Remarque, Une objection doit être prévenue ici. Dans le
n** 4^7? pour arriver à l'équation aux carrés des différences, on
doit passer par l'équation aux différences, et celle-ci se trouve par
s une élimination. Or , le seul procédé général d'élimination que
nous ayons exposé est celui du plus grand commun diviseur , et
■ l'on sait qu'il conduit à une équation finale qui peut avoir la dou-
* ble imperfection de manquer de quelques racines et d*en conte-
' nir d'étrangères : par conséquent il semble que, faute d'avoir la
ïTéritable équation aux différences, la méthode qu'on vient d'ex-
:pliquer, pour opérer la séparation des racines, deviendra illusoire.
Âtcc un peu d'attention cette difficnlté ç'éyàpoiiit»
436 LEÇOif» d'algIébb.
Supposons d*d>ord que réqnation finale renferme totfiei kl différences des racines , et qa*elle n*aît que le défani: de contenir des racines ëtraogères , il est clair que la limite inférienre de lei radnes sera certainement moindre que la [rfua petite diflférenoe dei racines de la proposée, et que par conséquent en pe«t la prewlie peinr la yalenr de i.
En second lien , supposons qne f équation finde SMnquè it quelques difiérences. C'est que, dans les divisioDS qa'on orpèrepos effectoer Télimination, on aura supprimé qudqoes facteurs^ et on sait qu*en égalant ces facteurs à zéro , on anra des équations qv devront contenir ces différences. Donc , si on ëralae les limila inférieures des racines de tontes ces équations, aussi bien qnecdb de réqnation finale, on sera encore assuré qu'on peut prendre V égal à la pins petite de ces limites.
On peut encore remarquer que, dans la Téritafale ëqaalî<m an di^érencesi, les rsrcines étant deux à deux égales et de s^nes oos* traireis, la plus petite racine négative serait ^ale, au ngut prb,i la plus petite racine positive : par conséquent, si on déieraiine Wl quantité moindre que la plus petite racine pontîre des équatiofli dont on Tient de parler, et aussi une quantité motadre que h pi* petite radoe négative de ces mêmes équations , il sera peitais k choisir la raison i ^ale à la plus grande de cesdeux Unaites, it fraction faite du signe.
464> ^e Tais maintenant présenter quelques exemples Séfftt tîons dans lesquelles il s^agira d^opérer la séparation des radas»
ExE^ftPLE L Soit Féquation
On voit sur-le-champ qu'elle tombe dans le cas du n* 453, et^ par conséquent elle a une racine positive unique. Si on yeut né la partie entière de cette racine, il suffira donc de sobstitucr^ lieu de x les nombres 0,1,2,. • .jusqu'à ce qn'en troatedc* résultats de signes contraires.
Nombres substitués o, i , 2 •
Résultats correspondans ... — 3, i ^ ^. y ^
Ainsi la racine dent il s'agit est comprise entM 1 ^ la.
Liftas B*4L«îiM- 43?
n Pour chercher les rtcÎKtes nëgatiy?S| oa changty^^ q[ ^w^x* lia , transformée sera
' et comme elle ne renferme qile des signes-f-» il ^t drldènt qu'elle ^* n'a point de racine positive. Donc la proposée n'a point de racine négative, et par conséquent les deux autres racines sont ima*
* ginaires.
* Exemple IL Soit Téquation
t x^'^Sx — 10=30.
Elle est encore dans, le cas du n* 4^^9 ^^> ^i ^° 7 remplace x par -r-Xy elle devient celle-ci,
X^'^'Sx — io=:o ,
laquelle est aussi dans le même cas. Donc Téqualion proposée n'a que deux racines réelles y Tune positive , et Tautre négative. La partie entière se trouvera doue par des substitutipn^ eutièrei comme ci-dessous :
Komb. subst. o, I, 2, 3, Rés. corresp. •— lo, — 14,— 4>"f"56.
Donc la racine positive est entre 2 et 3^ et la racine négative» entre— I et — 2.
Exemple IIL Soit l'équation.
Pour ne point pousser trop loin les substitutions , déterminons d'abord les limites supérieures des racines. En écrivant Téquatiop sous cette forme
et en chercbant une valeur de or qui rende positif le trinôme x^-^-x — 65 , on reconnaît que le nombre 4 est limite supériiiurcdes racines positives. Si ensuite on change x en — Xy tous les tcrmci de Téquation proposée deviennent posiliCi , et Ton en conclul qu'elle n'a point de racine pégative.
