;r* — 318) — 4^0 ^=0»

^ On ne peut pas résoudre cette équation sans la ralnener à une

forme rationnelle, et c'est à quoi l'on parviendra en. isolant le

radical dans un membre et en élevant ensuite les deux membres

E à la puissance marquée par l'indice du radical. Ce procédé doit

^ être remarqué, parce qu'il est d'un usage presque continuel.

On isole donc le radical, et l'équation devient

[u] ±ioj'Vt}.{i 5j-'— a8) = 4^0 — 65;^' ;

puis on élève un carré, et Ton trouve, toutes réductions faites,

. Cette équation se résout à la manière du a* degré et donne j- = + 2, j-=— a, 7 =+6, ^=—6.

' Pour avoir les valeurs correspondantes dex, il y a une atten- ^ tion à avoir, sans laquelle elles seraient fautives. A cause du si-

384 LEÇOKS D'ALQJ^EE.

goeihqui était devant le radical, l'équation [^] équivaut i m deux-ci :

\af] + 1 0^^^/2(157»— 28) = 420 — eS;'»,

[et"] — I oy V2(i5y*— 2b) =420 — 65;^».

Or, si on pouvait résoudre séparément chacune d'elles, les valeon de^ tirées de [« } devraient être substituées dans la formule

et les valeurs de j* tirées de [a!'] , dans la formule

x= — j V^2(i57-'-^2bj:

Il est donc nécessaire de distinguer parmi les quatre valeurs dej celles qui appartiennent à chacune des équations [a'] et [«'^•Le moyen le plus simple consiste aies substituer dans ces équations; et Ton reconnaît ainsi que les valeurs j^ = -f-2,j^= — 6, lénfient [« ], tandis que les deux autres, y=— 2,^=-{-6, vérifienl [a'']. En conséquence , on a pour les équations proposées quatre solutions , savoir :

jr=-i-2, I j^= — 2, \ jr=— 6, \ j-=+6.

41 4* Lorsque les deux équations sont du même degré parrap* port à rinconnue qu^on élimine, il convient d'abaisser préalablement Tune d^elles au degré inférieur, au moyen de la soustraction, ainsi qu'on Fa déjà fait (n^ 194, £x. 111} pour les équations a:=»+Px+Q=o, a:»+P'^4-Q'=o.

Les deux équations [i] et [2] seraient donc mieux traitées eo leur apphquant cette observation , puisque l'une d'elles scia remplacée par une équation du i*' degré en x. Toutefois, ilûol auparavant rendre le coefficient de x* égal dans les deux équations, ce qui se fera en multipliant Féquation [i] par 4, et re'qDa* tion [2] par 3. Alors, en les retranchant l'une de l'autre, il vient

8o*;^4"65y*— 420=0 , d'où 3:=;-i— -j21.

le- (

XdÇONfl D ILQEBAB. 385

Ztite yaleur étant portée dans Féquation [2], ou obtient | toutes réductions faites, Féquation finale déjà trouyée

Les valeurs de^ qu'elle détermine sont

çt par suite la formule qui exprime x en jr donnera , pour valeurs correspondantes,

4x5. Souvent la résolution des équations s'obtient immédiatement en remarquant qu'elles sont décomposables en facteurs. Supposons , par exemple , que deux équations aient été ramenées à celles-ci

Pour les résoudre, il faut chercher toutes les valeurs de x et dej* qui peuvent rendre nuls à la fois un facteur de la première et un facteur de la seconde. On a donc à résoudre séparément ces quatre systèmes d'équations :

(x — y =0 (x —y =0 iy^ — x^ — i— o|j-^— a:' — i=o'

Je lAsse au lecteur le soin d'effectuer les calculs, et je passe à des ODusidérations plus générales. - • '

Élimination par la méthode du plus grand commun diuiseur,

41 6. Soient les équations à résoudre^

fe vais faire connaître les simplifications qu'on doit d'abord leur '^ire subir-

Ordonnons le polynôme M par rapport bijr , cherchons le plus S^and commun diyiseur des multiplicateurs des diverses puissances

386 ' LEÇOiCf D*AlGkfiBK«

de^, et divisons TA par ce di?is6ar. Ensuite ordonnons le quotient par rapport à j:, cherchons le plus grand comnran di^lsenr dei coelficîens des diverses puissances de :r , et divisons encore le quotient par ce diviseur. Alors nous pourront décomposer M ca trois facteurs, Fun fonction de Xy le second fonction de^, )e dei^ nier fonction de x et de /. Désignons-les par U, W^ U% et Ttm auraMrrrUU'U".

