j'^*— 2y*^-hr*-Tr

Deuxième division,

X—ajr

Donc les équations finales sont

*— 27=0 , y—y=o , d'où l'on tire

Comme on n^a introduit ni supprimé aucun facteur ^ ces d^nt solutions soot celles des proposées elles-mêmes.

LEÇONS D^LGEBAB. ' SgS

. 4^1* ExEiiPLE III. On proposa à résoudre les deux équations

jx*4"9'^ — ioj-i=o.

- Première division, .

Puisqu'on a multiplié par j^, il faut résoudre les équations j'rso, yx^-^-gv — io/=:o, lesquelles donnent a:=o, j-rso; et examiner si ces valeurs rendent le dividende égal à zéro. Gomme cela n'arrive pbint, il s'ensuit qu^elles forment une solution étrangère qu'il faudra supprimer.

Deuxième division .

j-ar'-l-gr— icy^

-H-Sj^+lJ*)^

(— 57-34. )(7y4-9)a:— 490^34. i26oj-«— 81 oy

nSj-^ '^']oj'^ — 1 267-3 4 4i4j^" — 243/

Les équations finales qu'il faut résoudre sont donc

La seconde donne,, ainsi qu'il est facile de le vérifier,

— 3ih3 VU y=o, j^=i, jp=3, j= ■= ;

et, en substituant ces valeurs dans la première équation', on obtient pour X les valeurs correspondantes

;es=o, .rasi, ^s52, xsA^S-^pVio.

3g{ tlÇCmi D*lLQiBRS.

Dans la deaxième division , on a été obligé de . mnltiplier p||r — 77--4-9 , mais il est facile de voir qu^aacune solution étrangère n^a été introduite. Il y a donc seulement à supprimer , dans la cinq solutions ci-dessus, celle qui a été introdaite par la premi^ division. Il reste ainsi, poiir les équations proposées , les quatre solutions suivantes :

(x=i, \xs92j lar=s-i-.5— VTô", .l:r= — l

—34.3 Vio — 3-.3V^7

'=» rj=3 (y= — ^-V — ty 5 —

-5+V^io.

é^2i, Exemple lY. Soient encore les équations ^* + (8r — 1 3).r 4-^» — ÎTVf 1 2=0,

Première division.

(i2j'— ,2)0:.— i2j-+ia

Ce reste se décomposant en facteurs 12 (^' — \){x — ^i), lescalcubse simplifient, et Ton a ces deux systèmes d'équations

Chacun dVux se résout sans qu^il soit nécessaire de continuer la dirisions^ et Ton trouve

(x = 3, ja:=2, (x=i, l

Remarques sur la méthode iï éliminât ion par le plus grand comtimn

diviseur,

423. Les remarques suivantes ont par elles-mêmes peu d'importance; elles prouveront seulement que si Ton a bien compris la méthode, on ne pourra rencontrer aucune particularité dont il ne soit facile de se rendre compte. •

LCÇONS D^ÀLGÈBllE. 3^

I. Qaand on a fait toutes les simplifications prëlimin aires (4x6), les polynômes que Ton soumet aux divisions successives ne peuvent plus avoir de facteurs communs. Or , ces opérations sont absolument les mêmes qu^on ferait pour déterminer le plusgrand commun diviseur des deux polynômes : ainèi , on est sûr de ne point arriver à un reste nul.

II. Il pçut se faire que les termes en y se détruisent dans le dernier reste et que ce reste se réduise à un nombre. Alors ce reste ne peut pas être rendu égal à zéro^ et les deux équations finales sont absurdes. On en conclut que les équations proposées sonl impossibles o\x incompatibles^ à moins qu'il n'y ait eu des solutions supprimées d^ns le cours du calcul, et dont la méthode a appris à tenir compte. i^

11 est facile de composer des équations incompatibles : par exemple, on aura des équations qui offiriront cette particularité, si l'on pose

P=o, PQ+^ = o,

P et Q désignant des fonctions entières quelconques de a: et de j^, et ç étant un nombre déterminé. Il est évident en effet que ces équations sont incompatibles^ carfa première réduit la seconde à f=t> : résultat absufde, puisque^ est. un nombre.

