CHAPITRE XVITI

Résolution des équations numériques.

Racines eommensurahîes,

436. A défaut de méthodes pour résoudre Téqualion géocrale de chaque degré, le but vers ]e<(uel je dois tendre maintenant est de faire connaître les procédés à Faide desquels ou dctcrmioe, d'une manière exacte ou approchée, les racines des équations m/« mériques. On nomme ainsi celles dont les coei&cicns sont des nombres donnés.

Les racines peuvent être réelles ou imaginaires, et, parmi les racines réelles, il peut y en avoir de commensurables. Il existe pour trouver ces dernières des procédés fort simples tjue je vais exposer d'abord.

437. Je commencerai par chercher les racines commensurables entières. Soit l'équation

[1] Aa:4+Bx3 + aT*+Dx4-E=:o, •

dans laquelle je suppose que tous les cocfficienS soient entiers. Représentons par a une racine entière de cette équation^ on devra avoir

[2J Aû4-fBû34-Ca»4-Da+E:=o,

d'où , en transposant et divisant par a ,

-^— Afl*— Bt.»— Cei-D.

Le second membre étant entier, on conclut que a est un diviseur

LEÇONS d'aLQCBRE. ^\ l

de £. Aînsî, on voit déjàqu'on pourrait découvrir les racines commensurables entières ensubstituant successivement dans l'équation touslcs diviseurs du dernier terme, tant positifs que négatifs. Mais^ quand le dernier terme a beaucoup de diviseurs , ce procédé exigerait un grand nombre de substitutions^ et alors on abrège le calcul au moyen de. nouvelles conditions , qui se déduisent de la ^ dernière égalité.

E Faisons — =E', passons D dans le premier nombre^ et divisons

a par d, on aura

a donc la somme E'+D doit être divisible par a.

Faisons =D', transposons C, et divisons encore par/i,

a il vient

• = — Art— B;

donc la somme D'-f-C doit être divisible par ^.

Faisons encore s=rG', transposons B, et divisons par ^,

on obtiendra

iVA-B Enfin, faisons =B' et transposons A, on aura

donc la somme B'+A doit être nulle.

Si une seule des conditions précédentes vient h manquer, le nombre a n'est point une racine. Mais il en sera une si elles sont toutes remplies; car alors, en remplaçant successivement les lettres B', G',... par- les quantités qu'elles représentent, on pourra remonter de légalité B'-|-A=o jusqu^à l'égalité [a].

Ainsi, en résumé, après avoir préparé une équation de manière que tous ses coeilicicns soient entiers (et alors celui du premier *

i(ia LEG05S D^ALGIBRS*

terme peut être diiTérent de l'unilé), les conditions auxquelTes on reconnaîtra qu^un nombre entier est racine de Féquation seront ^Ues-cî :

Qu'il soit un diviseur du dernier terme;

Quil divise exactement la somme qiion obtient en ajoutant k quotient avec le coefficient du terme affecté de x^

Qu'il divise exactement la somme du nouveau quotient ajùuté au coefficient du terme affecté de x*^

Et ainsi de suite ^ jusquà ce qiHon arrive à ajouter le coeffi' cient du premier terme de V équation avec le dernier quotient] ce qui devra donner une somme égale à zéro*

On pourrait encore assigner d'autres conditions,, mais je m'en tiendrai à celles-là. Touléfois je ferai remarquer des à présent ((de si on connaissait deux nombres entre lesquels fussent comprises toutes les racines réelles de Tëquation , il faudrait rejeter tous les diviseurs qui excèdent ces limites. La détermination de ces limites va bientôt nous occuper.

438. Dans les exemples, il sera toujours plus simple d'essajer les diviseurs-f"! et — i en les substituant immédiatement dans Téquation. Quant aux autres diviseurs, on leur applique , 11 toussi* multanément , les règles ci-déssus , ainsi qu^on va Texpliquer sor l'équation

Après avoir reconnu que-|-i et —ri ne sont point racines, fcCfectue les calculs ^uivans :

Quotiens — 5, — 3, — i, +5, +3, +1,

Quotiens * + 2, * — 6, *

Quotiens "—2, +6,

La première ligne renferme les diviseurs, tant ppsitifi que ■(' gaUfs , du dernier terme — 185- et la deuxième contient les q»*" tiens de ce dernier terme par chacun de ses.diyisenrs.

^ LEÇONS d'algèbre. 4i3

La troisième est formée en ajoutant aux quo tiens qu'on vient de trouver le coefficient -f-'S du terme+i3:c5et la quatrième, en divisant ces difiérentes sommes par les diviseurs correspondans. Les divisions qui ne se font pas exactement indiquent que les diviseurs -4-3, +i5, — 5, — 15, ne sont pas racines de Féquation.

La cinquième ligne se forme en ajoutant aux derniers quotîens le coefficient — la du terme; — 12:1:* 5 et la sixième, en divisant les nouvelles sommes par les diviseurs correspondans. Cette épreuve ne fait rejeter ici aucun nouveau diviseur.

Enfin, la dernière ligne est formée en ajoutant le coefficient a du premier terme 2X^ aux derniers quotiens 5 et comme on ne trouve zéro que dans la colonne du diviseur 5, on oonclut qu'il est 'la seule .racine entière de Téquation.

Remarques, Cette racine étant connue, on peut diviser Féqua*» - tion par le facteur x — 5, et on aura pour quotient

ax* — aa:+3=ao,

d'où Ton tire a:=:7±i^K — 5. Alors Féquation proposée est complètement résolue, et ses trois racines sont

x=^5, a: = |+iV/=^, a: = i— fV/=5.

