CHAPITRE XIX

Théorèmes remarquables sur les équations.

Usage qu'on en fait.

ThéorèiM dû DescabteS. Conséquences. Conditioju de la réalité des

racines,'

473. Théoeeme deDcscaetes. Lonqu'on passe d'un terme au auîfant, on dit qu'il y a variation ou permanence y selon que le signe change ou qu'il reste le même. Par exemple , l'équation x7— -ajr^ — S^r'-f-âr — losso aurait trois variations et une permanence. Gela posé, pour présenter le théorème dont il s'agit de la manière la plus simple et à la fois la plus exacte, on l'énoncera en ces termes :

Une équation quelconque , complète ou incomplète , ne peut pas ttvoir plus de racines positives que de variations.

Parmi les démonstrations qu'on en a données , la plus facile est celle deSÉGNEA. Elle consiste à examiner le changement produit dans les signes d'une équation , quand on y introduit une nooTelIe racine positive ; et elle a été présentée par Gauss à peu prta sous k ferme snirante.

Considérop» une équation quelconque , coDplète ou iacom-

an*

uqm% ¥»'ja.6m«, 455

' tant qu^oD n^assiguera point de valeurs particnlières aUY çoeffi* ciens de Téqualion [i]. .

Or, quels que soient ces signes > il est évident qu^il j a dans le produit total au moins une variation de af^^ h — P*, tandis que

.! le multiplicande n^en contient qu'une seule de j:^ à "^^9 de mémei il y eu a au moins une de — P* à +Q* > ^^ ^^^ seule de — P ^+Qî et en continuant ainsi, on reconnaît qu'à la fin le produit a au moins une variation de ±T à q:Ua , tandis que le multiplicande n'en a aucune après le terme ±:T ^ donc le pro*

^ duit a au n)oins une variation de plus que le multiplicande* De 14 on conclut que chaque racine positive ^ introduite dans une équa-

- tien , doit j apporter au moins une variation ^ donc une équa^' iioTif etc.

Par exemple, Féquation x^ — 2x^5=0 ne saurait avoir plus de deux racines positives.

474* Si da|is unp équation on remplace x par — :r, toutes les racines changeront de signe i par conséquent le nombrç des variations de la transformée indiquera comhien , au plus , la proposée a de racines négatives. S'il s'agit de l'équation a:^-*2j:-|-5=s o, la transformée en — -jt, après y avoir changé tous les signes , sera x^ — ar-r-5=;o i et comme elle n'a qu'une variation , la proposée ne saurait avoir plus d'une racine négative.

4?^' Quand l'équation est complète et qu'on y remplace x pa|: *-ir, il est évident que, sur deux termes consécutifs, l'un conserve son signe tandis que l'autre prend un signe contraire à celui qu'il avait ; donc les permanences deviennent des variations et viçe versé» Donc une équation complète ne peut pas avoir plus de racines négatives que de permanences.

Cette conclusion peut également s'appliquer aux équations incomplè.tes^ mais alors il faut avoir soin de rétablir les termes manquans, lesquels doivent être regardés comme ayant le coefficient ziio» Par exemple , soit encore l'équation

Sona cette forme elle n'a pas de permanence i et cependant elle a une radne négative , car elle est de degré impair et son dernier terme est positif (456). Mais si on restitue le Mcond \efWi9 dzûx*9

456 LtÇOirt D^ALGKBEE.

elle detieat

et alon, soit qu'on prenne +ox' ou — oj:' j elle a toujours une permanence (*).

47^* Dans une équation complète , le nombre des yariations ajouté à celui des permanences donne une somme égale an nombre des termes de Téquation moins un, ou, ce qui est la même cbose, au degré deFéquation, ou, enfin, ce qui est encore la même cbose, au nombre des racines. Or , il ne peut y avoir ni plus de racines positives que de variations, ni plus de racines négatives que de permanences^ donc, si toutes les racioes sont réelles, il doit y avoir précisément autant de racines positives que de variations, et autant de racines négatives que de permanences.

Lorsqu^on ignore si toutes les racines sont réelles, cette conclusion ne doit plus s^appliquer, attendu que les racines imaginaires peuvent subsister également avec des permanences et avec des variations. Par exemple, si les racines de l'équation x^-^px-^-^^o sont imaginaires , il est clair qu'elles le seront encore en changeant p en — p. • . 477* Lorsqu'une équation est incomplète, il est souvent fadle, par ce qui précède , de reconnaître qu'elle a des racines imaginaires ^ et pour cela deux moyens doivent être essayés. Le prenuer sera de compter les variations de la proposée ainsi que ceHcs de la transformée en — Xj et, d'après les n**' 4?^ ^^ 474 / ^1 °c pént pas y avoir plus de racines réelles que] ne L'indique le nombre de toutes ces variations ; donc, si ce nombre est surpassé par le degré de Téquation, ou sera certain qu'il y a au moins autant de racines imaginaires que d'unités dans le nombre excédant.

Par exemple , si l'équation est x"* — i=o et que m soit pair, on apprendra sur-le-champ qu'elle a, au plus, deux racines réelles; et,

* Assez ordinairement y voici comment on énonce le théorème de Descaktbi: Une équation ne saurait avoir plus de racines positives que de variations, ni plus de racines négatives que de permanences. Mais la seconde partie de cet énoncé est inexacte, ainsi que l'observent très-judicieusement MM. MATBtet Ghoquet dans lenrs élémens d'Algèbre, à moins qn'on n'ajoute que réqnatioDOt complète , tandis que cette restriction est inutile pour la première partie. L'é* quation :c^«— aar-f-5s=o suffît pour montrer là justesse de cette remarque.

comme il esl ëvident qu'elle en a deux , -)-i et — i , on peut affirmer qu'elle a m — 2 racines imaginaires.

47^« Le second moyen sera de rétablir les termes manquans en leur donnant zéro pour coefficiens. Mais ' alors on pourra les regarder aussi bien comme positifs que comme négatifs; et, quelque signes qu'on adopte j si toutes les racines de Féquation sont réelles, on devra toujours trouver le même nombre de variations et Je. même nombre de permanencQfi (496}. Donc, quand il en sera autrement, Féquation aura des racines imaginaires* i

. Soient Qa:«4"^'*'"' ^®^* termes d'une équation, entre lesquels il manque le terme en x""^^. On le rétablira et on aura ces trois termes ..

Qx»dboa:'»-»+Il*""'- Si Q et R sont de mêmesigne, positifs, par exemple, il estckir que ces trois termes donneront deux permanences ou deux variations, selon qu'on prendra -4~o ou — o; donc lorsqu'il manque un terme entre deux termes de même signe > Féquation a des racines imaginaires. Tel est le cas de Féquation a:'-|-2j>f-5=o.

Si Q et R sont de signes contraires^ on ne peut plus rien conclure : car, soit qu'on prenne -|-o ou — o, l'ensemble des trois termes donnera toujours une variation et une permanence. Ce cas est celui de Féquation x^ — 2:i:-4-5=o.

. Soient maintenant Qa:"+Rar""-* deux termes entre lesquels il en manque plusieurs. En les rétablissant on aura

Or, on peut donner au troisième ox""* le même signe qu à Qj:*, et alors, d'après ce qui vient d'être dit, on sera sur que Féquation a des racines imaginaires. Ainsi, lorsque plusieurs termes consécutifs manquent, Féquation a toujours des racines imaginaires. C'est ce qui arrive à Féquation binôme jf'"dzi=o.

479« Ce qui vient d'être dit, dans le n° précédent, conduit naturellement à rechercher les conditions auxquelles on. reconnaît que toutes les racines d'une équation sont réelles. Cette question est une des plus importantes de Falgèbre, et on en aura une solution en appliquant le théorème de Desgartks à Féquation aux carrés des différences*

458 LEÇOXS P*ALGUI|C.

Reprësentons par Xs=o une équation donnée, et par Deso réquaiion aux carres des différences. SU n'y a dana X as o qoa des racines réelles, les carrés de leurs différences seront dea quantités réelles el positives; donc Féquation Dsso ne devra avoir qaa des variations de signes. Mais supposons qu*il y ait dea racinci imaginaires dans Xao , et admettons, ainsi qu'on Ta dëmonUé n^ 386 , qu'elles doivent s'y trouver par couples de la foim

a±bV^^j a et b étant des quantités réelles. En conaidéranl les deux racines conjuguées d'un pareil couple , on Toit que k

carré de leur différence est {ib V^^^)* ou —4^', quantité essentiellement négative. L'équation D:=o aurait donc des racines n^ativcs, et par conséquent des permanences de signes (^yS).

Donc , pour qu'une équation n'ait que des racines réelles , // faui et il suffit que V équation aux carrés des différences n*aii que des variations»

Pour Féquation du 3* degré

a:5+Qj:4-R=so, on a trouvé (42g) que l'équation aux carrés des différences est

z3+6Q2»4-9Q»j4-4Q34.27R*3so.

Si l'on veut que cette dernière ne présente que des YarialiaBii il faut qu'on ait Q<[o et 4Q'+27B.*<Co. Or, la seconde conditioa ne peut pas être remplie sans la première; donc , pour la réalité des racines de l'équation du 3* degré, une seule condition est nécessaire, savoir :

Méthode de M. EvDkJHf fondée sur le théorème de DESCKKTESf pour ré* aoudre une équation dont toutes les racines sont réelles, '

480. Cette ingénieuse méthode a été exposée dans un Mémoiii lu à rinslitut, en i8o3^ et l'auteur, en 1807 , l'a aussi fait ooanaitre au public daus un ouvrage , dont une seconde éditioa 9 paru en 182:2, sous le titre de- Nouvelle méthode pour la rétiAh'] tion des équations.

Cette mëlhode exige l'emploi de transformëei succetsires qu^on K>umit obtenir en disant ar« jf'+i , a/=j:"4-i > ar"t=:a:^+i , etc. *our calculer les coef&ciens de ces équations , M. Bvdan donne me règle fort simple, qui ne demande que Temploi de Taddition t de la soustraction. Cette règle, quHl désigne sons le nom d^a/orithmej ne constitue pas une partie essentielle de la méthode ^ laîs, comme elle facilite considérablement le calcul , je commencrai par l'exposer.

Soit un polynôme quelconque^ par exemple,

i on y fait a:=:a:^-|-i , il se change en

a lieu de développer les puissances , observons : i° qu'eu multi' liant A pary-f^x et ajoutant B auproduit, il vient A(j:'4- 1)4"^) ^ qu'en multipliant ce résultat par xf'^i et ajoutant G, il vient (a/4-i)'+B(a/4-i)+C5 3* qu'en multipliant de nouveau par '4"i et ajoutant 0 , on retrouve l'expression [2] qu'il s'agit de ^velopper.