m. En supposant toujours que les simplifications prélnuinai-» res aient élc efFcctuées, et qu'on suive exactement la méthode exposée n" 4i8, il est impossible que réquation finale donne pour j; une valeur qui rende nul le dernier diviseur^ En effet , supposons que les équations finales soient

G , Il , K , Y, étant des fonctions ànj seulement. Admettons que ^ soit une racine de Y=o qui vérifie la première équation , sans aucune détermination de x. Cela ne peut arriver que parce que G, H, K, deviennent zéro séparément : doncj- — p serait facteur de ces quantités, et aussi de Gj:*+H:r+K. Or cela ne doit pas arriver^ car, avant de prendre un reste pour diviseur, on le dépouille de tous les facteurs fonctions de x seul^ ou dc^'seul, qu'il peut contenir (4i8). •

3g6 LEÇOKS D'iLcàBBE.

lY. Comme les valeurs àejr , tirées de la dernière équation, doivent être substituées tour à tour dan j une même équation, qoi peut contenir x à un degré supérieur au premier y on poomit penser qu'à chaque valeur dej^, il corjesppndra toujours le mène nombre de valeurs de x. Mais une pareille conclusion serait trop précipitée ; car il est possible que quelques unes des valeurs] de , jr fassent évanouir plusieurs termes de Féquation-en x^ et que par suite cette équation soit réduite à un degré moindre.

Pour développer cette remarque, supposons^ comme ci-desniy que les équations finales soient

Gr»+Ha: + K-o, ï = o.

Si la valeur dej*, qu'on substitue dans la première équation , ne fait évanouir aucune des quantités G , H , K , il est claîr qu*(A aura deux valeurs correspondantes de x. Mais il peut se (sire qu'une autre valeur de j- rédxiise G à zéro, sans y réduire H, et alors il n'y aura qu'une valeur de x. 11 peut même se faire qu'aoe valeur de y anéantisse G et H en même temps, sans anéantir K,* et dans ce cas cette valeur tic conviendrait pas à la première, équation. ^

Toutefois il est à observer que si l'on résout Féqu^a Gj:'4"Hx+K=o , avant d'y remplacer j- par sa valeur , on obtient toujours pour x deux valeurs^ mais que l'une d'elles devient infime lorsqu'on a G=o, et ^ue toutes deux sont infinies quand on a à la fois G=o, H=o.

Y. Supposons maintenant qu'on n'ait fait aux équations ancune siûiplificatiou préliminaire, et qu'on ait également négligé celles qui peuvent se présenter dans le cours du calcul^ supposou même qu'on ait introduit, pour rendre les divisions possibles, def facteurs inutiles : on pourrait encore arriver alors à la résolutioo des équations proposées.

Soient

les équations données. Supposons que , pour faire la division de A par B, on multiplie A par G, et qu'on arrive au reste K ^ sopposdhs que dans la division de B par R on multiplie B par C, et

LEGOXS D^ALG^BEI,

, cm'on ait le reste R'; exi&n supposons , pour fixer les idëes , que a' ne contienne plus ir. Nommons Q et Q' les deux quotiens : on

aura

AC = BQ4.R, BC=RQ'+R'.

s ' Il est éyident que les équations finales

-{ tiennent lieu des systèmes

Pour n'avoir que les solutions du premier, on résoudra le second, ^ et oïl substituera les solutions qu* il fournit dans Fëquation B = o,

ce qui fera copn^tre les solutions qui ne conviennent point 'au s. premier système. En conséquence , on supprimera ces solutions B parmi celles que donnent les deux équations finales , et alors il ne 7 restera plus que telles du système .

Maintenant, il est évident aussi que ces dernières équations ad- =: mettent toutes les solutions des deux systèmes

r II faut donc résoudre le second et substituer dans A=o les solutions quUl fournit , afin de connaître celles qui ne conviennent r pas aux proposées. En les supprimant parmi les solutions qui nous z, sont restées tout à Theure pour les deux équations B=o , . R ==so, '■ on n^aura plus que celles qui conviennent aux équations proposées

- YI. Si aucune simplification n'a été opérée sur les équations proposées, il peut se faire qu'elles aien Ades facteurs communs ^ et si en outre , loin de supprimer aucun facteur dans le Cours du calcul, on ne prend point de précautions pour éviter d'en intro-

r duire id'inutiles , ii est clair qu'pn peut trouver à la fin un reste nul. .