Lorsque l'équation est privée de quelques termes, il ne faut pas oublier d'y avoir égard dans le calcul , en comptant leurs coeffî> oiens comme égaux à zéro ; par conséquent, les quotiens auxqt^ls on doit les ajouter pourront être soumis immédiatement à de xiouvelles divisions. On verra plus loin un exemple de ce cas (44^)-

439. La méthode qu'on vient d'expliquer ne montre pas com* l>ieu de fois chacune des racines qu'elle détermine entre de foi^ ^ans l'équation. Pour le reconnaître, le moyen qui s'offre le pre- ^nier est de diviser l'équation par les facteurs correspondans à cet Racines, prises chacune une seule fois, et d'examiner ensuite, soit ^ar la substitution immédiate, soit par les règles du n^ 43? 9 si ces Racines appartiennent encore à l'équation restante. S'il s'en trouve C|uelques unes qui la vérifient, on est sûr qu'elles entrent au moins ^eux fois dans la proposée. Au^moyen d'une nouvelle division, on Cîonnaitra celles qui peuvent y entrer ti*ois fois , et ainsi de suite.

^i6 LEÇONS D^ALGiBAE.

On pourrait commencer par chercher les racines entières i mail comme les coefficicns ne sont pas considérables , il sera miçax de transformer tout de suite celte équation en une autre dont l^e prêter coefficient soit Funité ^ sans que les autres cessent d'êtce

entiers. Suivant la règle générale , il Êiudrait faire x ^=7» v>û si on fait a: = -, on verra qu'on peut prendre z=s:^ ce qnire» vient à poser x=: ~. En effets par là on tcouve cette traçu&méi

Elle ne peut avoir pour racines commensurables que des nombra entiers; par conséquent , après avoir reconnu que -f-i et — i ne peuvent point la vérifier, je lui applique les règles connues (437)*

-♦- a.-*-3,-+-4,-h 6,-+- 8,-+-ia,-+-a4,— a,-r 3,— 4,— 6,;— B^-^ia,^ Quot. — f a,— 8,— 6,— 4,-3,— a,— i;+ia,-+- 8,-+- 6,-+- 4,-t- 3,4- a,+ i,

-♦- a,-+-6,-+-8,-+-îo,-HU,-*-ia,-4-i3,-t-36,H-aa,-*rao,-4-i8j-i-i7,M-ifi,+i5. Quot. -4- i,-f-a,-t-a, ♦ * -4- i, ♦ — 13, ♦ — 5, — 3, ♦ ♦ ♦

—10,-9,-9, —10, — a4, — iC,— 14,

Quot.— 5,— 3 ♦ ♦ -4-ia, +4, ♦

Qaot. ♦ — I, — 6, — I,

' Aul quotiens de la 6* ligne il fallait ajouter le coefficient de/j mais comme ce cocfHcient esl o , on à diyj^ immédiatement C0 quotiens par les diviseurs correspondans.

On reconnaît à la fin que +3 et — 4 sont racines de Féquadoi en J-. En divisant cette équation par le produit {j- — 3j(r-f4),I vient

J"'— J'+^—Oj d'où jr~l±,lyZZ^,

Les quatre valeurs de j- étant connues^ la relation x zsPl donnot celles de x^ savoir :

X=-j X=z^2y X^yiL-pV—n.

LEGOirS D*ALGâBRE. * ^l^

Limites des racines des équations.

443* La méthode qui sert à trouver les racines commensurablei n^est à proprement parler qu^une suite de tâtonnemens, tellement coordonnés qù*on est sûr de trouver tontes les racines de cette espèce qui peuvent exister dans une équation. Cest encore par des tâtonnemens qu^on. obtiendra les valeurs approdiées. des racines incommensurables 3 et,. pour établir les règles qui doivent les diriger, la première question qui va nous, occuper sera. d'assigner des limites aux racines , c'est-à-dire , de déterminer deux nombres entre lesquels soient comprises toutes les racines positives def Féquation, et deux nombres entre lesquels soient comprises toutes les racines négatives.

444* D'abord proposons^nous de déterminer une limite siipé" rieure des racines positives.

Soit acr* le premier terme et N le plus grand coefficient d'une équation donnée Xsso. Si on considère la quantité

X, = «" — N («'»-*4-x'»-» . • .+ar+i),

on est sûr que la partie positive n'y est pas plus grande que dans X, et que la partie négative n'y est pas moindre. Or, il est facile d'assigner à x une valeur ar=:/, à partir de laquelle toutes les valeurs plus grandes rendront Xi positif^ donc aus^i , à plus forte raison , toutes ces valeurs rendront-elles X positif. Ainsi , à partir de xr=Z aucune valeur ne devra anéantir X, et par conséquent on pourra prendre l pour la limite cherchée. Pour déterminer / rappelons (53j que

et en conséquence on aura

Or, sous cette forme, ou voit sur le champ quç X, sera positif en

4l8 ' LEÇOirS D^ALcisBRE.

prenant a: = N+i .ou a:>N+i ; donc on peut prendre pour limite supérieure des racines positives iTune équation le plus grand coefficient négatif augmenté de Punité.

Par celte règle on trouve /=: loi pour limite des radiies de rëqaadon

[i] j:7-J-8j;^-J-2-^' — ^^^ — 4<>^'+'0'^* — 14^— ipa=o.

44s* En suivant la même voie, on peut aussi, parvenir k une autre règle, dans laquelle on aura égard au rang du premier terme négatif de Téquation. Supposons que ce terme renferme x^^i re* présentons encore par N le plus grand coefficient n^;at{f, et pa« sons

on pourra raisonner sur Xa comme sur Xx* D^abord on a

W(.r*"-^+'— i) a:«-^+«[a:^«fjr— i)— NW-N

donc Xa ser» positif si on substitue au lieu de x une valeur plu

grande que i , et telle qu'on ait .

^C-'Cj:— i)>N.

Ces condilions seront évidemment remplies si oi| trouve pour x une valeur^ 1^ qui satisfasse à Téquation

(a>— iy-«(j:~.i)=:N,

ou , ce qui est la même chose, à celle-ci :

Or, de là on tire en effet une valeur]> i , savoir :

Ainsi on peut établir cette règle : Du plus grand coefficient ni* gatif de Inéquation extrajrez la racine dont V ordre est mand par la différence entre le degré de V équation et le degré dunrf mier terme négatif ^ puis à cette racine ajoutez Funité; la sommt I ] sera une limite supérieure des racines positives.

