partie de sa simplicité, il faudrait faire descendre dans les élémens

plusieurs propositions qui jusqu'à ce jour ont appartenu à la haute analyse ^ et pour cette raison je renverrai à rouyrage même de

FouRiBR, ou aux Elémens iT Algèbre récemment publiés par

MM. Mater et Choquet.

467. METHODE DE Lagbange. EUc cousiste à exprimer chaque racine réelle en fraction continue. Si elle exige des calculs plus laborieux que celle de Newton , au moins a-t-elle Pavantage de conduire à une approximation cettaine.

D*après ce qui a été dit' en parlant de la séparation des racines, à la fin du n* 4619 îl ^st permis de supposer que les racines de Féquation à résoudre différent entre elles de plus d'une unité, et que la partie entière de chaque racine réelle est tléjà connue. Soit

l'équation dont il s^agît, et soi( « la partie entière d'une racine réelle et positive. Si on fait

on aura une transformée en j-, que je représenterai par Ts= o , et qm sera du mêm'e degré que X = o. La valçur de j- qu^il faut connahre, pour avoir la racine cherchée , doit être positive et plus grande que i; et de plus il est évident que^ ne peut avoir qu'une seule valeur de cette espèce , autrement il y aurait deux valeurs de X entre « et a-4*' • Donc, si on substitue dans Y=:o la suite des nombres i , 2, 3, etc., on est sûr de parvenir à deux résultats désignes contraires; et les deux nombres substitués comprendront entre eux la valeur cherchée dejr^ de sorte que le plus petit de ces deux nombres sera la partie entière de cette valeur. Nommons p cette partie entière, et faisons

z On tara une transformée Zsso, qui aura une racine unique plus

446 UBÇOVS fi^ALOitUtt.

grande que i : de sorte que la subi dtaticm des nombres 1 1 2 1 3, etc. fera encore connaître la partie entic^re de cette racine. Soit ^^ cette partie entière, on fera

et il viendra une nouvelle transformée , U=o , dans laquelle il y aura une racine unique plus grande que i , dont on déterminera encore la partie entière par la substitution des nombres i , 2, 3, etc.

On continuera ainsi la suite des transformées aussi loin qall sera nécessaire.

Maintenant, si on observe qu^on a posé successivement

x=a+-, j-=^4.-, z = y-f--, etc.,

on çn conclut que la racine cberchée peut s'exprimer par la Cno* tion continue

H-etc. Ip

On sait qu^en calculant les réduites successives on peut toujomi P atteindre telle approximation qu^on voudra (3 10). Mais, poorae point faire de calculs inutiles, il sera bon, à mesure qa^on tronil les nombres a, p, y, etc., de former les réduites correspondantes (3o8); et, dès qu'on parviendra à deux réduites -consécutives tello qu^en divisant Tunité par le produit de leurs dénomiuateun 00 ait une fraction moindre que Terreur permise, on sera sûr que la première de ces deux réduites aura l'approximation requise (3ii]. Le calcul des équations transformées enj*, z, etc. est asNS long ; et, afin de faciliter, il convient de remarquer la loi suivant laquelle les cocfUciens de chaque équation se déduisent de Téqna-

tion précédente. Or, quand on fait x=:a-^- dans X= o , si oi

nomme A, A', A", ... les résultats qu'on obtient en mettant « k la, place de x dans le polynôme X et dans ses dérivés X', X", •••} la transformée peut d'abord s'écrire ainsi :

A+A'-H ;H 3+elc. =0,

j- 2^* ' i*^jri

ni io

1er si

Pé

: Par coaséqaent , en multipliant par jr^, m étant le degré de rëquation, la transformée Yaso fera

Ar'+A>^'+fAy^*4-ïnA->--5+etc.===o ,

et l'on saura comment ses coefficiens se tirent de Téquation X=o. L'équation Z=s,o te calculera semblablement : c'est-à-dire ^ qu'elle sera de la forme

B«"«4- F^*-« +^Wz'^-^ 4- '^,B»a'»-3 4. etc. = o ,

£ et que les coeiEcicns B, B', B", elc. s^obliendront eu substituant p à la place de j" dans le polynôme Y et dans ses dérivés. Ainsi de suite pour toutes les autres transformées.

468. Remarques. Tout ce qui a été dît jusqu'ici sur la détermination approchée des racines réelles pourrait évidemment s^appli- .^ qucr aux racines commensurables , si on avait négligé d'en dé* ** karrasser l'équation. En prenant toutes les précautions nécessaires pour ne conserver que des décimales exactes, la méthode de * K EWTON finirait par donner une quantité décimale terminée ou périodique; et celle de Lagbaitge conduirait à une transformée qui aurait une racine entière. Toutefois, sans parler de la longueur "" des calculs , on comprend que ces méthodes seraient insuffisantes pour découvrir cette sorte de racines : car, lorsqu'une racine serait incommensurable, elles n'apprendraient pas si les opérations doivent s'arrêter ou se prolonger indéfiniment.

Lorsque la seconde méthode fera trouver une fraction continue dans laquelle certains dénominateurs se répéteront dans le même : ordre, on pourra soupçonner que la fraction continue est périodique; et alors, d'après ce qui a été démontré (3 15), elle représenterait une quantité irrationnelle de la forme n-f-K ^. Pour décider si la fraction continue est véritablement périodique, on s'y prendra comme il suit. Supposons que y=o et Y,=: o soient des équations qui donnent le même dénominateur dans les deux premières périodes : il est clair que ces équations doivent avoir une racine commune, et par conséquent on pourra la reconnaître en mettant ^ans chacune la même lettre pour représenter l'inconnue , et en ^sherchant ensuite leur plus grand commun di?iseur. Cette racine ^iant trouvée, on remonte facilement à celle de la proposée X=o.

448 UBQOFS n'àUiMMÊM^

J'ajouterai encore que si Téquation X=o ne renferme qnedei coefHciens rationnels, elle ne peut pas avoir la racine irrationnelle

a^V^ b sans avoir aussi la racine a — Vb. Cette proposition est trop facile à démontrer pour qu'il soit nécessaire de s'y arrêter.

application des nUihodes éP approximation à um exampU*