Quand cela arrive^ le plus grand commun diviseur des équa-

398 LEÇONS D^ÀLGEBAC. .

lions est cgal au dernier diviseur, si les multiplications n'ont pu introduit de nouveau facteur commun. SMl en est autrement , 3 est facile de rechercher, eu tevcnant sur les calculs , quels bateurs communs ont é^ introduits ; et en les supprimant dans le dernier diviseur, on aura le plus grand commun diviseur des premiers membres des deux équations. Désigûons-le par D , et écri- Tons les équations sous cette forme

A'xD=o, B'xD=o.

On vOit qu^on satisfait à toutes deux en posant I>=?=o, éqnaticm qui admet une infinité de solutions. On y satisfait ^encore en po« sant en même temps A'=o, B'=o; et, pour avoir Tes solutions ({oe ces dernières équations déterminent, on peut Icuè appliquer le même procédé qu'aux proposées : on est sàr alors de ne plos trouver de reste, nul. '*

Mais on peut aussi s^épargfler ce nouveau calcul, et se servir da premier ainsi qu'on va Texpliquer. Supposons que R et R' soient les deux restes, fonctions de x, qui précèdent le reste nul. lit théorie du commun diviseur prouve que R et "Rf contiennent tous les facteurs de D^ et en outre les facteurs communs qui ont pu être introduits sans que cela fût nécessaire. Divisons d'abord R et R^ par ces derniers facteurs , et . ensuite les deux quotient par D, puis désignons par r et. /' les nouveaux quotîens. Il est clair que les équations

rXD=:o, i'xD=o,

contiendront toutes les solutions des équations proposées , plos celles qu'on a été oljllgé d'introduire pour rendre les divisions possibles. Mais Aé]li il est prouvé que les solutions données par Fé* quation unique D=o conviennent aux proposées; donc eu pesant à la fois

rsbo, ;'=:o.

on aura les équations qui déterminent toutes les autres solutions. Sans plus de détails, on voit qu'on peut se dispenser d'effectuer sur A' et B' de nouv^es opérations, et comment on peut se servir de celles qui auraient été faites sur A et B.

LEÇOKS o'algèb&e. Bgg

YII. Quand on omet les simplifications prescrites , rien nVm-

^ pêche qu une yaleur de^ ne satisfasse en même temps -aux deux

' équations finales.

? Supposons que Y soit lé dernier reste, et Gjr-f-H Tavànt-der-

*' nier^ de sorte que les équations finales soient

Ga:-f-H=o, Yp=o.

Désignons par p la valeur de j^ qui rend nuls Y, G et H. II ne faut

pas en conclure pour cela, que s reste indéterminé , car il est posr

•ible que jr — ^ soit un facteur introduit* G^est ce qui sera arrivé

£ en effet si on suppose que le reste qui a précédé Gx-f-H soit

! rG'x'+H'jT-j-K, et que G' ne contienne point le faicteàrj^— p. Or,

s les équations .

7 G'a:«4*H'*+K=o, Ga:+H=o,

te

ton tiennent , parmi leurs solutions , toutes celles des proposées ;

* et, d'un autre* c6té , le facténr j- — p , qui se trouve dans la se-

r conde, ne se trouve pas dans & : donc, en mettant ^ à la place de jr dans la première, on trouvera deux valeurs correspondantes

: pour X. Cette inconnue n^stdonp point indéterminée comme on aurait pu le penser..

Le facteur j*—/8 aura encore dà être introduit, s^il se trouve au carré dans G, et au premier degré dans G'. Alors ^ la première équat*on ne donne plus qu^une seule valeur de x correspondante kj'=^p : à moins qu'on ne tienne compte de la valeur infinie, qui correspond ordinairement au cas où 1^ terme en x* disparaît d'une équation du second degré.