LEÇOirS Z>VLGiBte. il A

Lorsque le premier terme négatif vient immédiatement après le premier terme de l'équation , cette limite coïncide avec celle du ii<* précédent; mais lorsquMl.est à un rang plus éloigné, et que le coefficient N surpasse l'unité , elle sera toujours plus approchée.

Par exemple, dânsFéquation [i] elle est i -^ V loo ou 6, nombre beaucoup moindre que loi qui était donné par la première règle.

446. Ces deux règles sont d'une application prompte et facile ; mais comme elles donnent presque toujours une limite trop éloignée , la marche suivante doit être préférée.

Supposons d'abord que J'équation donnée X = o se compose d'une suite de termes positifs , après lesquels il n'y ait plus que des termes négatifs, tous de degré moindre que les premiers. Soit T l'assemblage des termes positifs , — Y' celui des termes négatifs, et x^ la plus petitepuissance de x contenue dans Yj on aura

Dans le quotient de Y par af aucun terme ne doit renfermer x en dénominateur, et le contraire doit arriver à tous ceux du quotient de Y^ par x^\ donc, en faisant croître x à partir d'une valeur positive quelconque , le premier quotient doit augmenter, ou au moins rester constant si Y est un monôme , tandis que le second quotient diminue nécessairement. Ainsi, dès qu'on aura une valeur * positive a:= / qui rendra positif le polynôme X ou Y — Y', on sera certain qu'en y substituant au lieu de x des valeurs plus grandes, les résultats seront toujours positifs, et même qu'ils iront en aug* mentant jusqu^à l'infini. Au-delà de / il n'y aura donc aucun nom-» bre qui puisse anéantir Y — Y', et par conséquent / sera une limite supérieure des racines positives. De là on conclut que si on substitue dans X successivement , au lieu de x , des nombres positifs croissans , jusqu'à ce qu'on ait un résultat positif, le nombre qui donnera ce résultat sera la limite cherchce.

Maintenant, supposons que l'équation renferme des termes'positifs entremêlés avec des termes négatifs , ce qui est le cas le plus ordinaire. Il est toujours permis de considérer le premier terme de réquation comme positif. Réunissons-y les termes positifs qui

^20 LJEGOIfS d'aLGEB&E*

peavent se trouver avant le premier terme négatliPy et, fSsdsant ain straction de tous les autres termes positifs, comparons cette somme avec' celle des termes négatifs de Tëquation. Le raisonnement cidessus prouve qu^on obtiendra une limite 'supérieure des racines positives en déterminant une valeur positive de x qui rende h première somme supérieure à la seconde \ et cVst à quoi Ton réussira, facilement en substituant au lieu de x des nombres croissans à partir de zéro.

Dans le cas qui nous occupe ,011 les termes positifs et natifs sont entremêlés , on pourra souvent partager le premier membre de Féquation en plusieurs parties, dans chacune desquelles on . aura soin de mettre un ou plusieurs termes positifs , suivis de ter- | mes négatifs de degré moindre. Alors on déterminera , comme plus haut, par des essais successifs^ une valeur positive à psrtîr de laquelle toutes ces parties soient positives^ et cette valeur pourra être prise pour la limite cherchée. Assez ordinairement! y aura plusieurs manières d'opérer le partage des termes de Féquation , ce qui pourra donner différentes limites 5 mais on dem toujours choisir la limite la moins élevée*

Dans tous les cas, il est à remarquer non-seulement que la fi* mite à laquelle on parvient jouit de la propriété que les nombm plus grands , étant substitués dans Féquation , donnent des résultats pQsitifs , mais encore que ces résultats vont en augmea* tant jusqu'à Tinfini. La première condition est la seule nécessaire pour qu'un nombre soit une limite supérieure des racioci positives : car il résulte d'un théorème , qui sera démontré plu loin (4S3) , que tout nombre au-dessus de la plllis grande n* cine positive doit donner un résultat positif.

Appliquons ce qui précède à Féquation

o:^ — 3:i:^ -f- 2a:' — 3ar T- 1 o = o.

En comparant le premier terme avec les termes négatifs, on aon ^ulement à considérer le polynôme

x'^ — Zx^-^Zx — 10:

or 9 si on essaie successivement ^=:o,iy2;i|«oa trouve qa^f

LEÇONS DVLCkBBE. /^2l

:r=4 donne un résultat positif 5 donc ce nombre peut être pris pour limite.

Mais le premier membre de Tëquation se présente de lui-mênie ' comme la somme des deux quantités

x4 — 3x^ et 2J:*— 3a:— 10,

dont l'une devient zéro, etTautre devient positive, par lliypollièse X = 3 : or, cela suffit pour qu'on puisse prendre 3 pour limite.

Soît encore Téqualion, qui nous a déjà servi d'exemple (444/y [ I ] a:7-f-8:r°-f-2j:5— 1 ox*— 4^+ * ®^* — * 4^"" * 00=0,

Parmi les différentes manières de décomposer le premier membre, je choisirai celle-^ :

(xl — iâ>)+ (8x^+2:^5 — ioa:4 — 4ax^)4-(io:c*— 14^)

ou (j:7— ioo)4-8x'(a:34"7^' — ^x— 5)4-ioj:(ar— '^) j

et comme chaque partie devient positive par la valeur x=2, on est sûr que 2 est une limite supérieure des racines positives. Oa voit qu'elle est encore plus approchée que celle du n** 44^*

447« J'indiquerai encore un procédé assez commode employé par Newtojt , et qui donne souvent la limite la plus approchée. Il consiste à chercher un nombre tel que si on le retranche des racines de l'équation proposée, il en résulte une transformée dont tons les termes soient positifs. Alors il est évident qu'aucune valeur positive ne pourra satbfaire à cette transformée , et que par conséqucpt le nombre dont il s'agit surpassera nécessairement la plus grande racine positive de la proposée.