438 LEÇOHI D^lLClsUB.
L*éqnatioii donnée n^ayant point de second tenue ^ la somme de ses quatre racines doit être nulle , et que par conséq[aent ces racines ne peuvent pas être toutes positives. Donc , pubque Tëquation n^a pas de racines n^atives , elle doit en avoir d'imaginaires. Mais, d'un autre c6të , on sait que les racines imaginaire sont en nombre pair (4^7)9 donc, si Fëquation a véritablement des racines réelles, elles seront positives et au nombre de deux.
Maintenant il faut essayer les substitutions des nombres entien positifs jusqu'à la limite 4-
Nomb. subst. o , i , 2, 3 , 4 »
Rés. corresp. + 5, — 58, — io5, — 100, +17.
Les sigues montrent qu'il y a en effet deux racines positives^ l'aM entre o et i, l'autre entre 3 et 4.
Exemple IY. Soit encore l'équation
Puisqu'elle est de degré impair , elle a au moins une racine réelle de signe contraire au dernier terme , c'est-à-dire , négative. Ou peut s'assurer qu'elle n'en a qu'une.: car en changeant x en — x, elle devient
X^ — jXr— 7=0;
et celle-ci n'a qu'une seule racine positive (4^8). La substitution des nombres entiers suffira pour déterminer la partie entière de cette racine positive.
Nomb. subst. o , i , 2 , 3 , 4 9 Rés. corresp. — 7 , — i3 , — 13,-1,4-29.
Donc la racine positive de la transformée en— x est entre 3 et {; et par conséquent la racine négative de la proposée est eutre —3 et— 4.
Si les deux autres racines sont réelles, elles doivent être positives; mais jusqu'ici leur existence reste incertaine. Pour lever k doute , essayons la substitution des nombres entiers.
Nomb. subst. 0,1,2, 3 ^ Rés. corresp. 7 , i , i , i3*
LBÇOIfl D'iLOilEB. 4Sg
' On ne prolonge point les sabttitutions datAnlage | parce que le ■ nombre x=3 donnant j:^^7ar , il est évident que tous les nbmàs bres plus gi'ands donneront des résultats positifs. Les résultats il ei - dessus étant tous de même signe ^ on n*apcrçoit pas encore ■d qu'il y ait deux racines positives; et^ si elles existent, on ne pour- 9 ra les reconnaître qu'en substituant des nombres plus rapprochés. : Toutefois il faut observer que dans le cas où les deux racines '■ seraient égales , on ne pourrait jamais obtenir dea résultats de signes contraires. Il est donc nécessaire d'appliquer à Féquation donnée les procédés connus pour juger si elle a des racines égales. Par ces procédés, on apprend que les racines sont inégales.
Cela po5é, pour arriver sûrement à la séparation des deux racines douteuses , on aura recours à l'équation aux carrés des différences. Dans l'exemple doçt nous nous occuponS| en ce mo^ ment, on a trouvé (4^9) que cette équation est
Soit fait x=3-, il viendra it
^49 49 On peut écrire cette équation ainsi
et alors on aperçoit clairement que g est une limite supérieure des
Taleurs positives de f/. Donc A =:-' sera une limite inférieure des
Taleurs positives de z ; donc enfin on aura une quantité moindre que la plus petite différence des racines de la proposée , en pre« nant
.^ (*) Comme cette équation n'a point de racines nulles , on apprendrait par Ui, ■i on ne le savait déjà, que la proposée n'a point de racines égales. D'an autre c6té, comme les signes de l'cqnation en s sont alternatifs, on peut a0irmer que lu proposée a tontes ses racines réelles ; maïs cettt contéquciicf est fondée sur tkéorie q«i seta exposée plus ttrd (479).
Ttl •«rait Tintenralle à mettre entre les snbstitatioiis. Mais f afin d'ëyîterlesfractîons, on fera ars-^-j et Téquation proposée le transformera en celle-ci ,
où il n'y aura plus qu'à substituer des nombres entiers.
Afin de diminuer le nombre des substitutions, il sera bon de dé* terminer les limites supérieure et inférieure des valeurs positif» de j:'. Si on remonte à la proposée, on voit d'abord qu'on pcot prendre V'j pour limite supérieure de a: ; puis, en y changeant x
en - , elle devient x^ — or* -|- - =:o , et comme dans celle-ci fo'
nité est limite supérieure, il s'ensuit que dans la proposée Ftiiiité est limite inférieure. Ainsi , dans cette équation , les racines pott* tives sont entre i et V^75 et par suite les racines positives de Iji^ quation en x' sont entre 3Xi et 3xV^7, ou entre 3 et V^63, ou enfin entre 3 et 8. En conséquence on ne devra substituer dam l'équation en a/ aucun nombre au-delà de 8.
Nomb. subst. 3 , 4 9 ^9 ^ >
Rés. corrresp. •4'^7>"h' , — i ,+^7.