Ainsi , on voit que c'est la multiplication p^rj* — /S ,. faite à la dernière division, qui a amené l'indétermination de x dans

. les équations finales; et Ton voit en même temps qu'il faut Recourir au reste qui précède Tavant-demier pour avoir cette inconnne. Si ce reste devenait nul aussi parla valeur j*=:/3, on remonterait au reste précédent ^ et ainsi de suite; Si on est obligé de remonter jusqu^aux équations A=0} B=s o, et qu'elles soient elles-mêmes vérifiées en y faisant^ssp, c'est une preuve que xdoit en effet rester ind^termin*é.

^OO LEÇONS D*ALGÈBEI.

Sur V élimination entre un nombre quelconque dCéqualiims.

424. Jasqa ici les équations à résoudre étaient au nombre de deux seulement. Supposons- qu*6n en ait trois entre les inconniies Xj^jZi pour parvenir à une équation finale en z^ on pourra éliminer d'abord x entre la première et chacune des autres; pqis, y entre les deux équations résultantes. Mais alors il est presque impossible de se rendre compte des solutions qui sont introduites cm supprimées , et Ton arrive presque toujours à une équation finale trop compliquée. Ce qu^on dit ici de trois équations 5*appliqiie à plus forte raison aux cas où il j en aurait davantage.

Bezout a considérablement perfectionné cette branche épineuse de Fanaljse , dans son grand ouvrage intitulé : Théorie générak des équations algébriques. Mais malheureusement les méthoda quMl propose , outre quelques difficultés théoriques dont elles ne ont pas exemptes, exigent encore des calculs si compliqués qu'on doit les regarder comme impraticables. L'exposition de ces méthodes, né saurait faire pai'tie d'un livre élémentaire , et 'je me bornerai à indiquer ici le beau théorème dii à ce savant , et dont voici l'énoncé :

Sij entre des équations en nombre pareil à celui des inconnuesj on élimine toutes les inconnues hors uncy le degré de Véquatm finale devra, être tout au plus égal au produit des degrés de ces équations,

4^5. Sans entrer ici dans aucun détail sur la résolution des éqnationSy il est facile de reconnaître que si elles sont en même nombre que lès inconnues, elles n'admettront en général qu'un nombre déterminé de solutions.

Supposons qu'on ait n équations entre tz inconnues ^, r, «,•.# si on considère Tune quelconque d'entre elles , on doit accorder, lors même qu'on ne saurait pas la résoudre par rapport k jt, qu'die détermine pour cette inconnue un certain nombre de valeurs «, eJ^ «", a",. •. qui généralement seront des fonctions des autres inconnues^, jz. . . En substituant a dans les équations restantes, on aurait n — i équations qui ne contiendraient plus que n— i inconnues ; de même en substituant «^, on aurait un autre groupe

LEÇONS DALGEBBE. ^0|

de fi— I équations entre^z— i inconnues ^ et ainsi de suite pour chacune des autres valeurs, «", «'*',...

Si on prend chacun de ces groupes séparément, on conçoit qu'en tirant de l'une des n — i équations les valeurs d'une inconnue, pour les substituer dans les n — 2 équations restantes , on pourra aussi remplacer ce groupe par d'autres groupes, composés chacun de n — 2 équations entre n— 2 inconnues.

En continuant de cette manière , on arriverait à une équation qui ne renfermerait plus qu'une inconnue , et qui déterminerait pour cette inconnue un certain nombre de valeurs.

Si ces valeurs étaient trouvées, on pourrait , en remontant successivement jusqu'à la première inconnue, obtenir les valeurs correspondantes de toutes les autres inconnues.

Par cette explication il est manifeste que les n équations données L ne peuvent avoir qu'un nombre limité de solutions. ' ^i&. Maintenant supposons qu'il y ait plus d'équations que d'in t connues. Soit n le nombre des inconnues, n -^-^ k celui des équa lions ; et , parmi ces équations , prenons en à volonté un nombre i ëgal à n. D'après ce qui vient d'être dit, ces n équations détermi-* neront en général un nombre limité de solutions ; et comme ces solutions doivent aussi satisfaire aux k équations restantes, leur -. substitution donnerait k équations de condition, Qn les nomme -; ainsi parce qu'elles ne contiendraient plus que des quantités con- . nues et qu'elles devraient se vérifier d'elles-mêmes pour que les