Soit / ce nombre inconnu ^ pour diminuer de / toutes les racines d'une équation donnée X=o, on fait x*: H^> et il en résulte une transformée, en ^, qu'on peut mettre sous la forme

L , U, L", • • • représentant le polyn&me X et ses dérivés, dans lesquels X apurait été remplacé par /• Or, on veut que tous les

4^2 LEÇONS D^ALGÈBBE.

coefficîens de Tëquation en ^soient positifs; par conséquent h question se réduit à trouver une valeur de x qui rende positiTtf toutes les quantités

X, X', X^ X*, etc.

La quantité X étant du degré m^ X' est du degré tti— -i , X" est da degré m — 2 , et ainsi de suite jusqu^à la dernière quantité qui ne contient plus x et qui est essentiellement positive. U convient donc de déterminer d'abord une valeur de x qui rende positive Favantderniëre quantité, ce qui sera toujours facile , puisqu'elle est da ler degré; ensuite on augmentera cette valeur, si cela est néceisaire, jusqu'à ce qu'elle rende aussi la quantité précédente positife; et on continuera de même, en remontant successivepent josqoik X. Pour plus de oommocBté, on n'emploie ordinaire^yent dans cei essais que des nombres entiers.

Pour exemple soil l'équation

On aura

ji;5 ^:e:4 .» 4«3 i^ 6«* — 700<u:-{- 800 SB o.

X = ^r^-l- x4— 4»^— 6r*— 9ooM>4-8o<

X' =s 5**-|-4*' — *2*' — ï^* — 7000, iX''=iox3+6a:»— i2a>- 6, :yX'^=iioa:»+4x--r4,

On voit sur-Ie-cliamp qu'il suffit de faire orcst pour que les dent

derniers polynômes soient positifs. ^X^ le deviendra en preoial a:=2 ; et X% en s'élevant jusqu'à â:=7. Gomme cette valeur leaJ aussi X positif, on conclut qu'on peut prendre 7 pour limite, (h

trouverait 7000-^1 par la règle du n** 444r ^^ i*-|-*k 7000 ou ((

par celle du n® 445*

448< Jusqu'à présent il n'a été question que de )a limite sapé** , rieure des racines positives. Elle est en effet la plus importante)! . car elle sert à trouver toutes les autres. Pour déterminer unef*

inite inférieure de ces racines, faisons a: :=- dans ré<{uation pî*"! ^'è

LEÇONS /dVlGÈMUS. 4^^

posée, el représentons par / la limite supérieure des racines posi^tÎTCS de la transformée. Il est ëyident que j sera un quotient moindre que ia plus petite racine positive de la proposée , de sorte qu'on pourra prendre ce quotient pour la limite cherchéet Dana les applications, il convient qu'elle soit la plus grande possible ^ par

^' conséquent il faudra toujours choisir pour / la limite la plus rap*prochée qu'on pourra.

f Si on n^ayait pas diantre but que d'avoir une limite inférieure diftérentede zéro, on en obtiendrait une sur-le-champ en divisant le dernier terme de F équation donnée par la somme faite de e^ dernier terme et du plus grand coefficient de signe contraire à ce terme.

Pour démontrer cette règle , soit Féquation

[A] af'+Pa:^-».. .+Sx*4.Tarf:tI=o,

En faisant j: = -, et ramenant Féquation résultante à la forme ordinaire, il vient

Or, si on suppose que dans [A] le plus grand coefficient de signe

. contraire àibU ait pour grandeur absolue R, il est évident que tt

sera le plus grand coefficient négatif de la transformée \ donc on

pourrai prendre / = cj + i , et par suite - =11 i^fc? ^ fl^* ®"

c èônforme à la règle énoncée.

c^ 449* Quatit au^ limites des racines négatives, elles se trouve^ ; ront en changeant x en — x dans Téquatiôn donnée. Par-là , on change les signes des racines, de sorte qu*en cherchant les limites -^ des racines positives de la transformée et en leur donnant le si« ^^ gne — , on aura les limites des racines négatives de la proposée. . 4^0. Lorsque, dans une équation, tous les termes ont le même ftigàe, Uest clair qu^aucun nombre positii^ ne peut satisfaire à Té-

4^4 LSÇ05S D^ALGEBRE.

quation; ainsi, il n'y a point lieu, dans ce cas, à chercher les limites des racines positives.

Il n'y a pas lieu non plos à chercher des limites* aux raducs négatives d'une équaiion dont tous les termes de degré pair ont un même signe , tandis que ceux de degré impair ont le signe contraire. Il est clair» en effet, qu'en y substituant un nombre négatif quelconque, tous les termes deviendront de même signe, et ne pourront point donner une somme égale à zéro.

Que les équations soient complètes ou incomplètes^ ces remiT' qnes sont paiement vraies. Toutefois, si le dernier terme manqœ, Féquation a une ou plusieurs racines nulks ; mais en faisant abitraction de ces racines les remarques précédentes subsisteront.

45i. Je placerai ici une proposition qui a un rapport intime avec les recherches relatives aux limites , et qui est d'un fréquent usage dans la haute analyse.

Soit unpoljrnôme IL de la forme

dans lequel les exposans m, n, p, etc. sont entiers ou fraction^ nairesj mais positifs et décroissans» Il existe toujours une va* leur positive de x, telle quen donnant à x des valeurs de plus en plus grandes j le polynôme IL prendra des valewrs qui seront de même signe que son premier termeJ^x^y etquiiront en augmentant jusqu^ à T infini.

Mettons d'abord M en facteur commun, et écrivons

X = M (^a:« + ^ a:«4- ^ a:^4- etc. j.