Il faut donc examiner comment on passe d'un polynôme en oc^ u produit de ce même polynôme par j/<4"^ \ ^^ i^oui cela il sufkt de faire attention à la multiplication ci-dessous :

I est clair que, dans le produit, les deux coeffîciens extrêmes rcs* intles mêmes que dans le multiplicande, et que ceux des termes Btermédiaires s'obtiennent en ajoutant successivement le 1*' coef^ «cient du multiplicande avec le 2*, le 2* avec le 3*, le 3* avec le *j et toujours de même, quel que soit le nombre des termes. On •Qt même comprendre les termes extrêmes dans cette loi , en 'iisidérant le premier terme du multiplicande comme précédé Qu terme dont le coefficient est zéro , et le dernier comme suivi Ui terme dont le coefficient est aussi zéro. Alaiotenanty li on applique cette loi aux multiplications succès-

46o LBçoiTf d'alqkbee.

sives par j/+i ^^"^ î^ ^ ^^^ P^^^^^ pl"* liant, on Toit facSemeat que les coefficiens du dëveloppement de Texpression [a] peuveiit s'obtenir par la règle suivante :

Ecrivez les coefficiens du polynôme donné sur une même igne^ de cette manière s

A, B, C, D, etc.

Au-dessous du !•' coefficient A , écrivez ce même coefficient y lequel restera placé seul sur sa ligne;

Au-dessous , écrivez une autre ligne composée de deux ter', mes , dont le i*' sera A, et dont le 2« sera formé en ajoutant jt" avec le a* coefficient ^ B, du polynôme eni;

Au-dessous de cette ligne j forme z^en une autre composée à trois termes , dont le 1*"^ sera encore A , dont le a* sera formiez ajoutant le i*' terme de la ligne précédente avec le a* terme àe cette ligne, et dont le 3* sera formé en ajoutant le a* terme à cette même ligne avec le 3« coefficient, C, du polynôme en x ;

Continuez de la même manière^ c^est-à-direj ayez soin deph mer toujours chaque ligne nouvelle en écrivant d^ abord le i terme de la ligne précédente^ en ajoutant chaque terme de crtft ligne avec le terme suivant j et enfin en ajoutant le dernier avcs un nouveau coefficient du polynôme en x.

Quand tous les coefficiens du polynôme en x auront étée» plcj-cs^ on aura une ligne qui contiendra autant de termes qud j- en a dans ce polynôme; et ces termes seront les coefficitn du polynôme en x' ou x — i .

Par cxemplcj soit Téquation

Il ne faudra pas oublier de compter comme zcro les coefficiens dci termes manquans^ et alors les calculs se disposent ainsi qu^ilsaiti

Cocff. de Téq. en x

GoefF. de Te'q. en x— i

—If 0,

—7, — la,

LE009S D^ALaSBU. 46l

Donc IVquaiioQ en x^i sera

481. Par le même alf^rithme on passera de la transformée en x-^i à celle en 'or-*' 12^ de celle-ci à la transformée en :r-«3; et ainsi de suite. Ancnn procédé ne saurait être plus simple et plus rapide pour obtenir ces transformées successiyes.

482. Il est bon de remarquer ici que , par la nature même de Falgorithme dont il s^agit , on est sûr d^arriver à une transformée dans laquelle tous les cocffieiens seront de même signe. H est clair en effet que le 2« coefficient finira par être de même signe-quc le i*'l puis le 3*, de même signe que le 2*3 puis le 4*9 de même signe que le 3*^ etc. Et d'ailleurs , dès qu'on est paryenn à une transformée dont tons les coefficiens sont de même signe y il est éridcnt qu'il en sera ainsi de toutes les suiyantes.

Par exemple, soit Féquation

En effectuant les calculs ,d*après la règle , on aura les coefficiens €»-des80us :

Pour réq. en a: i , +0, —7, +7 5

en a:— 1 • • • i , -{-S , — 4> "4" ^ 5 ena: — 2.«.i,4-6,+5, +!•

Sans aller plus loin on voit que l'équation en x-^tk n'a que des termes positifs; d'où il suit que or— 2 n'a pas de Talcur positire , ou, ce qui est la même cbose, que l'équation donnée n'a pas de racine positive plus grande que 2.

483. Le même algorithme s'applique ayec une facilité égale , lorsqu'on doit opérer sur Tinconnue x des diminutions successiTes de 10 en 10 , ou de 100 en 100 , ou de 1000 en 1000 , etc. Par exemple, si elles doivent avoir lieu de 10 en 10, on commencera par faire x=iîoaf ,f}jàs on passera de Téquation en j/ aux équations en a/ — i, a/— 2, etc.

En apportant un léger changement à cet algorithme , on peut aussi l'employer pour trouver des transformées en â? -f" 1 9 x^2f a:+3, etc. Il est clair en effet que des raisonnemens ana*

Jfi% LlfOII8 DALCiBU.

logues à cenx du n* ifio conduiront , pour obtenir une tnuufiffmée en ar-{-i à un algorithme 8embld>le , ayec cette seule di£Gironce que chaque quautité qui est désignée dans le premier , comme devant être ajoutée avec une antre, deyra au contraire en être retranchée. Au reste, en changeant x en — cr dans Téqnirtion donnée, puis diminuant x d'une unité , Féquation résnlume sera la même que si Ton eût augmenté d'une uuité FincomuN primitive •

434. J'arrive présentement au procédé de M. Budab pour tésoudre une équation dont toutes les racines sont réelles. En TtK» pliquanty je supposerai , ce qui est toujours permis j que Féqaar tion n'ait plus de racines égales , et je me dispenserai ansii in parler des racines négatives , attendu que leur détermination m ramène à celle des racines positives.

D'après la règle de Dzsga&tes (476) , l'équation proposée en s n'ayant que des racines réelles, doit avoir précisément autant ds variations que de racines positives. Or, si on désigne par a un non* bre réel quelconque, et si on fait x — oe=^, toutes les racines de la transformée en x^ ou x— ^« seront encore réelles j par comiquent le nombre des variations de cette transformée indiquai aussi combien elle a de racines positives.

D'un autre c&té , il est évident que si « est un nombre positif^ et que l'équation proposée en x n'ait pas de racine entre o et c, la transformée en x — a conservera autant de racines positives qae la proposée 3 mais que si celte proposée a des radhes bntre o et% la transformée aura de moins un pareil nombre de racines positivai Donc, en comptant le nombre des variations perdues dans le pH* sage de l'équation en j: à la transformée en x— «y on Saura oob* bien la première a de racines positives entre o et •• PareilleiBent, « étante «, si on passe de l'équation en j>— aà une nouyelle tian* formée en x — «% le nombre des variations, qui se tronyeront di moins dans la seconde que dans la précédente^ fera connaître oob" bien l'équation primitive, en :r, a de racines positives entre a eti/i Cela posé, voici comment M. Budan détermine successivement tM les chiffres des racines, jusqu'à tel ordre décimal qu'on Toudit* 1 1

De l'équation en x on déduira les transformées en â:— i , X'^^fM I ^ jusqu'à celle en ^r— 10^ et en comptant les yarialions perdiMsà

Liçm» D'ALGiilUk 463

diaquè ttranifotmation , on apprendra combien la proposée a de racines entre 6 et i> combien entre i et a,«.., et enfin combien entre 9 et 10.

Les racines dont Fexistence est ainsi reconnue sont tontes <Ii o;

- mais quand on aura une méthode pour les déterminer en déci- ' maies, il sera facile d'obtenir aussi les racines comprises de i o à i oo, > de I oo à 1 000 , etc. Eo effet, il suffira de faire x^ i oxf dans l'équation

en or, et de chercher les valeurs de xf qui sont <^i o ; puis de faire • xfsssicx" |dans l'équation en j/, et de chercher les valeurs de

- fe^ qui sont <^io; et de continuer de cette manière jusqu'à ce qu'on

- parvienne à une transformée dont tous les termes soient de même iigne, ce qui finira toujours par arriver. Par ces raisons, je me borllerai à expliquer comment on trouve les chiffres décimaux des racines <^io. La marche à suivre s'offre d'elle-même.

Supposons qu'on ait reconnu qu'une ou plusieurs racines soient

tïoinprises entre le chiffre a et a-4"i« Pour trouver les dixièmes

^e chacune de ces racines, on fera io(jr<^a)=3a/ dans l'équation

mn X — tf, puis on cherchera la partie entière des valeurs de j/,

jiAT le même moyen qui a déterminé « : c'est-à-dire qu'on calculera

les transformées en j/»-i, x' — 2, etc. en ayant soin de ne pas

mller au-delà de xf — lo, et qu'ensuite on comptera les variations

perdues à chaque transformation^ ce qui fera connaître s'il y a des

"valeurs de x! entre o et i , entre i et 2, etc. , et par conséquent le chiffre

des dixièmes de chacune des racines cherchées. Nommons «' celui

qai appartient à l'une d*elles, on fera io(j:^ — o!y=^xP\ on répétera

sur l'équation en x^ les opérations qui ont été faites sur l'équation

en x! ^ et on connaîtra le chiffre a" des centièmes. En continuant

ainsi, on pourra trouver autant de décimales qu'on voudra.

Il peut se faire qu'on rencontre plusieurs racines qui aient les premières décimales communes. Mais comme l'équation en x n'a pas de racines égales, on est sur que les racines comprises entre M et f»^'! finiront toujours par se séparer. On reconnaîtra que la iifSparation d'une racine est complète, quand la dernière transformée n^aura qu'une seule racine positive de moins que la transformée précédente , on ^ ce qui est la même chose , quand elle n'aura qu'une seule variation de moins* 485. Je n'entrerai pas dans de plus longs détails sur la méthode

464 LfÇOKf D'AtCàBEE.

de M. BuDAïf ; mais je ferai remarquer qu^eUe pent être aulyie pour troayer les racines, comprises entre deux limites.qudconqaes AetB, toutes les fois qu'on connaît le nombre de ces racines, quand.même rëquation aurait des racines imaginaires. Il est clair, en efifet, qu'elles doivent finir par se séparer ; mais il faut de, plus, qu'on en soit averti.' Or, c'est ce qui aura lieu, si on fait attention que U dernier terme d'une transformée en x — p est égal au résultat de la substitution de p dans l'équation de :t:; de sorte que la suite des opérations.devra amener dans les derniers termes des transformées autant de changemeps de signes qu'il y a de racines entre Aet B^ M. BuDAN a aussi essayé d'étendre sa méthode à toutes les équations, lors même qu'on ignore la nature des racines; et il croit, sa moyen de la seule règle de Dbscartes, pouvoir s^afEranchir da long et pénible calcul de l'équation aux carrés des différences. Mais les géomètres en ont jugé autrement , et notamment LAGHàirGE dont l'autoritéest si considérable en cette matière. Yoyezrintrodooûoniesoa Traité sur la résolution des équations ^ 2* ëdit. i8o8(^

Théorème de RoLLE* Autre manière de reconnaitre la réalité dêt roôfUL

486. Th^orehk de Rolle. Dans une équation quelconque ^ F\x)ssOf de la forme

[i] a:"^-Pj::«-»+Q:i:«-*+etc.=o,

les racines réelles ont pour limites particulières les racines de Véquation dérivée i^(a:)=o.