Nous pourrons décomposer d^une manière semblable le poljrn6me N ;. et , en nommant Y, "t^, T% les trois facteurs , on ann '

Maintenantf il est possible que les facteurs U et Y fonctions de X aient un diviseur commun ; qu'il en soit de même des fac^ ' tcurs 13' et Y' fonctions de j- 5 et encore de même des facteors V et V^ fonctions de x eijr. Désignons ces trois sortes de divisemi communs par dj rf , J", et Ton pourra décomposer M et M comne il suit :•

m=dd^iPXHÙ'u'f, .

T^=:dd^^Xvv^v^.

Examinons présentement les diverses manières dont on peut satisfaire aux équations proposées M = o, N==o. D^abord, il est évident qu'on y satisfait en égalant à zéro l'un des facteors communs dy d'y d}\ Or, si on pose dsss o-, cette équation né contiendra qu^unc «eule inconnue x\ et quand on l'aura rësolne, oa* aura un nombre limité de valeurs de x^ mais on pourra joindre à chacune d'elles une valeur quelconque de^. Si on pose éfso, on aura un nombre limité de valeurs dé^, mais on pourra joindre à chacune d'elles une infinité de valeurs de x. Enfin, si -on pose l'équation <^''=sOy comme d" contient oret j, on pourra donner une valeur arbitraire à Tune de ces inconnues, à x^ par exemple, et alors cette équation fera connaître les valeurs correspond an tes'de \l y. Ainsi, chacun des facteurs communs dj d ^ d"j détermine une \k infinité de solutions. h^

Les autres manières de satisfaire aux équations proposées consistent à égaler à zéro, en même temps, l'un des facteurs if , 1/, s'y de la première, et l'un des facteurs i', i^, j^, de la seconde. Onae J|^^ peut pas avoir a la fois 1/ ±=: o* et ifssz o ; car ces facteurs ne son* \^^

LEÇONS d'algèbai. 38^

t\ tiennent que x et n*ont pins de facteur commun , de sorte m qu'aucune yaleur de x ne peut les rendre nnls tous deux ensemble, a Far une raison semblable, on ne peut pas ayoir en même temps ■ éÊk= o , i^' = o. De plus y il est clair que si on égale à zéro deux ^ lacteurs , dont Fun ne soit fonction que d^une inconnue , il n'y ; ■,, aura, pour résoudre ces deux équations , d'autres difficultés que

celles des équations à une seule inconnue, f I Mais il n'en sera plus de même si on pose

» u" = O , if" =s:q z

^ car chacune de ces équations contient x et y. Il faut une mé- ^ , thode nouvelle pour les ramener à la résolution des équations à une seule inconnue , et c'est cette méthode qu'on tji exposer. On ^ doit bien faire attention qu'elles ne renferment plus de facteurs ^ dépendans de x seul ou de j* seul ;• et , en oulre, qu'il n'existe entre elles aucun facteur commun fon<;tioh de jèetjr : 'c'est en cela * que consistent les simplifications que j'avais en vue.

4' 7* I^our éviter les accens, supposons que les dernières équations dont on vient de parler , et qu'il s'agit de résoudre , soient représentées^par

[l] A=aO, BsO,

S Ayant ordonné ces équations par rapportât, supposons que

<^ cette inconnue soit à un plus haut degré dans^que dansB, ou à

im degré égal ^ divisons A par B , et ayons soin d'arrêter l'opéra-

'^ tion dès qu'oi; est arrivé à un reste qui ne pourrait plus se divi—

^ ^ ser sans n^Ure dans le quotient des dénominateurs fonctions de

^^j, Représetrons par R ce reste, et par Q le quotient trouvé 5 on

=î ^aura

:t:3 A = BQ+R.