Dans les parenthèses, parmi les termes en a:», xp^... il peut s'es trouver qui aient des cocfficiens positifs : représentons par T 11 somme de ces termes , et pai* Y' celle des termes affectés de coef' fîciens négatifs. On aura

^1 est clair que tous les termes du quotient de Y' par x~ doivent avoir en dénominateurs de» puissances positives de :r , et que ptf

LEÇONS D'ALCàB&E. 4^^

conséquent , en donnant à x une très-grande valeur positive , ce quotient sera<^r. Par suite, la quantité entre crochets sera évidemment positive, car af^ est positif et Y ne renferme que des ter-

-: mes positifs \ donc X sera de même signe que M ou ALc!".

Représentons par A cette très-grande valeur, et supposons qu^on

r fasse croître x à partir de A, le quotient de Y' par or* ira en dé-

£ croissant, tandis que ix^ elX augmenteront indéfiniment ; donc la quantité X ira elle-même en croissant jusqu^à l'infini, et c^est ce

r qu^on voulait démontrer.

Si on veut assigner une valeur à a, on peut y parvenir^ comme pour les limites, en substituant au lieu de x des nombres positifs croissans jusqu^à ce que o:^ surpasse Y'; mais on y parviendra encore par le procédé suivant , déjà empoyé n* 378. Supposons qu'on ait ^

ir R, S T

et que ce quotient soit composé de « termes. Posons les inégalités

R^i Si T^i ,

Tr^r.'* -ri^^T' 7^*^!"' ^^^'^

OU; ce qui est la même chose, celles-ci

a:^>aR, «*>«tS, a:'>«T, etc.

En essayant successivement pour x des nombres de plus en plus grands, on en trouvera un qui satisfera à toutes ces conditions^ et .on pourra le prendre pour A.

Kemarques, Quand les exposans 777,71 ,/?,.. . sont tels que les termes du polyn&me X ne deviennent pas imaginaires en y metjtant des valeurs négatives à la place de x, on pourra aussi assigner une vdieur négative .de x à partir de laquelle toutes les valeurs négatives plus grandes feront prendre à X des valeurs de même signe que le premier terme Mj:"*, et croissantes jusqu'à l'infini. En ^^ifet , en faisant a:= — j', X devient

X = M(-^)«4- N(-^)«-l-etc. :

4^6 LEçovs d'algèbre.

or, de qudqae manière que les signes se distribaeut , on peut, d'après ce qui précède, dëlerininer pourj^ une valeur positiTej'^=^'| qui remplisse , à Fcgard du polynôme précédent , les conditiou de renoncé 3 donc la valeur négative j:= — a' sera celle qu'A ingil d^assigner. «

Comme cas particulier, on peut considérer celui ou tous lesesr posans du polyn6me X sont entiers. Alors, les termes ne Gênent pas d'être réels quand on y substitue des valeurs n^pitives de x\ par conséquent, dans ce cas, on peut toujours assigoer àâraue limite positive A et une limite négative — a', telles qu^en CunbI croître x positivement à partir de A, ou négativement à partir dt <^A^, il en résultera, pour le polyn&me X, des valeurs qui seront constamment de même signe que son premier terme^ et qui poll^ ront devenir aussi grandes qu'on voudra.

Théorèmes sur les indications que fournissent Us substitutions ds diU nombres quelconques à la place de Vinconnue^

452. Les premiers tâtonnemens qu'on a dû faire pour résoadn une équation particulière, ont été sans doute d'essayer les substitutions de différens nombres positifs ou négatifs, croissans à partir de zéro; et c'est ainsi qu'on aura été naturellement conduit ans théorèmes suivans qui sont de la plus grande utilité dans la recherche des racines.

453. Théorème I. Si deux nombres quelconques ^ substituée successii^ement à la place de V inconnue x, £^^771^ une éauttion Ax'^+Bx"*— *-f-etc.= o, donnent deux résultats de signet contraires^ V équation aura au moins une racine réelle compntt entre ces deux nombres.

i** Supposons qu'on ait substitué deux nombres positifs dti^ Je représenterai l'équation par M — M'=o, M étant lasoiM des termes qui ont le signe-}-? ^t — IVFla somme de ceux qui ont le signe — . Si la substitution de « à la place de oc donne un ré* snltat négatif, c'est qu'alors on a M<^]Vr ; et si la substitotioi de p donne un résultat positif, c'est qu'on a M ^M'. Soit «skmB' dre que ^, et concevons qu'on fasse croître a: par toutes lesoniQ' ces de grandeur depuis a jusqu'à fi.

LEGOFS D^ALCàBRI, 4^%

Puisque M et M' se composent de termes addilifis qui ne conr ; tiennent x qu'à des puissances entières et positives^ il s'ensuit que ' M et W devront croître en même temps que x^ et de plus, il est \ évident que M et M' passeront par tous les états de grandeur depuis les valeurs qui résultent de la substitution de a jusqu'à celles qui ^ vesultent de la substitution de p. Mais on ayait d'abôrdM<^M% ^ et ensuite on à eu M [> W\ donc , dans rintervalle, il a dû arriver, ^ aa moins une fois, que M ait été égal à M' ('*'). Or, la valeur de x ' ijaî rend M=:M' est une racine de Téquation proposée; donc •ntre a et ^ il existe an moins une racine de cette équation*

Il est clair que la conclusion serait la même, si on avait d'abord M > M', et ensuite M<M',

20 Supposons qu'on ait substitué deux nombres négatifs — • a et ^-— ^. On ramène ce cas au précédent en faisant dans rë(}uation ^ s= — j*. n est clair qu'en substituant a et ^ dans la transformée, les résultats seront les mêmes qu'en substituant a et ^ dans la proposée ; donc , à cause de l'hypolbèse faite dans l'énoncé, ces ré- «nltats seront de signes contraires. Or, les nombres a et ^ sont positifs; donc, d'après ce qui vient d'être démontré^, on est sûr que l'équation en j^ a une racine entre « et p. Mais il suffit de changer les signes des racines de l'équation en jr pour avoir lés racines de l'équation en x} donc cette dernière a une racine entre — a et — p.