Pour plus de netteté , nous supposerons d'abord que F[xy=i^ n'ait point de racines égales. Soient a, &, c, etc. les racines réelles de cette équation, et a% U , d^ etc. les racines imaginaires : si onpo^

* M. BuDAR montre bien que si on fait tous les calculs comme s'il existait dci racines réelles entre -p et p-4-i, et que cependant il n'y en ait point , rerreur k l'hypothèse deviendra manifeste. Il prouve également que s'il existe, sans qu'os le sache, des racines réelles entre p et p-t-i, elles doivent infailliblement fiai par se séparer. Mais il ne donne aucun moyen pour juger si Cette séparatioi est complète : de sorte que par sa méthode on pourrait arriver à une équatioa qui n'aurait qu'une seule racine réelle entre deux nombres \/ et f/-M; et faiU d'un caractère pour le reconnaître , on serait exposé à continuer les cakilif sans avoir jamais de raison pour s'arrêter.

ifBçoiri i»'AiiokiAs« 465

on aura

2ïT(x)=ç(x)x4'(a:)5

et, d'après ce qui a été dit (4o5) sur la composition du polynôme

Aéxiyé F\x)y

f..(^)^ ? WX^W . <? WX4W . ^^

ou, ce qai est la même chose,

Supposons que a^b^Cy dy. représentent les racines réelles rangées par ordre de grandeur, en commençant par la plus grande; puis faisons successÎYement xssa, ^, c, • • . ^ et examinons les signes des Taleurs correspondantes de F'(x).

D'abord, il est clair que chaque substitution fera évanouir 9(x), mais que le polynôme •^/(x) , qui ne renferme aucun facteur réel , ne pourra devenir ni nul ni négatif (455). Ensuite, si on observe que

J^=(x-A)(x-c). . . , ^ = (x-fl)(x-c). . . , 5L-L = [x — a) (x — h) . . . , e te. , *

il sera facile de voir que les substitutions de a, &, c, • • • amènent les résultats ci -dessous :

x^=ui donne -^^>o, donc jF'(«)>o;

x^b donne ^<o, donc F'{bXs>]

x=c donne •^^>o, donc JP'(c)>o:

etc.

466 LEÇONS D*ALGKBEK.

Ces résultats étant alternativement positifs et négatifs , il s^ensoit que Téquation F'(a:)=o a au moins une racine réelle entre a et h^ au moins une entre b et c, au moins une entre c et dy et ainsi de suite.

Soient a^y ^,9 c,,... gi les racines réelles de F\a:)=o, rangées aussi par ordre de grandeur. On vient de reconnaître qu'elles sont comprises, partie entre a et by partie entre b et c, etc. De là on conclut que Féquation F(x)=o ne peut avoir qu'une seule racine au-dessus de a^ , qu'une seule entre a^ et bx y qu'une seule entre . br et Ci,* • . , et enfin qu'une seule au-dessous de g^.

Tel est le sens exact du théorème de Rolle. Il n'établit pas que deux racines consécutives de l'équation dérivée F\x)=^o comprennent nécessairement une racine de la proposée jP(j:)=oj mais seulement qvi! elles ne peuvent pas en comprendre plus dune.

De ce théorème on tire naturellement la conséquence que, dans une équation , le nombre des racines réelles comprises entre deax ' quantités « et ^ ne peut pas surpasser de plus d'une unité le nombre des racines de la dérivée qui sont comprises entre les mêmes quantités « et ^. Donc aussi le nombre de toutes les racines réelles d'une équation ne peut pas surpasser de plus d'une unité celui des racines réelles de la dérivée. Il est d'ailleurs bien entendu qu'il pourra être moindre.

Ce qui précède semble n'être applicable qu'aux équations dont toutes les racines sont inégales; mais on y comprend aussi le cas des racines égales. Et, en effet, on peut arriver à ce cas en parlant d'une équation qui n'aurait d'abord que des racines inégales, et dans laquelle on supposerait quef plusieurs racines , prises consécutivement, se rapprocheraient graduellement jusqu'à devenir égales entre elles. Alors, les résultais des substitutions de ces racines égales dans F\x) deviendront tous égaux à zéro ; mais il faut toujours les considérer comme ayant des signes tels que la suite entière des signes des résultats ne cesse pas d'être alternative; et chaque racine deF'(a:)=:o comprise entre deux racines qui deviennent égales devra être elle-même égale à ces racines. De cette manière la proposition de RpLLE aura toute la généralité désirable, aussi bien que la conséquence qui y est jointe et tout ce qui va être dit dam le n*^ suivant.

LEÇONS D'ALGEB&E. 467

Cette explication, qu^il serait facile de remplacer par une autre plus satisfaisante, suffira aux lecteurs qui ont quelque habitude de . Fanal yse.

4S7. Les considérations qui mènent au théorème de Rollc p peuvent aussi fournir des caractères pour reconnaître si les m racines de l'équation F(x)^o sont réelles.

Admettons qu^en effet elles le soient, et continuons de les reprc- . senter, suivant Tordre de leurs grandeurs, par a, ^, c, • • • On a vu que l'équation dérivée F\x)^=^o doit avoir au moins une racine réelle entre a et ^, au moins une entre b et c, etc. Mais comme elle ne doit pas avoir, en tout, plus de m— i racines, on est sûr . qu'entre deux nombres consécutifs de la suite âr, ^, c, • • • il y a une racine de Féquation dérivée /^'(ar)=o, et qu'il n'y en a qu'une. Plaçons aussi ces m* — i racines par ordre de grandeur, et nom-, mons-les ^x, 61, Ci, etc.

Puisque a^ est entre a et ^, b^ entre b et c, etc., il est facile de voir que si on substitue successivement a^, 61, etc. à la place de X dans F(.r), les résultats seront alternativement négatifs et positifs ; de sorte que,

Pour P{Pt)^ ^Ift)} ^Ci)y etc.,

on a "" > + > — > etc.

D'un autre c6té , on peut appliquer à la fonction F^(x) et à sa dérivée F"{x) tout ce qui a été dit de F{x) et F^(x) dans le n"4865 donc.

Pour F Vx), ^-'(^x), -P'(^0, etc.,

on a + > — > "H > etc.

Donc les produits F(ûfOXi^"(^i)> ^(^«)X^''(^x), etc., seront tous négatifs.

Or, si on fait F(x) XF\x)ss:j'^ et qu'on élimine x entre les deux équations

[2] P'(^)=o, Fix)x:F^{x)^jr,

les racines de l'équation finale en j- seront précisément les produits ci-dessus 5 donc, puisque tous ces produits sont négatifs, l'équa* lion en^ n'aura que des racines négatives, et par suite tous »e$

termes auront le signe -{-.

468 LEÇQVft D'ALGKBRBi

Ainsi, quand Téquaiioii F(x)s=o n^a que des racines réelles, il doil arriver que toutes celles de F'{x)=o soient réelles aussi^ et en outre qull n'y ait que des signes -(- dans l'équation en y^ résultant de Télimination de x entre les équations [3].

Réciproquement, ces conditions étant remplies^ on peut démontrcr que toutes les racines de F{x)=o seront réelles. D^abord, les m— *i racines de iP'(j:)=:o étant réelles, il est éTÎdeut que les m — i valeurs de j- ou F^x) 'X,F"{x) sont réelles, et le n® 4^ prouve que les quantités F''{a^\ F\h^^ etc. doivent avoir les signes alternatifs -^ — etc. Ensuite, de ce que Féquation en^ n'a que des signes -|-| on conclut qu'elle n'a point de racines positives; et, puisque d'ailleurs on sait que toutes ses racines sont réelles, elles ne peuvent être que négatives : donc les m — i produits

F{a,) X F"(aO, i^*.) X F"{b,), etc.

sont n^atifs. Or, les seconds facteurs ont les signes altemstifs •4- — etc. ; donc, les quantités i^^i), i^*(^x)> etc. devront avoir alternativement les signes — - et -|-. Donc il existe , entre Ox et Is limite supérieure des racines de l'équation i^(j:)sso, une racine de cette équation, il en existe une entre bx et a^^ une aussi entre Ci et &i, etc. Donc enfin les m racines de cette équation sont réelles.

Les conditions qui se tirent de Féquation en^ doivent être re* gardées comme actuellement connues : car on obtient cette équation par une simple élimination. A la vérité , il pourrait rester quelque doute à cause des facteurs qui s'introduisent ou se suppriment pendant l'élimination, mais cette difficulté s'évanouira en déterminant exactement l'équation finale par la méthode dits Aes fonctions symétriques , qui sera exposée Chapitre XXI •

Quant aux autres conditions , qui exigent qu'il n^ ait que do racines réelles dans l'équation dérivée F'(^)=o, elles sont enoeie à chercher. Or, cette équation n'est plus que du degré 772 — i , et en lui appliquant les mêmes raîsonnemens qu'à F{x)=o , on réduira encore la question à chercher les conditions qui assurent 11 réalité des racines de la seconde dérivée F\x)=:Oj laquelle n'est plus que du degré 772 — 2. En continuant ainsi , on descendra jusqu'à une équation du 2* degré en x , dont la dérivée , étant da

f degré, ne saurait avoir de racine imaginaire ; de aorte quUors la seule condition à remplir sera que Téquation en^, qui est aussi du i^' degré , ait ses deux termes de même signe.

Remarque* Si on se reporte aux raisonnemens qui ont conduit à faire usage de l'équation jr=:F(x)X-^''(a:), on apercevra facilement qu'on peut la remplacer par celle-ci ^=M/^a;)X^"(x), M étant une quantité positive quelconque. Cette remarque prouve qu'on peut introduire ou supprimer dans les polynômes P{x\ F*{x), F"{x)f etc. y tels facteurs positifs qu'on jugera con- Tenables pour simplifier les calculs.