Sans aller plus loin, les signes des résultats indiquent deux racines positives , Tune entre ^ et 5f l'autre entre 5 et 6. Pu suite la proposée en aura aussi deux , Tune entre f et f, l'autre entre | et |. On a déjà trouvé qu'une racine était comprise cntR — 3 et — *4 : ainsi les trois racines de l'équation proposée uak réelles , et complètement séparées.
Méthodes d'approximation.
465. Méthode par hippeochement des limites. Après avoir montré comment oh assigne pour chaque racine deuxliu»itessp^ craies entre lesquelles elle est seule comprise , il reste encore à b déterminer avec telle approximation qu'on voudra.
Le premier moyen qui se présente à la pensée c'est de substitoOf dans l'équation proposée , des nombres intermédiaires entre c limite»; jusqu'à ce qu'on trouve deux nonibrev qui| doDnatttàl %
résultats de signes contraires, aient entre eox une différence moindre que la fraction qui exprime le degré de rapproûmation. Alors chacun de ces nombres pmirra être prîs pour la yaknr de la racine.
Pour mienx m'ezpliquer, je suppose que A et B soient deux limites qui ne comprennent que la seule racine a , et qu'on ait B — ^A=D, A élanl<^B. En substituant A-f-4B au lieu de ar , le signe du résultat fera connaître si a est entre A et A-4-*|B, ou entre A+tD et B; par conséquent cette racine se trouvera resserrée entre deux limites qui ne différeront plus entre elles que de •^ D. En répétant une opération toute semblable, on la resserrera entre deux limites qui ne difiièreront plus que de -^ D; et il est évident qu'en continuant ainsi on arrivera à deux limites dont la différence sera moindre qu'une quantité donnée ^. Alors chacune de ces limites sera la valeur approchée de la racine^ à moins de la quantité cT.
Il n'est point nécessaire de prendre pour chaque nouyelle substitution un nombre qu^ soit exactement équidistant des deux dernières limites, et il sera souvent plus commode d'en employer un autre.
Par ce procédé on pourrait porter Fapproximation à un trèshaut degré i mais le calcul descendrait extrêmement laborieux , à cause du grand nombre de substitutions qu'il faudrait effectuer. Aussi ne s'en sert-on que pour obtenir une première approximation , à Y^ près , par exemple ; puis on achève le calcul par une
- méthode beaucoup plus rapide, qui a été indiquée par Newtox,
* et que je développerai dans le n® suivant.
Quand la racine est <^i, il convient de l'évaluer, non à moins d^une fraction de Funilé, mais à moins d'une fraction de cette racine elle-même. Supposons par exemple que la valeur approchée
.■ ne doive différer de la vraie valeur a que d'une quantité <^tô.^ î et soient A et B deux limites qui comprennent a, A étant <CJ^\ ^
. est clair que si on a B — À<^7^A^, à plus forte raison aura-t-on 15 — A<^T^a. Ainsi, il suffira de prolonger les substitutions mit-
, cessives jusqu'à ce qu'on ait deux limites dont la différence soit
iwniidre que le dixième deJa plus petite de ees'Umite|..Att reit«^
^m poum ioà)oaai MsneM: k bmhM A élr^ plu9,gv|ndf qu^ .I9
8oIt en changeant rinconnue x en — , soit en moltipliant ton-
se
tes les racines par uù nombre convenable.
466. Méthode de Newtox. Cette méthode exige , comme oo vient de le dire , que la racine cherchée a soit déjà connue avec une certaine approximation* Pour la commodité du calcul ^ il faot qu^ellele soit au moins à -^ près, et c'est aussi ce que je supposerai. Nommons « cette valeur approchée, et faisons
L'équation proposéa X :=o se transformera en celle-ei
A+A>+iA>«+.-{^ A-y'+etc. = o,
dans laquelle A, A', A% A^,. • . sont les valeurs que prennent le polynôme X et ses dérivés successifs X% X'', X'', • • • par la 8ub6ti« tution de a au lieu de x. De cette équation Ton tire
- A A>« Ay
La valeur àejr que nous voulons trouver est plus petite que^t par conséquent j**, y^^, . • sont respectivement moiadres que ,«0 riz^^ . • • Admettons, pour un moment^^que l'ensemble des temcs qui renferment ces puissances sojt <!Th : il ^^t dair qu'en les né gligcant , on aura pourj^ une valeur approchée à moins deïi»} savoir :
En conséquence, je pousserai la division de — < A par A' jusqu'anS centièmes, j'ajouterai le quotient à la première valeur, a, et j'ao« rai ainsi, pour la racine a^ une nouvelle valeur, ^^ que je regar* derai comme approchée à moins de 7^.