De celte égalité on conclut que si certaines valeurs de x et dey rendent nuls A et B , elles doivent donner aussi R = o ; donc ces Valeurs doivent se trouver parmi les solutions des deux équations

r ^^ciproquement les valeurs de x et de^ qui vérifient ces équat ^^ns doivent donnter A 8=0, et satisfont par conséquent aux

588 LEGOKS D*AL01B1E.

proposées ; donc on peut remplacer le système des ë<|aatîoiis [i] par celui des équations [2].

Pour plus de simplicité, supposons, ce qui n'arriye qae dans des cas particuliers, que la division ait conduit, sans placer j^ds^ aucun dénominateur, à un reste de degré moindre^ par rapporta x^ que le diviseur B. Divisons maintenant B par R, et sapposom encore que, sans mettre jr en dénominateur , on ait trouvé le reste R^ Les équations [2] pourront être remplacées par deax autres plus simples encore, savoir :

Si R' est de degré moindre que R , oii divisera à son tour R par R' ; et Ton continuera de diviser ainsi chaque reste par le suivant»

En supposant que chaque division nouvelle conduise d^ellemime à un reste de degré moindre en x que le diviseur, sansqu'oB soit obligé dé mettre au quo^ent des dénominateurs fonctions de j^, on arrivera nécessairement à un reste indépendant de x, SoîK R' ce reste : alors les équations [3] tiendront lieu des proposées; et comme la seconde, R^=o , ne contient qu'une seule inconnqe, elle fera connaître les valeurs de celte inconnue , et eosuite la première, R = o, fera trouver les valeurs correspondantes de x.

4 18. Il n'y aurait rien à ajouter sur la résolution des équations [t] , si les divisions pouvaient toujours se faire avec' les conditions énoncées; mais il n'en est ainsi que dans des cas très - particuliers. Cependant , pour que les conséquences trouvées précédemment ne soient pas infirmées, il faut que les quotiens ne contiennent j^ dans aucun dénominateur. ^

En effet, reprenons les équations A = o, B=: o , et supposons

que la division de A par B ne puisse point conduire à un reste de

' degré inférieur à B sans placer j- en dénominateur dans le quotient

En désignant ce quotient par r^ , K étant une fonaion de /,

on aurait

Si Fou met pour x et pour j^ des valeurs qui rendent A et B égaux à zéro , il peut se faire que K devienne aussi éfjià à zéro :

LIERONS D^LcàBRI. 38g

alors -=Tr- devient — et peut avoir une valeur finie ou infinie • et A o ^

par Conséquent R peut lui-même prendre une semblable valeur. Donc on ne peut plus affirmer que toutes les solutions des équations A = o , B = o , se trouvent parmi ceHes du sysième B s=: o , B. = o. La réciproque ne serait pas plus vraie, car B et E étant réduits à zéro, K pourrait être aussi réduit à zéro, et dès-lors le second membre pourrait n'être point nul; donc A lui-même pourrait n'être pas nul. ^ ^

Pour éviter les fractions, on aura recours au même moyen que dans la recherche du plus grand commun diviseur. Kemarqtions .d'abord qu'il n'y a pliis de facteur commun fonction de y dans les dififérens termes de B ; en sorte que si Ton multiplie le dividende A par le coefficient du premier terme de B, ou bien, lorsque cela suffit, par quelques facteurs de ce coefficient, la division deviendra possible, et aucun factehr commun n'aura été introduit dans A et B. Mais cette multiplication peut ajouter aux équations^roposées des solutions étrangères : en effet, si C représente ce multiplicateur fonction de j-, Q le quotient , et R Je lesfë , on aura

CA = BQ+R5

et cette égalité prouve que les solutions des équations B = o , R =3: o , sont les ftiêmes que celles des équations CA = o , B = o. Or, ces dernières équations se partagent en deux systèmes, savoir ,•

[À»=o,B=o] et [C = o,B = o]:

donc, outre les solutions des équations proposée ^ les équation^ B = o, R=o , feront encore trouver celles deâ équations C = o , B = o. Il faudra donc résoudre ces dernières , dont l'un» C = o ne contient que j*, puis substituer les valeurs correspondantes de X et de j^ dans l'équation A = o; et les couples de valeurs qui ne satisferont point à cette équation devront être de trop parmi les solutions des équations B=o , R = o. Par conséqueht , ces couples devront être supprimées.