488. Le nombre des conditions auxquelles on parvient par ce procédé, pour une équation de degré quelconque m , est facile à déterminer.

Ces conditions doivent toutes se tirer des équations successives en y. Or, la première de ces équations résulte de l'élimination de X entre les équations [a]

F\x)=Oy j-=F{x)xF"(x) 5

et comme F\x)=so a /»— i racines, l'inconnue j* doit aussi avoir m — i valeurs : donc l'équation en j- sera du degré m— 1 1 donc y pour que tous ses termes soient de même signe, il y aura m — I conditions.

Semblablemtnt , la deuxième équation en ^, résultant de l'élimioation de x entre 2^*(a:)=o eijr=F'{z)X.F'(x)j devra donner m — 2 Conditions^ et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on tombe sur une équation du i^'' degré en j*, laquelle ne donnera plus qu'une seule conditipn. Donc , en reprenant toutes ces conditions en ordre inverse, leur nombre sera

Il est digne de remarque que ce nombre de conditions est précisément le même qu'on trouve par l'emploi de l'équation aux carrés des différences (479) î et toutefois il peut se faire que quelques unes des conditions rentrent dans les autres. L'équation du 3" degré en est une preuve: car, pour cette équation, on a vu et on va le voir encore tout à l'heure, que les conditions se réduisent à une seule..

470 \ LCGOIfS D*M.O£BRB*

489. Pour première application , soit rëquation Dans cet exemple, on a

et sur-le-champ on voit que l'équation F'(a:)= o n'a pas de racine imaginaire, puisqu'elle est du 1*' degré.

Pour avoir Téquation en j-, les deuii équations entre lesquelles on doit éliminer x sont

2ar+P=o, j-=(x'+Pa:-l-Q)X2.

Or , Félimination donne

r+afiP'-Q)=o:

donc, pour que les deux termes de cette équation soient de même signe, il faut qu'on ait

jP'-Q>o;

et cette condition est la seule nécessaire pour assurer la réalité des racines de Féquation du 2^ degré.

490. Considérons encore Féquation du 3* degré. Si elle a son second terme, on peut le faire disparaître sans changer le nombre des racines réelles (392)^ c'est pourquoi je la prendrai sous la forme

Dans ce cas on a

F{x)=x^+Qx+Ry F'(x)=2x*+Q, r'(x)^Gx.

Il faut d'abord que Féquation dérivée 3a:*+Q=o n'ait que des racines réelles^ et, pour que cela soit, la condition est éfidemment Q<Co»

Ensuite il faut éliminer x entre les équations

3a:»+Q=o, y={x^+Qx+R)X,6x.

La seconde revient à celle-ci.

LEÇONS D^ALOÈIU. 4?'

et la première donne

Par suite on a

/*-{Q'+6Ri:, d'où ^^2^*J

ctj en mettant cette valeur dans l'équation 3a:"4"Q=°> ^ vient, toute réduction faite,

j''+TQ!r+IQ(4Q'+27R*)= <>.

Pour que les trois termes de cette équation aient le même . signe , il faut et il suffit que le terme tout connu soit positif. Mais déjà on a vu que Q doit être négatif 3 donc la nouvelle condition sera

Enfîn, en remarquant que cette condition ne peut pas avoir lieu sans que Q soit négatif , on conclut , comme au n* 479f qu^ellc est la seule nécessaire pour assurer la réalité des racines de Féquation du 3* degré.

Théorème de M. Budan. Son utilité dans la résolution des

équations,

491. Nous avons déjà cité, n^ 4^9 Fouvrage publié en 1807, sous le titre de Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques. L'auteur y énonçait un théorème important qu^il présentait eomme une extension de la règle des signes de Descâr- TES , et dont on pouvait facilement apercevoir la vérité à F^ard des équations qui n'ont que des racines réelles \ puis il ajoutait m qu'il avait de fortes raisons de le croire applicable à une équac< tion quelconque. » Plus tard , en 181 1, il mit cette assertion hors de doute par une démonstration qu'il communiqua à FInstitut. Lagrânge et Legendre qui furent chargés d'en faire Fexamen, jugèrent que la démonstration était exacte et que le théorème était nouveau.

Cependant, long-temps après, Fourieb en a revendique Finyen-

47^ LBÇOHi i/xuAmêZ»

tion ; et, en effet, si on lit avec attention raTertittement qni précède l'ouvrage composé par ce savant, et publié par M. Nayier, en i83i, sous le titre S!Ana7j-se des équations ; on ne peut guère clouter qu^il n'ait donné l'énoncé du théorème dans ton coon d'analyse à l'Ecole Polytechnique en 1797. Mais il ne paraît pai aussi certain qu'il en ait eu une démonstration ayant M. BuDiir, et cette raison m'a déterminé à le mettre soiis le nom de cet auteur. Pour mieux faire connaître en quoi il consiste, je reprends les choses de plus haut.

Une équation en x étant donnée | et a étant an nombre positif quelconque , soit fait x =^--4- « : on aura une transformée en y dont toutes les racines seront celles de la proposée diminuées de «5 et il est évident qu'autant l'équation en x renfermait de ra« cines entre o et a , autant il y aura de racines positives de moins dans la transformée en y ou x — «. Or, lorsque toutes les racines d'une équation sont réelles , on a vu que le nombre des racines positives de cette équation est égal à celui des variations de signes : donc, si l'équation proposée en j: n'a que des racines réelles, on devra trouver dans la transformée en or — a autant de variations de moins qu'il y avait de racines entre o et * dans la proposée. La présence des imaginaires empêche cette conclusion d'être générale ] mais dans tous les cas on peut établir, et c'est le théorème énoncé par M. Budait , que le nombre des racines de l'équation en Xy comprises entre o et a , ne peut point surpasser le nombre des variations perdues en passant de cette équation à la transformée en 0?-— «.

Soit X =:o une équation du degré m en j: , et soient X^ , X',«.. XC"*— 0, XC"*) la suite des fonctions dérîvées de X, jusqu'à celle qui ne renferme plus l'inconnue x. Si on fait x=^y'^a^ on (^ tiendra la transformée en j^ ou x -*a; et, si on ordonne cette transformée à la manière ordinaire , ses coefELciena seront les valeiu* que prennent , pour .r = a , les fonctions

X(^) x("^') ' x^ xr^ X

D'un autre c6té , pour o: s= o , ces fonctions doivent se rédoire ant coefiSoiens de l'équation X=:o ; car alors la transformée doit de-

yenir celle qu'on aurait ene en faisant x^=^y. Ainsi , le théorème dont il s^agit revient à démontrer que si on compte le nombre des variations de la suite ci*dcssiis, après y avoir fait j:=:o, et aussi, après y avoir fait :r=sa , le nombre des racines de X=ao, comprises entre o et a , ne peut pas surpasser celui des variations qui se trouvent de moins après la seconde substitution. Remarquez que dans cette suite de fonctions on peut supprimer les diviseurs numériques, et même multiplier ou diviser chacune d'elles par tel facteur positif qu'on voudra, puîsqu'alors les signes ne sont pas altérés.

C'est à peu près ainsi que Foubier présente le théorème dans son ^Ànafjrse des équations ^ et je vais en rapporter ici l'énoncé et la démonstration tels qu'on les trouve dans cet ouvrage.

492. Théorème. Etant donnée une équation quelconque ^^^=^0^ de la forme

si y dans la suite des tol'^i fonctions

on substitue alternativement deux quantités réelles quelconques «6 cf P, a étant <^p , et sij après chaque substitution^ on compte les variations de signe que présente la suite des résultats : le nombre des racines comprises entre tù et ^ ne peut Jamais sur^ passer celui des variations perdues de x=a à xs=p , et quand il en est surpassé j il V est toujours d'un nombre pair,

La démonstration se fera en examinant les changemens de signes qui peuvent s'^opérer dans la suite [i] lorsque x croît d'une manière continue. Or, il est clair qu'aucune des fonctions de cette suite ne doit changer de signe sans passer par zéro : car, si l'une d'elles change de signe en y substituant successivement deux quan* tités, on sait qu'il existe, entre ces quantités, au moins une valeur de X qui rend cette fonction égale à zéro. C'est pourquoi l'on doit particulièrement faire attention aux altérations produites dans les signes, lorsque x passe par une valeur a qui fait évanouir une ou plusieurs fonctions de la suite [i]. La clarté exige que l'on considère ayec ordre différens cas. Je préviens ici que je représenterai

474 LÈÇOKS D^ALGEl&E.

]e premier membre de Téquatlon indifféremment par X ou ptr F{x); et les polynômes dériyés, par X', X% etc., ou par ^(x), JP'ix), etc.

1^ Supposons que la valeur a:=a rende nulle une seule des fonctions, et que ce soit la dernière X ou F{x).

Puisque a ne rend nulle aucune des fonctions qui précèdent X, on est certain qu*en prenant une quantité h aussi petite qu^on Tondra, et en substituant successivement a — h et a-^h au lieu de x dans ces fonctions, les deux suites de résultats devront offrir exactement les mêmes sigues que si Ton avait substitué a. Il n'y a donc qu^à comparer les sfgnes donnés par les substitutions de a— A et de a-|-A dans les deux dernières fonctions, F\x) et F{x)» Ces fonctions deviennent

F' {a— h) et F(a — Aj, pour x=:a — h; F*{a+h) et .F(a+A), pour x=a+h.

Mais on sait que

FXa—7i) = F{a) — hF'{a) + etc. , F{a+h)=F(a)+hF\a)+cic. ,•

donc, en obser? ant que F{a) = o , on a

F(a— A)=— AJF"(û)4-etc. , F{a+h) =+AF'(a)+etc.

On peut prendre h assez petit pour que cbaque développement représente une quantité de même signe que son premier terme ; par conséquent, nous avons simplement à comparer

les signes de F'^a-^-h) et ^F\a)y avec ceux de jP'(a-(-A) et F\a).

Or, on a déjà remarque que F^(a — h) et F'(^+.A) ont le même signe que F'(a); donc, en ne faisant attention qu'aux signes, on aura une des deux combinaisons suivantes :

Pour a — h ... + — i / .. ^. Pour û+A ... ^ — |- j ( .