3^ Supposons qu'on ait substitué un nombre négatif — a et un nombre positif p. Observons que, dans lés cas précédens, l'un des deux nombres substitués pouvait être zéro , et que le raisonnement subsistait toujours. Cela posé , faisons j: = o : l'équation donnée se réduira à son dernier terme, lequel sera de signe contraire au résultat de la substitution de -^ « ou de p* L'équation a donc une racine entre zéro et —^ci , ou enite zéro et p; et à plus Ibrte raison peut-on dire que cette racine est entre — « et p.

. (^) Ainsi , . dit Lagraroe , deux mobiles qi^'on suppose parcourir une même Hflie dans le même sens, et qui, partant à la fois de deux points difiërens, ■rrivent en même temps à cleux autres points,^ mais de manière que celui qui était en arrière se trouve ensuite plus avancé qu6' Tautre , doivent nécessaire''- "nent le rencontrer dans leur chemin.

4i8 LEÇONS dVlgëbre.

* 4^4' Théoueme II. Lorsque deux quanliiés comprennent enr tre elles une racine de V équation X=:o^ et n^en comprennaU gu^unej si on les substitue successivement dans Féquationj eUet donneront deux résultats de signes contraires : et y en général^ toutes les fois que les deux quantités comprennent un nombre im» pair de racines y lés deux résultats seront de signes contraires] mais quimd elles ne comprennent pas de racines ^ ou quand dia en comprennent un nombre pair ^ les résultats seront de même signe» Supposons que a soit une racine réelle comprise entre den nombres a et ^ , et qu^elle soit la seule. Le polynôme X est dnîsîble par x — a , et^ en nommant Y le quotient , on peut metlif X sous la forme

Faisons successivement a: = a et a: ss ^ ^ les valeurs de T devront être de même signe : autrement il y aurait entre a et p ooe racine de Féquatiou Y=:o, laquelle serait une nouvelle racine di X s= o comprise entre a et ^ , ce quixst contre Thypothèse. Haï d'ailleurs le facteur x — a changera de signe : car les diffêrenca a — a et ^ — a sont des signes contraires , attendu que aest ratR a et ^ ^ donc les deux résultats qu'on obtient en substituant c et ^ dans X sont de signes contraires.

Supposons -plus généralement qu*il y ait entre, a et ^ u nombre impair de racines a^ b ^ c y etc. y on sait que X est divisible parle produit (x — a)ix — &)(a>— c). . •, de sorte qu'en noO" mant encore Y le quotient , on aura

X =(.r— ^) ix'-b)[x—c) • . . XY.

On démontrera comme tout à l'heure qu'en faisant xssza (t x= ^ j les deux valeurs correspondantes de Y auront le mêsK signe, tandis que chaCun des facteurs x — a y x^^b , x — c, ..• change de signe y et comme ces facteurs sont en nombre imptîri on en conclut que les résultats des substitutions de a et de p datf X doivent être des signes contraires.

Celte même démonstration prouve que sHl n'y a point dexicines entre a et ^ , ou que s^il y en a un nombre palr^ les réssl* tats des deux substitutions auront le mêjtne signe.

Remarque. Le théorème qa^on vient de démontrer mérite la pins grande attention, et doit surtout tenir en garde contre quel* ques assertions trop hasardées auxquelles on pourrait se laisser , entraîner. Par exemple, de ce que lessubstitutions de deux quantités ^ donnent des résultats de signes contraires, on peut bien conclure, 'd'après le théorème I , que ces quantités comprennent une racine ; x < mais on aurait tort d^affirmer qu'elles n'en comprennent qu'une ; car le théorème II prouve qu'il pourrait j en avoir plorieurs , en ', nombre impair. Pareillement, lorsque les résultats sont de mime , ligne, on ne saurait affirmer que les deux quantités né comprennent aucune racine, car il pourrait arriver qu'il y en eût un nom* bre pair.

455. Tfi£0EÈME III. Lorsque une équation rC a point de racines réelles^ si on jr substitue à la place de x des quantités réelles quelconques , les résultats seront toujours de même signe.

lin effet , s'il était possible de trouver deux résultats de signes 4Dontraires, on serait assuré que l'équation a au moins une racine Yéelle comprise entre les deux quantités substituées , ce qui est contre la supposition.

Quand on a divisé une équation par tous les facteurs correspondans aux racines réelles, l'équation restante doit être dans le cas dont il s'agit. Mais une équation qui contiendrait des racines réelles donnerait encore des résultats de même signe , si chacune d'elles y entrait un nombre pair de fois. En effet , en nommant A, ^, • • . ces racines, on peut alors écrire l'équation ainsi :

(;P—û)«»(ar— &)««'. ..xY = o:

or , quelque valeur réelle qu'on substitue au lieu de x , les facteurs (x — a)'", {x — ^)"*', . . . ne sauraient devenir négatifs^ cl, d'un autre c&té, Y ne peut point changer de signe, puisque l'équation Y= o n'a que des racines imaginaires.

456. Pbisieurs conséquences du théorème I*' doivent ^être placées icL

i; Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

Le premier terme étant toujours supposé positif, considérons d'abord le cas oii le dernier terme est un nombre négatif — ^U.

43o LEÇOVS D^ALGEBRl.

Nommons -f*^ une limite supérieure des racines positives^ détemùnée comme il a été expliqué précédemment. Si dans Féqualioa on fait x= -{-/, on aura un résultat positif; et si on fait j:=so, oa aura le résultat négatif — U. Donc, entre o et -4~'9 Fëquationa au moins une racine réelle, laquelle ne peut être que positiTe.