équations proposées ne fussent pas incompatibles, î Lorsqu'on a plus d'inconnues que d'équations, il y a indéter 3 mination. En effet, si «-f-Zr désigne le nombre des inconnues, et n 3 celui des équations, il est évident qu'on pourra attribuer des valeurs arbitraires à k inconnues , et déterminer ensuite les n autres inconnues au moyen des n équations données. ::^ Au reste, ce qui vient d'être dit, dans ce u** et dans le précédent, - soufire quelquefois exception. Par exemple, dans des cas particuf. liers, il peut se faire que les équations soient en nombre égal aux ^ inconnues, et que cependant elles soient incompatibles ou qu'il j ^ ait indétermination. JLcs équations du i*""^ degré en offrent unt : preuve.

4oa

LEÇONS DALGBME.

Usage de ^élimination dans la transformation des équations» Équation

aux carrés des différences,

427. Nous avons déjà dit (SgG) que les méthodes générales d'élimination pouvaient être nécessaires pour opérer la transformation des équations. Elles le sont surtout dans les cas où chaque racine de la nouvelle équation doit être composée avec plusieurs racines de Féquation donnée. Un seul exemple suHira, et je choisis la question suivante, qui doit se présenter plus tard dans une recherche importante.

Etant donnée une équation quelconque à une seule inconnue^

trouver une autre équation, dont les racines soient les différences

entre celles de la première j combinées deux à deux.

Soit l'équation proposée

jr'» + P:c"»-' + Q-^'"""'+ etc. =0.

Nommons x et x^ deux quelconques de ses racines et r leur différence, de^sortc qu'on ait x'=x^j' : l'équation [A] devra être satisfaite en y mettant cette valeur au lieu de x y et par conséquent on a

{x -J-^)'" +P {x+j')'^-'+ Q [x +r)'"~' + etc. = o.

Développons les puissances : en représentant par X, X', X", etc. le polynôme :r'"-4-P:c'"~'+etc. et ses dérivés successifs, il viendra

Mais X est ici une racine de [A] , donc on a X=o , et par suite l'équation ci-dessus étant divisée par^ devient

X'4-ixy4.^,x>'+. . .+^-'=0.

Avant la suppression du facteur^, x et x* étaient deux racines quelconques de l'équation [A] , et rien n'empêchait de supposer x^ttsx. Or, la différence x — x étant zéro , il faut que l'équation eu j-, avant la suppression du facteur j*, ait pour racine r=o. C'est en effçt ce qui arrive puisqu'elle est divisible par j-^ et en

ri «e

et

dei paj

LEGOPrs d'algèbre. 4o3

opcrant la division cette racioe se trouve sappriinée : de sorte que les m — I valeurs Aey dans réquation [B] ne sont plus que les différences qu'on obtiendrait en retranchant la racine désignée par X de toutes les autres racines de l'équation [Â].

Maintenant , afin de distinguer entre elles les m racines de l'équation [A], représentons-les par a^by c, d^. • ,i puis imaginons qu'on remplace successivement, dans [B] , x par chacune de ces racines. Il résulterait de ces substitutions 772 équations , dont la première aurait pour racines les différences entre a et toutes les autres racines b y c , d^. • • \ la seconde, les différences entre b et les autres racines a^ c^ d,* • .^ et ainsi de suite. Par consé' qucnt , en éliminant x entre [A] et [B] , l'équation finale en j" aura pour racines les différences entre chacune des racines de l'équalion [A] et toutes les autres racines de la même équation : elle sera donc l'équation cherchée. On la désigne d'une manière abrégée par la dénomination d'équation aux différences,

428. Remarques, Pour qu'elle soit en effet l'équation aux différences , il faut que l'élimination n'ait point supprimé de vraies racines ni amené de racines fausses. C'est dans cette supposition que je continuerai de raisonner. S'il en est autrement ^ on sait comment on doit tenir compte des unes et des autres.