Donc la substitution de a^h dans la suite [i] donne une yariati^Q de moins que la substitution de a— A*

LEÇOMS d'aLGEBIE* 4?^

a* Supposons que plusieurs foactîons consécutives deviennent zéro, et qu'elles comprennent la dernière F(x). Soient

CCS fonctions consécutives, qui deviennent nulles quand on fait .-r =a. On sait que ce cas est celui où Tcqualion F(x)=^o renferme i racines égales a a; et comme on supppose que ni la fonction iF'CO ni aucune des précédentes ne deviennent zéro par la valeur de x = a^ on est sur que si h est suffisamment petit, les signes de la suite [i] ne pourront être altérés^ en passant de 0? = a — h h a-=a+A, que dans la partie qui vient après I\0 {x). Ainsi , il nous suffira de comparer les signes des deux lignes cidessous :

[«] F(0(û — ft) , F^-^Xa— h),,.. F'ia^h) , F(a—h) , [3] Fi%a+h), F^-'Xa+h) ,. . . F^ia+h) , F(a+h),

Si on développe successivement F(*"-0(a— A), FC*— ■)(« — /i), etc., et qu^on ait égard aux hypothèses F{a)=o^ F\a)=s:Oj* . . FC'~0(û) =3 o , il vient

/ro--0(a— 7z)=:FC^0(a)— A i?(0(a)+etc.

:=— h Fif){a) + eic.

= +r^h*F^%û)eic.

etc.

La quantité h étant aussi petite qu on veut, le premier développement est une quantité de signe contraire à F(0(a), le second est une quantité de même signe, et ainsi de suijtc, en alternant les signes jusqu'à F{a — h).

Si on développe de la même manière les valeurs correspondantes ka-^'h, il est évident qu'on aura des quantités toutes de même signe que F^%à). D'un autre c6té, les signes de jPCO^û — h) et de jPC'Xûr-^^) doivent être les mêmes que celui de F^)[a), La ligne [2] n'a donc que des variations , lesquelles sont en nombre 2 , tandis que la ligue [3] n'a que des permanences.

Ainsi, l'ensemble complet des signes de la suite [ij, lorsque x

476 LEGOlfS D*ALOàBllE*

passe de a — h & o-f"^» ^^^^ perdre i variations, c'est-li-dire, tout autant qu^il y a de racines ^ales à a.

3° Supposons encore que la valeur x=^a rende nulle une leok des fonctions, mais que ce spit une fonction intermédiaire X('')oa

Ecrivons la suite [i] comme ci-dessous , en mettant des poiatt à la place des termes qui nous sont inutiles :

...XC«+0,XW,X(»-0, ...

Puisque X(") est la seule fonction qui devienne zéro en faisnt a:= a 9 il s'ensuit que chacune de celles qui sont avant ou apiif X(") doit donner le même signe en y substituant a—hj a^h^ ou a.

Si la suite précédente ne comprenait aucune des fonctioBl XC"~~0, X("—') , . • . qui sont après X(") , le cas que nous examinons serait semblable au premier, et on serait sûr que la suite da signes correspondans à a — h , comparée avec la suite des signa correspondans à a-{-^9 perdrait une variation. £t même on a ta que cette perte a lieu , parce que les deux derniers aiguës préstttent Tune de ces combinaisons :

Pour a — A...-]-— -1 /-^-|-

Pour a^h •••++) ( — — .

Par conséquent, si on écrit sur la même ligne les valeurs que pren* nent les trais fonctions XC^+O, X('0, X("*~0, par la substitution de a — Iv^ et au-dessous, sur une autre ligne, les valeurs que prennent ces fonctions par la substitution de a-]-^, les signes ne po1l^ ront offrir qu'une de ces quatre combinaisons :

Pour a — h • • • -^ 1-

Pour a+/i • • • 4" "4" "I"

Quel que soit le signe qui ait lieu, ce tableau montre que, dans le passage de a — h à ^H-A, la suite [i] perd deux variations ou n'en perd aucune.

4° Supposons que plusieurs fonctions consécutives deviennent nulles, et qu'elles ne comprennent point la dernière X.

Ecrivons la suite [i] comme ci-après

. . .X(«+0, X^M-^-O,. . . XW, «-0. . .,

et admettons que les i fonctions comprises entre X('»+0 et XC^—.O deviennent zéra, sans que cela arrire à aucune autre. Ce n^est que dans cette partie qu^il pourra y ayoir des modifications de signes en passant de axssa — h à a:=a^h. Si la suite [i] finissait à XC")^ on rentrerait dans le 2* cas, et l'on conclurait qu'il doit y avoir 1 variations perdues. Mais pour avoir égard à la fonction XC"'-''), il &ut distinguer l'hypothèse de i pair, et celle de /impair.

Lorsque î est pair , le nombre des termes X("+Oy • . . X(*) est impair. Or, d'après ce qui a étë dit dans le 2* cas, si ou descend de X("+0 à XC''), les signes résultant de la substitution de a — h seront alternatifs ; donc X(") sera de même signe que X("+0. Au éontraire , les signes résultant de la substitution de i^-f-A seront tons semblables à celui de XC^+O. Mais cette dernière fonction doit avoir le même signe après chaque substitution ; donc aussi la fonction XC") aura le même signe ^ donc, de x-ssa — h à x^=sa^hf le nombre des variations perdues est f .

Lorsque £ est impair , le nombre des fonctions X("+0 , • • • X(*) est pair ; et le raisonnement ci-dessus prouve qu'alors les substitutions de a — h et de a-}-A donnent pour XC") des résultats de rfgnes opposés. De là il suit que les deux termes X(") etXC"—') ne peuvent offrir, après les deux substitutions, que l'une de ces quatre combinaisons :

Dans la première et la dernière, une permanence est remplacée par une variation ; et , dans les deux intermédiaires, c'est une variation qui est remplacée par une permanence. Donc le nombre des variations perdues par la suite [t] n'est plus /, mais bien 1 — z

ou /+!.

Ainsi, quand i* est pair, le nombre des variations perdues est i ; et quand i est impair, ce nombre est i — i ou î-^i j donc ce nombre est toujours pair.

5* Supposons en dernier lieu que la substitution de a fasse évanouir des fonctions dans diverses parties de la suite [i]*

Si danii ces fonctions il s'en trouve £ consécutives paimi lesquelles soit comprise la dernière X, l'équation Xsso a i racines

478 LEÇOI78 d\lGEBBB.

égales k a; et, par ce qui a été dît i** et 2*, on sait qne ces fonctions évanouissantes donnent lieu à une perte de £ yariations, lorsqu'on passe de :c=a— Â à x=a^h> Et quant aux fonctions < intermédiaires évanouissantes, ce qui a été dit 3* et 4^ montre qu'elles ne peuvent donner lieu qu'à un nombre pair de variation» perdues.

Les cinq casque nous venons de parcourir mettent en évidence les conséquences qui suivent. Lorsque x croît d'une manière continue, les changemens qui s'opèrent dans les signes de li suite [i] ne peuvent jamais augmenter le nombre des variations, mais seulement le diminuer. Chaque fois que x vient à dépasser une racine a, il y a des variations perdues , dont le nombre est pareil à celui des racines égales à a renfermées dans l'équation, ou le surpasse d'un nombre pair. Il peut aussi arriver qu'il y ait des variations perdues, sans que x passe par une racine de l'équation, et alors elles sont toujours en nombre pair.

Donc enfin, si, après avoir substitué dans la suite [1] une valeur x=e6y on substitue une valeur plus grande x= p, le nombre des variations perdues sera ou égal au nombre des racines comprises entre a et ^ , ou le surpassera d'un nombre pair. Cest là le théorème qui était à démontrer.

493. Si la substitution d'une valeur a: = a faisait évanouir une ou plusieurs fonctions de la suite [i], ou pourrait être embarrassé sur la manière de compter les variations. Pourier élude très-heureusement la difficulté en substituant , au lieu de a, des nombres a— ^ et a-^hy qui en diffèrent aussi peu qu'où veut. Aucun calcul nouveau ne sera nécessaire pour déterminer les signes qni résultent de ces substitutions. D'abord, les fonctions qui ne s'évanouissent point par la valeur x=a , doivent conserver les mêmes signes; et quant aux fonctions évanouissantes, il suffira de rappeler ce qui a été dit dans le n® précédent (4**J. On a vu en effet que la substitution a — h remplace les zéros par des signes alternatifs dont le premier est contraire au signe à la droite duquel ces zéros sont placés, tandis que la substitution de a-^h amène ce même signe à la place de chaque zéro. Ce procédé est appelé par FouEiER règle du double signe. Il revient encore à remplacer les zéros d'abord par des signes tels qu'on ait le plus possible de

LEÇONS DALaEBRS. 479

Tariations , et ensuite par des signes tels qn^on en ait lé moins possible.

Par exemple, supposons qu'on ait trouvé

Pour :rs=a, • + o — •"+ o o o o — o -j- j

en appliquant la règle du double signe, on aura

Pour a:=a— 'A .. • + h"""!* — "l""^"f"4">

Pour ar5=a+ A .• . +-| 1 — h"l"+-|"'^ — +•

On Toit alors que x^ en passant par la valeur a, fait perdre 4 variations à la suite des signes. Il est d'ailleurs cvidctit que Féquatien n'admet point a pour racine , puisque la dernière fonction n^es't pas devenue zéro pour x=a. On verra tout à l'heure que ces quatre variations perdues indiquent avec certitude la présence de quatre racines imaginaires.

494* Reprenons la suite

Si on y substitue pour x des valeurs négatives au-delà d'une certaine limite ar=— A, les signes de ces fonctions seront ceux de leurs premiers termes. Mais, par la manière dont on forme les polynômes dérivés, il est évident que ces premiers termes sont composés des puissances â:^, :r% :r*,.<.2:^, multipliés par des coefficiens qui sont tous de même signe ^ donc, après la substitution de i:= — A, la suite des fonctions n'aura que des variations.

Pareillement, des valeurs positives de a: , au-delà d'une certaine limite a:=-{*B, feront acquéHr, aux fonctions de la suite [i] , des valeurs qui seront toutes de même signe, de sorte que la suite des résultats n'offrira plus alors que des permanences.

Puisque la substitution de la limite — A, dans la suite des fonctions [i] , ne doit donner que des variations , et que ces fonctions sont au nombre de 772-I-1, il s'ensuit que le nombre des variations est é%v\ à m, c'est-à-dire, au degré de l'équation X=o. Ainsi, m est le nombre total des variations que doit perdre la suite [i]^ en faisant augmenter x depuis — A jusqu'à -f-B.