On corrigera (Sette valeur ^, comxpe on a corrigé a. A cet effet
on posera
et ici la valeur de jr qu'il faudra cheieher sera <irz%* En maiit B^ B' I B'^, . • • ce que deyiennent leapolynitna X, X^, X',..
LEÇOHS &*ALOiEIIS. 44^
par la substitution de ^ à la place de x^ la transfonnëe sera
On en tire
B BV" BV ^ B' 2» a.3B' '
et, en négb'geant les termes eo^*, j*', etc.. on a
Puisqu'on a supposé j*<; 7-5 , les puissances supérieures de^ sont <C(t^)* 5 et , en admettant qu'il en soit ainsi de toute la partie négligée, la valeur précédente de^ serait approchée à moins de (ï-ô-?)'« C'est pourquoi l'on portera jusqu'à la 4* décimale l'évaluation du quotient de — B par B', puis on ajoutera ce quotient avec p, et l'on aura pour la racine ^ nue nouvelle valeur, y, qu'on regardera comme approchée à moins d*une unité décimale ' du 4* ordre.
En continuant de cette manière^ et en négligeant toujours les termes qui contiennent les puissances de la correction y^ supé* rieures à la première, on admettra que la partie négligée à chaque transformation est moindre qu'une unité décimale de l'ordre double de celui de la dernière décimale à laquelle l'opération précédente avait porté l'approximation \ et alor» on obtiendra des va« leurs approchées successives , dans lesquelles le nombre des décimales ira toujours en doublant. On voit aussi combien l'approximation sera rapide , puisqu'on aura déjà 8 décimales après la troisième correction, i6 après la quatrième , et ainsi de suite.
On doit encore remarquer combien est simple et régulier le calcul de ces corrections ; car il est évident qu'elles se déduisent toutes de la même formule
en j remplaçant d'abord x par a, puis par §, et ainsi de suite : de telle sorte qu'après avoir fourni la première correction; elle four-nit encore la seconde^ puis la troisième, etc.
444 UlfOn B*AL6SI1Ϋ
Malheoreiisemeiity les approximâtiont qa'icm obtienC ainti 9M
loin d'être certaines^ car elles reposent sur des suppositions qui ne sont point toujours yraies. Par exemple, il te pourrait que dans la première correction l'ensemble des termes en J^> jr^,»«« fût >TT?5 ou que dans la seconde il fùlX^s^)'; etc. L'habi- . tude du calcul suggérera, dans les cas particuliers, les précautions quHl convient de prendre pour employer cette méthode avec sûreté f et même je vais montrer qu'il sera toujou^^ facile de vérifier, après chaque correction , si l'on a réellemei&t atteint l'approximation présumée.
Remontons à la valeur p , qu'on suppose approchée à -^ près. Pour qu'il on soit ainsi , il faut que la vraie valeur de la racine soit entre p — ~ et p, ou entre p et p+rJr- En conséquence, on substituera dans X les trois nombres p — 7^, p, ^+r5T> ^^ si le résultat de la substitution de p — —> ^^ ^^ P+ttîj est de signe contraire à celui que donne la substitution de p , on sera certain que la valeur p est véritablement approchée à ~ prps. Mais, si les résultats sont de même signe, on sera certain que cette approximation est exagérée ; et , dans ce cas , il faudra prendre pour point de départ une valeur plus approchée que a* Par exemple^ au lieu d'une approximation à un dixième près, on en cher* chera une à undemi-dixième^ puis on examinera, comme on vient de l'expliquer, si la correction fournie par la formule [i] est exacte jusqu'aux centièmes. Si elle ne l'est pas, on recommencera le calcul , en se servant d'une première valeur encore plus approchée , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on ait la racine avec deux décimales exactes.
On examinera semblablement la valeur approchée qui résalCen de la correction suivante; et si la 4* décimale est Cautiye , oi|h supprimera. Si les trois premières sont exactes, on procédera à une nouvelle correction , qui donnera une valeur dont l'approiimation sera présumée s'étendre jusqu'à la 6* décimale, et qu'il faudra vérifier par le même procédé. La marche à suivre n'a pas besoin de plus amples explications.
Fou^iER , dans un ouvrage intitulé : Anafjrse des JSquations^ indique certaines précautions à prendre, à l'aide desquelles Fap* proximation devient mv^Mi t( ff^imtt il doiU]i^ une règU pQV
uçon n'ÀLctes* 445
juger da nottibrc dfis ilécinudes extdtes que diaqae opértdon
ajoute à celles qtd sont d^jà connues. Mais , pour exposer ces
rectifications, qui d^ailleuirs font perdre k la méthode une grande