Maintenant, considérons le cas où le dernier terme de ïé tion est positif. On remplacera x par — x, et comme le pr terme deviendra négatif, on le ramènera à être positif en dmgeaut tous les signes de Féquation. Par là le dernier terme deTiendn n^tif; donc, en yertu de ce qui vient d^être démontré, onot sûr que la transformée a une racine positive, et par conséquent h proposée a une racine négative.

2** Toute équation de degré pair^ dont le dernier terme êsiné' gatifj a au moins deux racines réelles, Pune positive et tautrt négative.

Faisons successivement x= o et x=«{-/, on aura deux lé* 1' sultats de signes contraires ; donc Féquation a ta moins une racine | positive. Ensuite, si on change x en •— x dans Féquation, latian- y formée aura encore son premier terme positif, et son dernier tenM négatif; doue elle aura une racine positive 5 donc la propotée Ci aura une négative.

Remarque, Quand une équation est de d^ré pair et que lOB dernier terme est positif, ces raisonnemens ne font plus connallR si Féquation a quelque racine réelle , parce qu^alors les subitititions ne donnent plus des résultats de signes contraires» GesX qa*ci effet les équations qui n'ont que des racines imaginaires doiTOt nécessairement être de celte forme : car, si elles étaient de àegi impair, elles auraient au moins une racine réelle 5 et si, étant de degré pair, leur dernier terme était négatif, elles en auraient « moins deux.

457. Par des raisonnemens analogues à ceux du n* précédent, on tire du ihéorème II les conséquences qui suivent.

i" Dans une équation de degré impair j les racines réelles à signe contraire au dernier terme sont en nombre impair et ht racines de même signe^ s'il en existe j sont en nombre pain

Lorsque le dernier terme est négatif^ les substitutions x^od x = '\'làonn9Lnl des résultats de signes difierenS| on coudat^cs

LEÇONS D^ALgIbRE» 43i

Ter tu du théorème II, que les racines positîyes sont en nombre fabpair. Si on change x en — j:. Inéquation se transforme en une autre qu'on ramène à avoir son premier terme et son dernier terme positifs : or, qu*ou fasse dans celle-ci x=:o ou x égal à la limite surieuredeses racines positives^ on a deux résultats positifs^ donc }ç8 racines positives de cette transformée, et par suite les racines négatives de la proposée ne peuvent être qu*en nombre pair*

ILorsque Téqualion proposée a son dernier terme positif, la transformée aura son dernier terme négatif. On pourra donc lui appliquer les dernières conséquences, et par suite on conclura que ' la proposée a un nombre impair de racines négatives et un nombre pair de racines positives, ' ' a"* Dans une équation de degré pair. <t si le dernier terme est 9êégatif;t les racines positives sont en nombre impair et les racines mégatives aussi en nombre impair; etj si fe dernier terme est po^ ^itify les racines de chaque sorte ne peuvent exister ^en nombre pair.

Cette conséquence s'obtient si facilement en reprenant le railODnement ci-dessus, quHl est inutile de ij an^éter davantage.

Remarque. Dans tous les cas , ou voit que le nombre total des racines réelles csl de même parité que le degré de Téquation, c^est- W^dire quM est impair ou pair, selon que ce degré est impair ou pair. Donc, s'il y a dés racines imaginaires dans Féquation, elles y lont en nombre pair ^ ce qui est conforme et à la remarque déjà Faite n* précédent, et à la proposition qui termine le n<> 386. ' iJS&. Voici encore une proposition très-simple, qui doit trourcr sa ]:daceici. Si une équation se compose dune suite de termes positifs^ après lesquels iln^jr ait plus que des termes négatifs^ elfe aura une racine positive et n*en aura qu'une.

Pubque son dernier terme est négatif, elle a certainement une racnne positive (4 56); et^ pour démontrer qu'elle n'en a qu'une, ion résonnera comme dans le n* 44^* Nommons Y la somme des termes positifs, — ^Y' celle des termes négatifs, et af la plus petite puissance de x renfermée dans Y : on peut écrire l'équation sous cette forme

43» LEGOtrs d'algèbre.

Soit xs=a la yaleur positiye qai satisfait à réqoaUoni il faat qaV Ion on ait

Oty en augmentant x, le premier membre de cette dgalîtë augmentera , ou tout au moins restefa constant , tandis que le second diminuera \ et le'contraire arrivera en diminuant x : donc x^i^ est la seule racine positive de Fcquation.

, Séparation des racines,

45g« Comme les règles qui servent à découvrir les racines cob- I mensurables sont d'une application extrêmement facile, il coQTieflt, I toutes les fois quW à une équation à résoudre, de chercher 1 d'abord les mcines de cette espèce, tant égales qu'inhales, et dil les supprimer ensuite au moyen de la division* A la vérité, cesn>l cines pourraient se trouver par les mêmes procédés que les nctna incommensurables , mais les calculs qu'ils exigent sont fort Unrîeux, et ils le sont d'autant plus que le degré de l'équ'alioa i laquelle on les applique est plus élevé ^ c'est pourquoi Ton H toujours commencer par abaisser ce degré autant que possible: oi; la suppression des racines commensnrables est un moyen d'opàs cet abaissement.

La même raison suffirait pour rechercher si Féqoation t dem* cines ^ales, afin de la décomposer^ dans le cas ou il en existeniti et d'autres équations plus simples dont toutes les racines fiusflt inégales (4o5). Mais ici on doit remarquer en outre que cetle-pRparation est tout- à-fait nécessaire pour le succès des méthodeifi vont être exposées.

- En coi^scqueDce, je supposerai toujours, dans ce qui va suivie^ que l'équation à résoudre n'a plus ni racines commensoraUei'i racines égales, de sorte qu'en parlant de racines réelles, il ne question que de racines incommensurables et inégales.

460. La recherche de ces racines se partagera en deux psili> dbiinctes. Dans la première, on déterminera, pour chaque radiK» deux nombres entre lesquels elle sera comprise, et comprise toali seule : c'est ce qu'on appelle la séparation des racines. Damli

seconde y on se proposera d'évaluer les racines avec 4el àpgré I d'approximation qu'on youdra.