Cela posé y considérons lé cas oii les 772 racines de l'équation

48o Licom tiàioiaajLé

X =3 0 sont réelles ) et concevons qu^on snbstitae dans la faite [i] deux quantités « et p intermédiaires entre — A et -f-B, aétnt <^/3 : je dis qu^alors le nombre des racines comprises entre «et^ serait précisément égal à celui des variations perdues par la soitt [i], en passant de j:=« à a: = ^. En effet, on sait déjà qœk nombre de ces racines ne peut pas être plus grand que le nomixe des varialions perdues (49^)3 et d'un autre c6té,s'il était moindicy il faudrait y par compensation , qu'on trouvât, en passant de— A à « y ou de ^ à 4" B , plus de racines que de variations perduei, ce qui est impossible (492).

Maintenant, ne supposons plus que Téquation ait ses mradoo réelles. Nommons n le nombre des variations perdues en pu* sant de a à ^. Par le théorème du u? 49^1 il ^^ d^ir que b nombre des racines réelles qui sont en-deça de a et au-delà de ^i ne devra jamais excéder 772 — n j donc, s'il y a entre « et ^ nioni de n racines réelles , on est certain que ce nombre doit être complété par des racines imaginaires.

Pour cette raison , et afin de rendre le discours plus général} FouRUR propose de regarder Fintervalle de a à ^ conune com{in' nant n racines ; mais alors il faudra sous-entendre que qnelqHl unes d'entre elles peuvent être déficientes ou imaginaires.

495. Le théorème du n? 49^ renferme comme corollaire odsi de DfiscARTEs. Pour une certaine limite positive ar=?=-|-B| k suite [i] ne doit avoir que des permanences. Mais si on fait xs^ les fonctions de cette suite se réduisent aux coefficiens mémedi Téquatîon X = o , abstraction faite de certains multiplicatenil numériques et positifs; donc, de:r=o àj:=-f-B, la snitedoit perdre autant de variations qu'il y en a dans l'équation j donc le nombre des racines positives , lesquelles sont toutes entre 0 d -}-B, est tout au plus égal au nombre des variations de l'éqni' tion. Tel est en effet le théorème de Descàrtes (473).

Si l'équation manque de quelques termes , il y aura , dans k suite [i], des fonctions qui s'anéantiront pour a:x=5 0«M peut supposer à ces zéros des signes tels que les variations soiol en même nombre que si on ne tenait aucun compte det tenii manquans ,* par conséquent , le corollaire est vrai , sans qu'il nk nécessaire de faire aucune attention à ces termeSt Cette reaar|«

s'accorde parfaitement avêc'ce qtii a été dit au rajet du thëorëme de Descartes.

Ici, on peut encore ajouter, comme consë(}uence immédiate' du nouveau théorème, que si Téquation a plus de variations que de racines positives, le nombre excédant sera toujours pair, et indiquera dans réquation un pareil nombre de racines imaginaires.

496. Untililé du nouveau théorème, pour la recherche des racines réelles, est facile à apercevoir. Dans les fonctions

[i] . XC»), XC'«-0,,..X",X', X,

on substituera des quantités positives croissantes de o vers *— co ,* jusqu'à ce qu on parvienne à une limite — Â , qui ne donne que des variations de lignes ^ puis on substituera aussi des quantités positives croissantes de o vers -f-oo , jusquà ce qu'on atteigne une limite -("S 9 qui ne donne que des permanences. Quant aux intervalles des substitutions^ ils seront plus ou moins rapprochés , selon qu'on le jugera convenable. Parmi ces intervalles, il en faudra distinguer de plusieurs sortes.

Si un intervalle est compris entre deux quantités , dont Tune donne une variation de moins que Fautre, il y a entre ces quantités une racine réelle de l'équation , et il n'y en a qu'une seule.

Si un intervalle est formé par deux quantités^ dont l'une donneplusieurs variations de moins, mais en nombre impair, on sera sur que cet intervalle renferme un nombre impair de racines réelles \ mais on ne saura point- encore s'il en renferme une seule ou plusieurs.

Enfin ^ si un intervalle est formé par deux quantités , dont l'une donne plusieurs variations de moins , mais en nombre pair, cet intervalle pourra renfermer un nombre pair de racines^ ou n^en renfermer aucune.

497* I^ans 1^ deux derniers cas, il reste de l'incertitude sur le nombre des racines réelles que comprend l'intervalle. La première idée qui s'offre à la pensée, est de partager l'intervalle en plusieurs intervalles moindres par des quantités intermédiaires qu'on substituera dans la suite [O9 et d'appliquer à ces substitutions les règles précédentes. Si la séparation n'est pas encore complètement opérée, onpourra subdiviser les derniers intervalles, et

ainsi de Boite. Lorsque rinterralle primilif ne eomprend que te racines réelles et inégales , ces subdiyisions répétées doivent et opérer infailliblement la séparation. Nous écarterons ici lo cas des racines égales, attendu qu'on a une méthode pour décompoHr une équation, qui a des racines égales, en d^autres équations, dont toutes les racines sont inhales.

Lorsque rintervalle primitif ne comprend pas de raciaes réelles , la subdivision de cet interyalle n'aura aucun terme , et Toa ignorera toujours si la séparation est impossible ea raison de ce que les racines sont imaginaires , ou si elle est seulement retardée en raison de ce que leurs différences sont extrêmement petitMi De nouvelles règles sont donc nécessaires pour flaire dispanitn le doute ^ et c'est à quoi Ton parvient sûrement en employant 9 avec Lagbangi, des substitutions intermédiaires, dont les intemlles sdiçnt moindres que la plus petite différence entre les racines

Le nombre des substitutions successives, exigées par la Méthode de Lagrange, se trouve déjà considérablement diminué psr la connaissance des intervalles où le théprème de M. Bvdax montre qu'il ne tombe aucune racine réelle. Mais il reste toujours a éviter l'équation aux carrés des différences, dont le calcul est d^not prolixité vraiment fastidieuse. J'ai déjà dit que M. Buda avait dirigé ses recherches vers ce but , mais qu'il ne Pavait point atteint. FovRiEX , dans son jinaljrae des Equations , n^a pas été plus heureux; et même rinsuflisance du procédé qu'il indique eH tellement frappante , qu'on a peine à concevoir comment il a pa s'y arrêter un seul instant.

M. BuDAi7,dans sa Nouvelle Méthode jéàii. de 1821a, n'aindiqné le nouveau théorème que comme moyen de reconnaître l'abseocs des racines dans certains intervalles. Peut-être eùt-il pu en tirer oa meilleur parti, et s'en servir pour donner à sa méthode rexaetitodi qui lui manque. D'un autre côté , dans les mémoires de Tlnslitaty année 1827-, Fouaisa a énoncé qu'on pouvait procéder immédials* ment au calcul des racines en fractions continues, comme si Ton écsil assuré que toutes les racines sont réelles , et qu'en se guidant pir ce théorème , la distinction des racines réelles et des raoiBCs ifltt" ginaircs, ne doit pas manquer de s'opérer. Cette assertion Q*élail appuyée d'aucune preuve pouvait paraître hasardée; maisy dt-

poil I «lie a éxé ïïme hors de doute par M. YiHCsirT. Voyez la note placée à la suite de FAlgèbre de M. Bourdon , 6* édit.

Théorème três^remarquable de M. Stcrm. Son Misage dans la résolution des équations. Comment il donne les conditions de la réalité des racines.

4g8. Parmi les méthodes rigoureuses, celle que je viens de citer n'est pas la seule qui éyite Téquation aux carrés des différences. Il est clair qu^on y parriendrait^sî Ton avait un théorème d'une application facOe , pour reconnaître combien une équation a de racines réelles entre deux nombres donnés : car dès-lors on pourrait procéder au calcul des racines, par approximations succèsaires, en subdivisant Tintervalle des deux nombres en intervalles partiels de plus en plus resserrés. Or, ce théorème important a été découvert par M. Sturm, qui l'a communiqué à Tlnstitut en 182g. Bécemment il a aussi été imprimé dans Texcellent traité d*A]gèbire de MM. Mater et Ghoquet ^ et comme désormais il formera ilne partie essentielle de la théorie des équations, il doit naturellement trouver place ici.

499. Soit une équation quelconque X=o , qui n^a plus de racines égales, et dont le premier membre X est un polynôme de la forme .

^ X = Gx^^Vx^'+ Qa:«-» . . . +Tx -f-U ,

I dans lequel tous les coefficiens sont des nombres réek. Formons d'abord le polynôme dérivé Xi de X , divisons X par Xx, et , l '^ quand nous serons parvenus à un reste de degré inférieur à X,, I changeons les signes de tous les termes de ce reste. Désignons par i Xa ce qu'il devient alors, divisons de la même manière Xi par Xa, f et changeons encore les signes du reste , on aura un nouveau I polynôme X3, de degré moindre que Xa. Divisons semblablement Xa par X3 , et continuons cetle série de divisions comme s^il s'agissait de découvrir le plus grand commun diviseur de X et X,, en ayant soin de changer toujours les signes des restes. On est sûr 4 la fin d'arriver à un reste numérique , c'est>à-Hlire ^ qui ne oonitendra plot x^ et ce reste sera différent de zéro , autrement Féq«al|tf< X«s» aurait d«i rtciaei égale», ce qui est omtre la rap-

484 LtÇOSS D^ALGEBILE.'

position. Après avoir changé aussi le signe de ce reste , représentons-le par X,.. On aura ainsi une suite de fonctions

(x) Aj Ai, Jia, A3| •••^rwa| Ai}

qui toutes contiendront x à Texccption de la dernière X^. Je désignerai cette suite de lonctions , écrites dans Tordre ci-dessus, en disant, d'une manière abrégée, la suite Çx)^ et pour indiquer œ qu'elle devient enjr remplaçant x par une valeur particulière a y je dirai simplement la suite (a). Le nom de fonctions intermédiai» res sera donné à celles qui sont placées entre X et X^. Gela posé, voici une règle sûre pour connaître combien l'équation X:= o a de racines réelles comprises entre deux nombres quelconques a. et P, a étant <^p.

Substituez a dans la suite (x), écris^ezpar ordre sur une même ligne les signes de tous les résultats , puis comptez le nombre de variations contenues dans cette suite de signes; écrii^ez sen^ blablement sur une même ligne les signes qu on obtient en subs' tituant p, puis comptez le nombre des variations de cette jcconde suite : autant elle aura de variations de moins que la première^ autant r équation X = o aura de racines réelles entre

Tel est le beau théorème dont M. Sturm a enrichi l'analyse algébrique, et dont la démonstration va nous occuper.