« La question est ainsi ramenée u résoudre les deux équations

3gO lÊÇONS D*ALGEBBE.

On examine (Tabord s^il y a dans R des facteurs fonctions de/ oi de Xi, Supposons qu'il eu existe, désignons-les par /"ety, et soilr le quotient de R par//' 5 on pourra décomposer R enffr^ clpir suite remplacer les équations précédentes pai; les trois systèmes suiyans :

Les deux premiers systèmes n^pfirent point de difficulté j car/ne contient que y, et/' ne contient que x : il suffit donc de s'occnper du troisième.

& et r n^ont aucun facteur commun : car, s^il y en avait un, il devrait se trouver dans A et B, ce qui est contraire à la supposition. De plus, ni B ni r ne renferment de facteur fonction de/ Seul ou de x seul ] donc les équations

peuvent ê|re traitées tout*à-fait comme les équations primitives A = o , B = o. Ainsi , on les remplacera elles-mêmes par dcai autres «

qui seront dans le même cas que les précédentes, mais dont la sc" conde, / = o, est de degré moindre en x que la première, r^=o*

Celles-ci à leur tour peuvent se remplacer parMeux autres, dont la secoTide sera encore de degré moindre que r' = o.

En continuant ces opérations, qui sont en tout semblables à celles qu'on ferait sur A et B pour chercher le plus grand commun diviseur de ces polynômes , on arrivera toujours à un dernier ^este qui ne contiendra plus Tinconnue x. Supposons que ce reste soit / : alors les équations proposées dépendent des équations r= o ,*r=o, lesquelles ne peuvent offrir aucune difficulté, puisque la deuxième ne contient plus que la seule inconnue j'.

Il ne faut pas oublier qu'en remontant des équations r=o, r^=o, aux précédentes B = o , r= o , il peut se faire qu'il y ail quelques solutions à ajouter et d'autres à supprimer; qu'il peut encore en être de même en rcmc^ntant des équations B=o, r = o , ajix équations A = o , B = o ; et ainsi de suite, sUl y avait un plus granil nombre de divisions succedsives.

LEÇONS D^LGÈBAI. 3g I

La mélhode qui yient d'être dëveloppée ne conduit point toujours à une ' équation unique e»^, mab bien à' plusieurs , dont quelques unes peuvent donner pour cette inconnue des valeurs fausses. Quand on aura .reconnu toutes celles qui entrent Térita- Llemcnt dans des soltflipns communes aux deux équations, il sera facile, si cela est nécessaire, de les i-éunir dans une seule équation j qu on prendra alors pour l'équation ûdÊke ; mais cette réunion est rarement utile. ,

jippUcatlon à dtê -exemples»

* 419. Exemple I. Soient

on propose de résoudre les équations M=o, N= o. Il y a de nombreuses simplifications, car on trouve

N ^j-ix—i) {x+j-) Xjr{x'--y).

En égalant d'abord à zéro chacun des facteurs communs à son tour, il vient •

{j-srzOj ( ^ iadét. ( j- indét.

^indét. ( ar=i. ( * = — ^•.

Et, en égalant ensuite les autres facteurs à zéro, on a quatre systèmes d'équations, savoir :

Sga LEÇONS B^iudauBi

Danf les trois preqûers systèmes, toutes les solations 4 excepté xss — =1 et j^= — t, sont déjà connues , «t, dans le 4*y celles oà Ton a x=z-—j'^ le sont aussi 5 de sorte qu^on ne troaye yéritablement que trois solutions nouvelles^ savoir :