Si on change dans une équation Finconnue x en — x^ et qu^on prenne ayec le signe — les racines positives de la transformée^ on aura toutes les racines n^atires delà proposée. Ainsi, il suffira de .; montrer comment on trouve les racines positives des équations. 4^1 • Soit une équation quelconque

dont toutes les racines sont inégales. Imaginons qu'on y substitue successivement y à la place de Tinconnue Xy des nombres positifs t^ JPy Ç9 '*9 ^) ^^^-9 formant une suite croissante, commençant à lali^ .; '.mite inférieure des racines positives, finissant à la limite supérieure, , et en outre tellement choisis qu'entre chaque nombre et le suivant : il ne puisse tomber qu'une seule racine de l'équation. D'après le théorème II (454)» il est évident qu'on apprendra avec certitude, par les signes des résultats de ces substitutions, quels sont ceux de - ces nombres qu^ comprennent véritablement une racine ou qui n'en comprennent point3 et alors la séparation des racines positives serait complète.

La condition essentielle à laquelle, sont assujétis les nombres ' P»^»''»^»* •• c'est que deux d'entre eux, pris consécutivement, ne puissent pas comprendre plus d'une racine : or, cette condition sera remplie, si on prend pour ces nombres les termes d'une progression arithmétique dont la raison soit une quantité ^ moindre que la plus petite différence qui existe entre les racines positives ^ de l'équation proposée. Ainsi^ la difficulté se réduit à connaître la raison ^, et c'est à quoi Ton parvient au moyen de l'équation aux ^ carrés de différences des racines de la préposée (^*) .

(*) Cet usage de Téquatioii aux carrés des différences , qui est un point ioi- , portant des recherches de LiGRàiiGB, avait déjà été remarque en 1762, par Waring dans ses il/ûceZ/anea analytica. Mais, dit Laghange, «je ne con- » naissais pas cet ouvrage lorsque je composai mon premier mémoire sur les » -équations. D'ailleurs cette remarque, n^étant présentée par Wàrivg que •m d'une manière isolée , serait peut-être restée loBg-4emps stérile lani les rc- , m chercbti dont j e Tti accompagnée. »

i(34 tEÇO!fl D'AtOEBlE.

On a montre comment 's'obtient cette équation (427)* Supposons qu'on Tait trouvée , et qu'on ait évalué , par les procédci connus (448),, la limite inférieure A des racines positives de ceUe équation. On sera s&r que celte limite est moindre que le carré de la plus petite différence qui existe entre les racines de la praposée, et par conséquent on pourra faire

Comme Vx est ordinairement incommeusurablei on prendra pr<-

férablemcnt un nombre rationnel <^ Va.

Lorsqu'on pourra trouver pour A un nombre ^i , on choîsin

pour i le nombre entier au-dessous de Va; et alors , pour opérer la séparation des racines , on n'aura qu'a substituer des npmbra entiers dans l'équation X=o. Quand on aura reconnu ainsi qnl y a une racine entre deux de ces nombres, on pourra encore snbftituerles nombres entiers intermédiaires , et déterminer, par b signes des résultats, les deux nombres entiers consécutifs entre kf quels elle est comprise.

Le plus souvent a sera une fraction <^i, par suite ^sera ausd une fraction <^i, et on aurait ii substituer des nombres fraction* naires. Mais on pourra les éviter par une simple transformatioi, en faisant x=^3xf . En effet, pour que deux valeurs de x aient» tre elles une différence <CJ 9 il est clair que les valeurs de j/ doivent différer entre elles de plus d'une unité; et dès-lors on poom trouver par des substitutions entières les deux nombres consécBtifs qui comprennent chaque racine réelle de la transformée ea^*

462. Envisagée sous un point de vue purement théorique, b méthode précédente résout complètement le problème de lasépiration des racines. Mais si on considère , d'une part, la longue* des calculs nécessaires pour foimer l'équation aux carrés des dit férences , quand l'équation proposée s'élève un peu haut; et,d( l'autre, la multitude des substitutions successives qu*on peut avoit à effectuer, oji ne saurait disconvenir qu'un tel moyeu de solotiM doit être regardé comme presque impraticable. Lagbange, quis'tf long-temps appliqué à affranchir cette métliodc de Femploî d(l l'équation aux carrés des différences , a reconnu qu'on ponnil ^ trouver la quantité i sans calculer cette équation en entier. HAI j

LEÇONS d'àlgimb. /35

malgré cette abréviation , les opérations sont encore d'une Ion* gùeur excessive* Voyez la Note lY da Tredt^de la résolution des équations numériques.

Afin de diminuer le travail des substitutions , on aura soin dans chaque cas pàrticulieri de prendre pour limite inférieure et pour limite sapérieure des racines de l'équation proposée^ les nombres les plus rapprochés qu'on pourra , et aussi de choisir pour t le plus grand nombre possible.

Asses ordinairement, après avoir déterminé les limites des racines, tant positives que négatives, on essaie immédiatement les nombres entiers consécutiis compris entre ces limites^ et s'il arrive que les signes des résultats indiquent autant de racines réelles qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation, comme on sait qu'il ne peut pas y avoir un plus grand nombre de racines, on sera dispensé de calculer l'équation aux carrés des différences.

£n général, on ne devra omettre aucun moyen propre à éclairer sur la nature des racines, afin d'en profiter pour simph'fier les calculs autant que possible.

Le cas où l'on saurait d'avance que toutes les racines sont réelles mérite surtout d'être remarqué. Il est clair qu'alor& en opérant des substitutions de plus en plus rapprochées, entre les limites extrêmes qui comprennent toutes les racines , on finira nécessairement par trouver dans les résultats un nombre de changemens de signes égal au degré de l'équation ; et par conséquent alors tontes les racines seront séparées. Je reviendrai plus loin sur ce cas particulier (48o).