Nommons Yx, Ya, Y3, • • . Yiwi, les quotieos qu'on trouve en. divisant X par Xx, Xj par Xa, • . • Xr a par X,^x; et rappelonsnous que les restes de ces divisions sont — Xa, — -Xs, •••— -Xr* On aura cette suite d'égalités

X =:XxIx— Xa ,

Xx=XaIa— "X3 ,

[l] -/ Xa=X3Y3 — X4,

X,w.a = X,— I Y^-x— Xy j

et deux conséquences importantes s'en déduisent immédiatement*

1* Deux fonctions consécutives de la suite (x) ne peavent pas

devenir nulles pour une même valeur de x, £n effets ai on pou-?

vait avoir k la fois Xn— 1=0 et Xn=09 Fégalité

qui se trouve parmi les précédentes, prouverait qu^on doit avoir aussi X„4.,'=o^ et en descendant d^égalité en égalité on conclurait qu^on doit avoir X^sso , ce qui est contre la supposition.

2° Si une fonctioor intermédiaire de la suite (x) devient zéro pour une certaine valeur de x , les valeurs de la fonction précédeaie et de la suivante sont de signes contraires. En effet , lorsqu^on a Xn=o, Fégalité ci-dessus se réduit à X„»i =» — X„|-t.

Maintenant concevons qu^à partir de :r = a on fasse augmenter X d'une manière continue y et examinons comment peuvent s^în- * troduîre des changemens dans les signes de la suite (x). Tant que X n'aura pas atteint une valeur propre à faire évanouir une ou plusieurs fonctions die la suite (x) , il est clair qu'aucune de ces fonctions ne changera de signe, et que par conséquent la suite C^) présentera toujours les mêmes successions de signes. Supposons donc que x ait atteint une valeur a qui anéantisse une ou plusieurs des fonctions X, Xi, X3, etc.; mais supposons d'abord que X n'en fasse point partie.

Soit X„ une fonction intermédiaire qui devient nulle par lia valeur j: = £I. Suivant ce qui a été remarqué plus haut (1° et 2"*) , les fonctions X^^i et X„^.z, pour cette valeur x^s^a, devront être différentes de zéro et avoir des. signes contraires : de sorte qu'en donnant à la fonction nulle tel signe qu'on veut , la suite des trois fonctions

présentera toujours une variation et n'en présentera qu'une.

Depuis a:s=a jusqu'à a:= a, aucune des fonctions X„i et X„-j-, n'ayant changé de signe , elles ont dû être de signes contraires ^ par conséquent , quel qu'ait été le signe de X„ avant de faire a:s=a, la suite des trois fonctions présentait aussi une variation et n'en présentait qu'une.

Si on fait x^a^^-hj ou pourra prendre h positif et assez petit pour qu'il n'y ait aucune racine des équations Xa^i= o et X„4.i =0 entre a et a-^-h. Dans cet intervalle aucune des fonctions Xn^i et X,^f I ne changera de signe; elles seront donc de signe» contraires^

486 LEçom D^ALGkni.

et par conséquent , qaei que soit le signe de Xn» il J fttum encoR une yarîatiou unique dans la suite des trois fonctions.

S'il y a quelqu'autre fonction intermédiaire qui soit zéro pour .^=zay on est sûr qu'elle est placée entre deux fonctions qui ne s'anéantissent pas , et les raisonnemens précédens seront tout-ifait applicables à ces trois fonctions. Donc, après la Talent xs=tf, il y aura dans la suite (x) le même nombre de yariations qa'tupirayant) quoiqu'elles puissent être autrement distribuées.

La succession de signes, qui s'établit en substituant des yalenn de X un peu plus grandes que a, se maintient la même jusqu^t eè que X dépasse une yaleur qui fasse disparaître quelque fonctiott de la suite {x). Mais si cette yaleur n'anéantit point la premièit fonction X, l'explication précédente proufe qu^après cette yaleur les yariations de la suite (x) seront encore en même nombre» Vu là onyoit clairement que ce nombre ne peut pas changer à inoini que X ne paryienne à dépasser une racine de Tëquation Xs=ro. Il faut donc comparer les signes que prend alors cette suite tyee ceux qu'elle ayait auparayant , pour des yaleurs de x an peu aadessous de cette racine.

Soit a une racine de l'équation X-so^ faisons x=sa'^hjh étant une quantité positiye aussi petite qu'on youdra. En daignant par A, A% A", ... les yaleurs du polynôme X et de ses dérivés pour a*s=a, et par H la yaleur de X correspondante à a-fJl 9 on aura

H = A+A'A+iA"A>+etc.

Mais, puisque a est racine de X=o, on a A=:oj donc

H=A'A4.i-A''A»+etc:

et d'ailleurs on est sûr que A' est différent de zéro , atteada mw l'équation X=o n'a pas de racines égales. En mettant h ca lecteur, on écrira

H = A(A'-KA"A+etc.),-

alors il est évident qu'en donnant à A de trcs-petites TàleUrs' positives, la quantité entre parenthèses sera de même signe que son premier terme A', et par conséquent H sera aussi de même signe que A\

LEçoirs D'ALekB&i. 487

Pour savoir ce qu'était X avant que x eût atteint la valeur a^ on y fera x=a'^h \ et, pour obtenir le résultat H' de cette substitution, il suffira de cbanger h en —A dans Texpression de H. De cette manière, on a

H'=— A(A'— iA'A+eto.), . • •"■

et Ton voit clairement que, pour de trës-petites valeurs de %> la quan^ tîté H' est de signe contraire à A^ Ainsi , avant que x eût atteint ' la racines, il y avait dans la suite (x) une variation de X ii X|| et après que x a dépassé a, cette variation se trouve remplacée par une permanence. Or, de ce qui a été dit plus haut il résulte que, pour les valeurs de x un peu moindres ou un peu plus grandes que a, le reste de la suite (j?) doit toujours avoir un ^al nombre dft variations, quand même x^»a ferait disparaître quelque fonction intermédiaire ^ donc, lorsque x en croissant vient à dépasser une racine de Féqnation Xsso, la suite (x) perd une variation.

En continuant d'augmenter x, le nombre actuel des variations de la suite (:r) demeurera le même jusqu'à ce que x dépasse encore une racine î et alors une autre variation se perdra encore. La même chose arrivera chaque fois que x dépassera une nouvelle racine ; de sorte que les variations perdues par la suite (x) seront toujouri «n même nombre que les racines de X = o , comprises entre la valeur x sa a, par laquelle on a commencé les substitutions, et la valeur xss^ à laquelle on les arrête. C'est ce qui était à démontrer.

Remarques. I. Dans les divisions successives qui servent à trouver Xa, X3, etc., on peut multiplier ou diviser les dividendes et les diviseurs par tels nombres positifis qu'on voudra. Par là les fonctions X, X,, X*, etc. seront seulement multipliées ou divisées par des nombres positifs, ce qui ne changera point leurs signes.

H. Si dans la suite (x) il se trou?e une fonction Xj^ qui ne puisse pas devenir séro de xssa à xs»^, et si on veut connaître le nombre des racines comprises entre a et ^, on pourra faire abstraction des fonctions qui viennent après X;^. En effet, il est facile de voir qu'en faisant varier x seulement depuis « jusqu'à ^, on peut appliquer à la suite partielle X, X., • • • Xj^ tout ce qui a été dit de la suite complète.

m. Le cas oii Tune des limites « et p ferait évanouir une des

488 LEÇONS D^ALCEBUE.

fenctionsX, Xi, etc., ne peut donner lieu & aucune difficullë. S c*est une fonction intermédiaire qui disparaît, on a tu qu'elle est toujours placée entre deux fonctions qui ne disparaissent pas et qui sont de signes contraires ; de sorte qn^on peut indifféremment prendre la fonction nulle avec -f- ou ayeo— >, ou même nVn tenir aucun compte. Si X s'évanouit, et que ce soit, par exemple, en £aûsa'nt :c=p, on conclura d^abord que ^ est racine ; puis on remarquera, d'après la démonstration du n** précédent, qu'^n donnant à j: des valeurs nn peu au-dessus de p, il j a une permanence de X à X» tandis que dans le reste de la suite, h. partir de X, , il y a le même nombre de variations que pour x=p. On conuaStra donc par la règle générale le nombre des racines réelles comprises entre « et une quantité un peu plus grande que p.

ly. Ne supposons plus que X, soit la fonction dérivée de X, mais nn poljn6me assujéti seulement aux conditions de n'avoir point de facteur commun avec X, et de prendre un signe contraire à X pour des valeurs de x très-peu au*dessous d^une racine qudconque de X=o 5 puis, servons-nous de ce poljn&me pour calculer Xsy X3,. • . comme on s*est servi d'abord du polyn6me dérivé. Le théorème de M. Sturx subsistera également avec la nouvelle suite X, Xx, Xa. • • En effet, d'un côté, si on reprend les détaib de la démonstration , on verra que les nouvelles fonctions inter^' médiaires jouissent encore des mêmes propriétés ; et, d'un antre c6té, il est dair qu'en passant d'une valeur de x un peu au-dessons d'une racine de X±=o à une valeur un peu au-dessus, la fonction X devra changer de signe, tandis que X^ n'en changera pas.

y. Je vab monlrer à présent comment le théorème de M. Stuem peut encore être appliqué, quand Féquation X=o a des racines égales. Soit X = (x — a)" (a: — M*' (a: — c){x — c/j... Les divisions prescrites pour déduire, du polynôme X et de son dérivé X, , les ^notions Xa, X3, etc., conduiront à un diviseur exact X^, fonction de Xy qui sera le plus grand commun diviseur de X et de X, ; et , d'après la composition connue de ce diviseur, si on divise X et Xi par Xr, lés deux quoticns seront y =(a: — à){x — b)\pi:^c){x — rf). . .

y ( n{x^b){x'--c){x—d). . .+/i'(a>— a)(j>-c)(a:— d).. . ' ( + {x-^a) Or— i) (a:— rf) . . . -f etc.

LEÇOKS d'algèbre. 4^

A la seule inspection, on Toit que Y n*a pins de facteurs égaux, et que Yx n'a point de facteur commun avec Y. En outre , il est ladle d^aperceyoir que, pour des valeurs de x tres-peu au-dessous d'une racine quelconque a, le facteur x — a étant très-petit, Vx aura le signe du produit n(x — byx — c){x — d). • • , lequel signe est évidemment contraire à celui de Y. Donc , en appliquant le tbéorcme de M. Sturm à Téquation Y=o , on peut employer le quotient Yi à la place de la fonction dérivée de Y.