Saiis effectuer l'élimination, il est facile de reconnaître quel çera le degré de cette équation. En effet, ses racines sont

b — n, b — c, b — ûf, .••,

etc.;

et il est évident que ces différences sont en même nombre que les arraugemens deux à deux des m lettres a, b y c, etc. 5 donc réquation aux différences est du degré m (w— 1)*

J)e plus, on voit que s'il existe dans cette équation une racine et égale à a — by il y en a une autre — « égale à b — a 5 donc le premier membre est composé dé facteurs qui peuvent se grouper deux par deux en produits tels que (jr^cc) (j^+«J = J^'— «% et par conséquent Téquation ne contiendra que des puissances paires ^e r. Donc , en posant w (m— i) =r fin y elle sera de la forme

^o4 LEÇONS d'algèbre.

Enfin, on peut faire j*'=s, et elle devient

[D] z'»+;;z»-'+(7z«-». . .+wz+f = o.

Celle-ci est appelée équation aux carrés des différences , qu'en effet, z étant le carré dej-, elle a pour racines les carr différeoces des racines de la proposée [A].

429. Comme application , proposons-nous de trouver réqi aux carres des différences de Téquation du 3* degré.

Avant tout je remarquerai d'une manière générale qi équations [C] et [D] ne doivent point changer qoand on mente ou quand on diminue d'une même quantité tout racines de l'équation [A]. Par conséquent, si une équation de a sou second terme , on pourra le faire disparaître (Sga) et cher ensuite Icquation aux différences de la transforipée trouvera ainsi la même équation que si on n'eût point fait nouîr le second terme , mais les calculs seront moips compli D'après cette observation, je supposerai que Féquation du3*< n'ait plus de second terme , et qu'elle soit

Lorsqu'on désigne par X=o l'équation donnée, et par X", X'*', etc. les polynômes dérivés de X, la règle pour tro réqualion aux différences est d'éliminer x entre les deux é tions

X = o, X'+^X>+.^XV + etc. = o.

Or , dans le cas actuel , on a

X=a:3 + Qx+R, X' = 3:c> + Q, X'' = 6:*r, X"' = 6j

donc l'élimination de x doit se faire entre réquatipu [i] celle-ci

En conséqueuce , on ordonnei'a cette équation par rapport ï puis on opérera comme s'il s'«gissait de trouver le plus gn compiun diviseur des premier membres de [i] et [a].

LEÇOVS D^ALaÈBBE. 4^^

. Première division.

x—jr

Deuxième division.

6O-«-K})a:«+60j»+Q)jar 3x+3(^3+Qj— 3R)

— fi(^'+Q)^'— 3Cr^+Q^4-3R)r

3(j-^+Qj-— 3R)x+2(j-'+Q) »

6(r'+Q ) f j-'+Qj— 3R) r+4( ;''4-Q)3

— 6(j-'+Q)(r'+Qr— 3R):c— 30^+Qj>'+3R)(jr3+Qy-3R) .

40 *-K>;'-3o'4-Qy4-3R) ry^+Qj— 3R)

Dans la dernière division , on a mulliplic deux fois par j-'+Q pour rendre les divisions possibles; mais si on posej''4"Q=^> ^^ divîsenr se réduit au coefficient R , lequel en général est différent de zéro. Ainsi, en égalant à zéro le dernier reste et eiToctuant les . opérations indiquées , Féquation aux différences sera

;^.6^.gQ^44-c)QV+4Q'^4-23R'=0 5

puis, en posant j' = Zy on aura l'équation aux carrés des différences

z3+GQz'+9Q'z+4Q3 + 27R»r=o.

Dans le cas particulier de l'équation numérique

X^ — nX-^J =0y

on a Qas— 7, Rs=r-j-yj et l'équation en z devient

LEÇONS DjLLGEBBÏ.

Usage de fcliminatisn pour Vcvanouissemunt dés radicaux.

43o. Les procédés qui servent à cilculer les racines d'une équation supposent que Finconnuc ne se trouve sous aucun radical; par conséquent, il est très-important de savoir changer une équation compliquée de radicaux en une autre qui ne renferme que des termes rationnels. Or , Févanouissemcnt des radicaux, en le considérant sous un point de vue général , nVst qu^une questioo d'élimination. Un exemple suâira pour le faire comprendre.

