Soit réquation
On a trouvé n<> 464) ^x- IV, qu^elle a une racine positive entre I et I, une autre racine positive entre 7 et f , et une racine né^ tive entre — 3 et —4. Proposons-nous de calculer, par la méthode de Newton, la valeur approchée de la première racine.
Il faut d'abord en approcher à -^ près, en resserrant les limita I et j. Ces limites, en décimales, sont i ,33 et 1,67 3 et les sigoei des résultats provenant de la substitution de ces nombres dm, réquation sout -f- et — . Si on substitue le nombre moyen i,5| le résultat est — o,i25^ donc la racine est entre les limites i,3} et 1 ,5. Or, le nombre intermédiaire i ,4 ne difiere de la secooA que de 0,1, et de la première que de 0,07^ par conséquente est sûr que la valeur a:= 1,4 approche de la racine à y; pi^*
Maintenant pour obtenir une plus grande approximation |1 faut recourir à la formule [i] du n® 4^6,
Dans notre exemple on a X=:a:^ — 7^+7? X'=3x"— yjiï par suite la formule des corrections sera
*- ^ ^ Sx»— 7
Si on y substitue la valeur approchée »= 1,49 il vient
et de là on conclut que la valeur de x, approchée, à ~ prillf j:= 1,4— o,o53= 1,35.
et
se
m ti
LEÇOirS D ALGBB&l. 44g
Mais cette approximatioa n'est encore que présnmëe. Pour la vérifier, je substitue dans Féquation U valeur i ,35 elle-même, puis cette valeur augmentée de 0,0 1.
1,35 donne 4" 0,01 o375, 1,36 — 0,004544?
et comme ces résultats sont de signes contraires, on est assuré que les centièmes sont exacts dans la valeur
Pour avoir une plus grande approximation, on substituera cette valeur dans la formule [2]. Il vient
et la nouvel!^ valeur approchée seraxis i,35-|-o,oo68=i,3568. Pour la vérifier il suffira de substituer dans Féquation les deux nombres i ,3568 et i ,3569.
1,3568 donne 4" ^y ^^^ i4i ^^ 4^3»
et le changement de sigUe prouve qu'en effet la racine cherchée sera connue avec quatre décimales exactes en prenant
En continuant de la même manière on pourra porter Fapproximation aussi loin qu'on voudra.
Par des calculs semblables on trouvera la seconde racine positive de Féquation* Pour avoir la racine négative , qui est entre —3 et — 4) ^^ ^^'^^ y a de plus commode est de changer x en — x, La transformée aura une racine positive entre 3 et 4» dont on cherchera la valeur approchée ^ puis on prendra cette valeur avec le signe — .
470. Appliquons maintenant la méthode de Lagbancb au calcul de la même racine* Dans le n? 464 y I!x* lY, pour changer Féquation donnée
a:'— 7:p-J-7aB:o -
fie» UyOM D*ALOfcaiC«
cn'titte min dobt Id racines diffënssmt eiilri dles d« pl«s d* iliiitëy onâfaitx=7a/, eton airouyë
[1 faut donc chercher, par le moyen des fractions continues valeur de sf comprise entre 4^5; puis en la divisant pax on aura la valeur de x comprise entre f et f .
Les opérations qu^on doit effectuer successivement pour obti x\ sont renfermées dans le tableau suivant :
Eqnat. en nf. d/'-^63â/-4-i8gai o
1 '• Transf. Ar5+ A>»+i A>+ î^ A*= o ,
A = 4'-63.4+i89«+i, ^ A' t=3.4»— 63;=— r5, lA" =3.4 =+12, ^A*=+i;
jr=i4 donne — 27, J^=»i5 +181,
a' Transf. Bz'+B'z'+i B'';2+^ B'^ss o ,
B=5 14'— i5.i4'4-ia.i4+i= — 27,
B'==3.i4'— 3o.i4+i2=+i8o, iB"=3.i4— 15=+27, -^B*'=4-i-
27Z'— ï8oz» — 27Z— i=so* z = 6 donne — 811, zr±=7 +35i,
G es 27.6^^180.6*— a7«6-—lbae—8ll|
811 1/*—- 7!i9W*— 3ô6tt — ^7=530.
ws=3i donne — aSt,
On peut continuer le s transformées. Un les arrêtant ici, on aura
1+etc.j
et les réduites^ calculées suiyant les règles connues (3o8)y seront
«- * , ' * - ATP
Dans la 1'% -f , l'erreur est en moins eK^ 7—4 ou ^jj Dans la 2«, *| , Terreur est en plus et < j^^ ou 7— j Dans la 3", -g^, l'erreur est en moins et<^ j^.^ ou y^ j Dans la 4*, ^> l'erreur est en plus et <CTrTr« ^^ TiTT»«
Pour apprécier l'approximation de la 4*9 sans connaître le dénominateur de la 5", on remarquera que ce dénominateur est «a moins ^[al à 99-4-85 ou 184*
Enfin, on divise ces réduites par 3, et on a ces yaleurs^
lesquelles sont approchées, altematiTement en défaut on en excèS| à moins des fractions ^, |yy^, tHtîj tHt?»
On trouvera de la même manière les valeurs approchées de b lecoude racine positive ; et quant à la racine négative, comme elle »st seule comprise entre — 3 et — 4> ^^ ^^ cherchera en opérant tmikiédiatemeiit sur l'équation proposée sans passer par Tëqualion
471. Remarque. La yalenr d^une ndnè inôommensimUe ii*<tant obtenue qu'arec approximation, on ne peut point &ter œtlc* racine de Tëquation an moyen de la division, comme dans le cas oîi elle serait exactement connue. Si on neigeait le reste de h division et qu*on (égalât encore le quotient h zéro, pour en déduire les autres racines, il est bien vrai que les erreurs seraient en giéoé- . rai renfermées entre des limites assez étroites : cependant, il poniw rait arriver que ces racines subissent des altérations considérables, et même qu^clIes cessassent d'être réelles pour devenir imaginaires ou vice versa. Aussi cette simplification ne doit-elle êue employée qu'avec une extrême circonspection.
Recherché des racines imaginairea»
472. On a vu (461) que, par des substitutions convenablement réglées, on peut toujours savoir combien une équation a de racines réelles. Si ce nombre n'est pas ^al au d^ré de l'équation, on est s&r qu'elle doit avoir des racines imaginaires; et, pour compléter la résolution de l'équation, il reste encore a détenniner cette sorte de racines. .
On sait (386) qu'elles sont toujours en nombre pair, et par
couples de la forme a±ihV — i , atlb étant des quantités rédks. En conséquence, dans l'équation proposée on fera
et comme l'équation proposée est supposée n'avoir que des coeiciens réels , elle se changera en une autre ,
dans laquelle Y et Z seront des polynômes, en j* et z, qui ne itt* fermeront' aucun coefficient imaginaire. Or, les. valeurs qu'il fal déterminer pour j* et z doivent être réelles; et, pour vérifier aïK de telles valeurs l'équation ci-dessus, il faut qu'on ait à la fois I %
la question est donc ainsi réduite à chercher les valeoiareeUeidvl w et js qui conviennent à ces deux équations t A cet efiet, on élimliNaf
entre elles Fane des inconnues, jr par exemple; pois on cherchera les racines réelles de Fëquation finale en i ; après quoi on cherchera les Yaleiuf correspondantes àty» en ayant soin de rejeter les solutions dans lesquelles cette inconnue serait imaginaire. 11 est inutile de dire «que toutes les précautions nécessaires doifent être prises pour n'oBiettre aucune solution et pour n'en point ad<« mettra de puisses*