D^un autre c6té il est clair que les fonctions Yi, Ys,* • •, qu'il faudrait déduire de Y et Yi selon la règle prescrite , sont aussi les quotiens de Xa, Xs, • • «X^ par Xr 9 donc les deux suites

Ap Ax, -^9, • • • • •'^ry V, 'lî ^ *f •••• Vr

ne difierent Tune de l'autre que par un facteur cdmmun, et, quelque soit le signe de ce facteur, il est évident qu'elles doivent pré^ senter les mêmes variations lorsqu'on j substitue une valeur de x qui n'anéantit point X. Ainsi, en appliquant le théorème à la première suite^ on pourra juger combien, entre deux nombres « et p dont aucun n'anéantit X , il 7 a de racines de l'équation Y^o, ou bien, ce qui est la même chose, combien il 7 a de racines de l'équation X;=o, abstraction faite du degré de multiplicité.

Soi • L'usage du théorème de M. Sturm se présente de lui-même. Supposons que l'équation à résoudre n'ait plus de racines égales, et formons la suite

\XJ JIl, ^i, ^Sy • • • • ^f '

II est évident que la substitution de o à la place de x réduit chacune de ces fonctions à son dernier terme; et d'ailleurs on sait que les valeurs de x au-dessus d'une certaine limite positive -f- L font prendre à chaque fonction le même signe qu'à

' son premier terme : donc, à la seule inspection de la suite (x), on pourra connaître le nombre des variations de la suite (0} et

aussi celui des variations de la suite (-|-L). La différence entre ces

deux nombres indiquera combien l'équation a de racines positives. On découvre avec la même facilité combien elle a de racines

^^[ativesy en obseryant qu'au-delà^ d'une certaine limite -—L'y

4gO LEGONfl SALCisBEI.

tous les nombres négatifs font acquérir à chaque fonction delà mite (x) le même signe qu^à son premier terme.

Pour plus decommoditë, on prend -j- co et — oo au lien de -|-L et — L' : c^est une manière abrégée de désigner deux noÉDbres qni peuvent être aussi grands qu^on veut.

5oa. Comme les racines natives déjeunent positives en diaih géant x en —a:, je ne parlerai plus que de ces dernières. Pour kl séparer, on substituera, dans la stdte {x)j des nombres positib croissans o, «, ^, y^ etc. \ et, en notant le nombre des Yariationf perdues à chaqne substitution, on connaîtra le nombre des racinei comprises entre o et « , entre a et p, etc. Ces substitutions deyront être continuées jusqu'à ce qu^on trouve une suite dont les variations soient en même nombre que celles de la suite (+cc). Oii^ n'ira pas plus loin : car il ne peut point y avoir de racines au-des- » sus du dernier nombre substitué.

Admettons qu'il y ait plusieurs racines entre a et p, on fera une ou plusieurs substitutions intermédiaires; et les variations qùè perdra la suite (x), après chaque substitution, indiqueront les racines comprises entre les nombres substitués. Il pourra se faire que qadques essais suffissent ainsi pour efiFectuer complètement la sépi^ tion des racines, c'est-à-dire, pour assigner à chacune d'elles deui limites entre lesquelles elle soit seule comprise. STais qnaind deux ou plusieurs racines seront très-rapprochées , il sera nécessaire de multiplier beaucoup les substitutions pour les séparer ; et, comme réquation n'a point de racines ^ales, on est sûr d'y parvenir toajours. La longuenr des calculs sera rachetée par l'avantage d'avoir ces racines avecAine grande approximation.

5o3. La loi suivant laquelle croissent les nombres o^ a, ^i y^»** est arbitraire ; mais il sera bien de commencer par les nombres o, I, 10^ 100, 1000, etc. A l'avantage de n'avoir que des calcob faciles, se joint celui de déterminer combien il y a de raônei entre o et i, entre i et lo, entre lo et loo, etc.

S'il y a des racines entre i et lo^ on déterminera la partie entière de chacune en substituant les nonibres i, 2, 3,.... }asqâ'à 10 ; s'il y a des racines entre lo et loo, le chiffre des dixaines de chacune se connaîtra par la substitution des nombres lo, 90| 3o,..* jusqu'à loo; et ainsi de suite. SemUaUemeut encoiei

pour kl meiiMi moiildnes que i, «m caniudtnit U cbiSre décittald€r<»df« le|pliiixa|i|NmliédebTirgiil6, MBiibititn nombres de o,i à i^oabiendeo^oi k 0|i ^ etc.

En procédant de cette Boiamèrey on obtient le obifEre de Tordre le plus élevé contena dans chaque racine : yoici cMnmcnt on obtiendra cdoi de l'ordre immédiatemenl inférieur. Pour fixer les idées , supposons qu'il s^agisse des racines comprises de Jioo à looo y et qU'Oa ait reoc»uui que quelques unes d'elles sont entre 3oo et4oo. n est évident que la suhititation des nombres 3oq, ^lOy 3ao^..«« dans la suite (x) ferait découvrir le cbiffre dea dir saines; maiS| pour faciliter œs calculs, on changera d'abord ^r ^aai 3oo4-«' 9 et on aura ainsi une nouvelle suite (a/) dans laquelle il n'y aura plus qu'à feubstituer les nombres o, lo, ao,;'.*

Admettons maintenant qu'après la détermination des dixaines , on ait reconnu qu'^3 y a des racines entre 35o et 36o. La substit«doa des nombres 35o et 35i , 352,... dans la suite (pc) ferait découvrir le chiffre des unités , mais ici encore on peut simplifier Je calcul* Le changement de « en 3oo-f«^ a déjà transformé la inite (x) en une autre suite («0- Or, celle*-ci se transformera sem- Jblablement en une suite Çx") en y^remplaçant x' par 5o^x"j et il estclair que sion met dans cette dernière les nombres 0,1 ,a,..., on aura les mêmes résultats qu'en substituant les nombres 5o, 5 1 , 52,. . . dans la suite (j/), ouïes nombres 35o, 35i , 352,... dans la suite (jr).

Bien «'empêche de continuer ces calculs pour connaître inccesjjffimcnrle» dixièmes, les centièmca, etc.; et, par cette voie, lumeenlemetit on arrive à séparer les racines , mais encore à les oal- «■kr avec telle approximation qu'on voudra. *

& on voulait exprimer les racines en fractions continues, rc»pIol du théorème de M. SruaM ne serait pas moins facile; et je enÂB que des détails à ce snjet sont superflus.

i^4* ^ théorème donne] aussi un moyen très-«imple d'ëMp- •1^ les conditions de la réalité des racines. Comme les raoiiies réelles sont tontes comprises entre deux limites *^V et «4"L, 'Pmie négative et Tautre positive, qu'on peut choisir aussi grandes qtPOn voudra, la question revient à chercher les conditions né- •MÉsabeapoor qoe,^4ra>— L' à a:— \ L, la suite X, X,, X», etc., perde un nombre de variations égal au degré de Mqoalîoii.

En supposant ce degré égû à m, il faudra donc qà*elle perde m yariatlons. Or, pour qu'elle ait m yariations, il faut qu'elle aitaa moins m-|-i termes; et comme elle ne peut pas en avoir davantage, on est sur que les quantités X, X,^ Xa? etc., sont au nombre de 771-4-1 9 et que par conséquent elles sont respectivement di degré 777, 771 — i, 777 — 2, etc. La dernière, qui ne contient plus x,

sera alors représentée par Xm<

Lorsque, dans des polynômes en :r, on substitue pour x de trcsgrands nombres, positifs ou négatifs, on sait que les résultats sont de mêmes signes que si chaque polynôme était réduit à son premier terme : ainsi , dans la recherche qui nous occupe , on ne doit faire attention qu'au premier' terme de chaque polyn6me. Prenons Féquation X=o sous la forme ordinaire ,

a:'"-4-Pa:"*~'-f-Qx''^'-4-etc.=so :

le premier terme de X sera a5", et celui du p6lyn6me dérivé Xi sera mx"*^^. Quant à ceux des polynômes Xa , X3 , etc. , ils sont des fonctions, qui se composent des coèfficiens P, Q , etc., et qm se déterminent par des divisions successives conformément à h règle. Représentons ces fonctions par Ga, Gs,..* G^, et écrivons par ordre les m-\~i quantités

x^j 777x^-% Gao:*--*, Gzx^-^j G^.

La question sera réduite à chercher les conditions qui feront perdre 771 variations à cette suite lorsqu'on passera dea:= — L' & ;r=:-4-I<* Pour que cela soit, il fkut qu'elle ait 772 variations après la substitution de — L',^t 771 permanences après celle de -|-^L." Mais , d*oa autre côté, dans cette suite les puissances de x vont en diminuant d'une unité; par conséquent, si elle n'a que des peinnânences en faisant x=^L , elle n'aura que des variations en faisant x=: — L'. Ainsi , les conditions cherchées se réduisent simplement à cdlcs qui sont nécessaires pour que cette suite' n'ait que des coeffidens positifs: c'est-à-dire à celles-ci, Ga]>o, Ga^o,.., Gm>>o.

Oh voit que ces conditions ne seront jamais en plos grand nombre que 772 — i. Mais elles pourront être en nombre moindre, attendu que quelques-unes des inégalités ci^-dessui peuvent fenr trer dans les autres.

LEQOHS D^ALOIBIE. 49}

En se servant de l'équation aux carrés des différences^ comme dans le n^4799 ou desdérivées successiveSy comme dans le n^ 4^7, lescon* ditions se présentaient au nombre de -7/71(171 — i), lequel est comme on voit beaucoup trop considérable. Le perfectionnement que le théorème de M. StviCii ajoute à cette partie importante de la théorie des équations sera sans doute apprécié des analystes.

5o5. Comme application, cherchons les conditions nécessaires pour la réalité des racines de Téquation

Ici on a m==3y et les conditions sont seulement au nombre de deux, G3}>o et Gz^>o. Pour ayoir G3 et-Gs, on calculera Xa et X3 par des divisions successives comme ci-dessous.

Première division.

*— 3a:^ — px

Deuxième division.

'^'Zpx-^'Zq —2/70: — Zq

Bor'-I- P

-^lipqx +27^*

4;e?3+277* Il — 4p^— 27î*

— 2px-^3q

Pour éviter les dénominateurs , on a multiplié le dividende par 3 dans la première division , et par ^p* dans la seconde. Les restes se trouvent ainsi multipliés par des facteurs positifs , ce qui èèt^ndifférent. On a d^aiUeurs eu Soin , conformément à la règle , de changer le signe du reste après chaque division. De cette manière, il vient •

X,= — 2px^3q , X3=— 4p^'— 27î'5 par conséquent lesin^alités Gal>o , G3>o , deviennent — 2/7>o, i^4^3 — 27 j'>o. Mais si on change les signes, et si on observe que la première est renfermée dans la deuxième , on n'aura plus que la condition déjà connue ,

494 • WpWP'iMàWfc

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