Soit Féquation

a: — Va>^Hr-(- V^ x 4- I a= o,

dans laquelle chaque radical est censé rcprtsenter indifleremmcot toutes les déterminations dont il susceptible. En posant

elle devient

et alors on voit qu'en élipiinant j* et z entre cette dernière équation et les deux précédentes, on pourra obtenir une équation ea ^, qui sera entièrement dégagée de radicaux : car les méthodes générales d'élimiaaiion n'eu introduisent aucun dans - les résoi-

tdtS»

Dans notre exemple lès calculs sont faciles. La dernière équation donnantjr = z-|-^) réquationj"'=x — i devient

z'-f-axx-f-^' — a:+i = o;

et ensuite , pour éliminer z entre celle-ci et l'équation z'=îT+I| le procédé du plus grand commun ^diviseur suffira. On troufeia que l'équation finale est, sans aucune complication de racines étrangères,

43 1 . Les méthodes générales d'élimination sont si compliqnces qu'on doit toujours chercher quelque moyen de les éluder, k

LEçovs d'algèbae* 4^7

cas où réquation ne contient qu'un seul radical s^est déjà prëscnlce (4i3) , et nous avons tu qu'on le fait disparaître en Yisolant dans un membre de Véqttation , et en élevant ensuite les deux membres à la puissance marquée par l'indice du radical.

Cette règle, quoique très-simple, a néanmoins besoin de quelques explications. Le plus ordinairement, quand on élève les deux membres d'une équation à une puissance, elle acquiert de nouvelles racines. Par exemple, si on a ax^-^-b^cx et qu'on élève au carré, il est clair que la nouvelle équation {ûa:'+i&)* = c'a:" aura non -seulement les racines de la proposée, mais encore celles de Féquatlou ûa:*+^= — ex. Ainsi, il y a lieu d'examiner si la règle donnée ci-dessus, pour l'évanouissement d'un radical, ne fait pas acquérir trop d'étendue à Téqualion.

Snpposons qu'après avoir transposé le radical , réijuation soft

[•] X= Vf,

X et Y étant des fonctions des inconnues : par l'évanouissement ■ du radical, elle devient

[2] X«=Y ou X"— Y=o.

Le radical V Y est censé avoir toute la généralité possible, c'est-àdire qu'il représente indifféremment chacune des déterminations dont il est susceptible. Quelle que soit celle que Ton considère, toutes les valeurs des inconnues qui satisfont à l'équation [i] ne sauraient manquer de satisfaire à l'équation [2]; et ce qu'il faut prouver, c'est que la réciproque est également vraie.

Si on avait l'équation a:" — A=o, et qu'on désignât par A', A", '

A"', ... les n valeurs de V^A-, on sait (38i) qu'on devrait avoir

x--^ k={x —A' yx—k!') [x—sV) ...

Or, on peut remplacer ici a: et A par telles quantités qu'onv oudra: en conséqueniîe, je désignerai par Y', Y", Y'% etc., les n déter-

minationsde VY, et je mettrai X, Y,Y', Y",. • . au lieu de *, A, À! yA"j. . Il vient ainsi

4o8 LEÇONS D^ALGÈBBE.

donc on ne peut latbfaire k Fcquation [a] qu^en posant

X=r, ou X=:Y", ou X=Y"', etc.

Ces dernières équations ne sont autres que la proposée [i] dans laquelle on aurait mis successivement chacune des déterminations de

K Y; donc enfin les solutions de cette équation sont les seules que contienne Féquation [2].

L'explication prcccdeute montre en môme temps comment il se fait que cette dernière équation devienne trop .étendue quand

le radical VY représente spécialement une des n déterminations dont il est susceptible, comme cela arriverait , par exemple , sH devait avoir une valeur réelle.

433. Quand une équation renferme plusieurs radicaux, il ne faut pas croire qu'on puisse en général faire évanouir succesâ- Tement chacun d^eux par la rëg!e précédente: car, dans le cas on il n'y en a que'deux, il y a déjà lieu de remarquer que Topération, qui fait disparaître un des radicaux, amène dans l'équation pin* sieurs quantités radicales qui ne s'y trouvaient pas auparavant. Par exemple^ si on a

x+ \/y = vz,

et qu'on élèTC à la 4* puissance, il Tient