CHAPITRE XSL
jibaissement des équations. Equations rêciptvques*
Équations binômes.
jÊbaisêêmeni des équations îonqi/tn eoimafi quelque r$iaiion purtkê^
Uèr$ ênirê lu racines.
5o6. Une ëqnation est toujours susceptible d'abaistemciit quanl on connaît c|uelque relation particulière eQtre sea racines; msis dans tons ces cas on est ramené à cette question générale qu'il faut résoudre d'abord : Comment peut'on reconnaître au'mm équation X=o a âes racines communes avec une attire T^ao, et comment alors peut-on en abaisser le degré?
Supposons que FinconiAe soit représentée par x dans les deux équations. Puisqu'elles ont des racines communes a, b, c, • • • , bi facteurs or— a y X'^b , x— -c,... doivent aussi leur être commansi et le produit de ces facteurs est le plus grand commun diTiseorde leurs premiers membres X et Y. On cberchera doue ce pliu fgmà commun diviseur ^ et, en le désignant par D » lea raoîiies cooh munes dont il s'agit seront celles de l'équation IK=ao. Si epfnili on divise X par D et qu'on appelle Xi le quotient 9 les aatreilt* cines de l'équation X=o seront celles de l'éqaation X|«ro»
Par exemple, soient leç deux équations
En cherchant leur plus grand commun diviseur, on tnmit a:'-|-2x«^8. En conséquence on pose
et de là on tire les racines conununes xsss^^ xs=t^^.
Pottr «tolr Ict antres ndnes de h première ëqHalion, on la di* yUera par ar^-a^-^» et U Tiendra celles*ci
d'où l'on tire arr=— i, :rsc3.
507. Maintenant, montrons de queUe manière on abaisse le degré d'une équation quand il existe une relation particulière entre quelques unes de ses racines. Gomme les généralités seraient trop difficiles à saisir y nous commencerons par un exemple fort simple.
On propose d'abaisser P équation, ... [ i] F(x) = o , .
dans laquelle on sait qu'il jr a deux racines dont la somme est égale à une quantité connue k.
Ces deux racines étant représentées par xelx^f on dena ayoïr lips trois équations .
ff
F(x)asxOy F(x^^Oy 3S+X^=k.
La dernière donne xf^k-^x^ et en substituant cette valeur dans la seconde, on aura deux équations en x qui devront avoir lieu en même temps, savoir :
£a] JF*(jr)=ao, F{k'^x)ss:o,
L'éqnation F(b — ^a:)s=o, considérée isolément, a pour racines toutes les quantités qui , étant retranchées dé A: , donnent pour reste une racine de F{x)-=o \ donc les deux équations [2] doivent arelir ponr racines communes tontes celles de l'équation [1] qui, Aanl retranchées de k , reproduisent une racine de cette même rfqaation. En conséquence , ou cherchera le plus grand commun diviseur D de F{x) et de F{h — x) \ et toutes ces racines seront •ontennes dans Téquation D==o. On divisera ensuite l'équation [t] par D, et l'on aura celle qui doit renfermer les autres racines,
811 j a véritablement dans Féquation [i] deux racines a t\ b telles qu^on ait a'^b=xh , on doit avoir également k'^asssf^ et t-m4f^aa; par conséquent le diviseur commun D serait alors au moins du A* degré. Il sera d'un degré supérieur lorsque , parmi les racines de l'équation [1] 9 il j aura plusieurs manières d'en piendre deux dont la somme soit k. Il pourra aussi être du 1*" degré f et ce cas arrive lorsqu'il y a dans l'équation une racine éttimkik.
4g6 LEÇONS D'ALfikBBB.
Rien de si facile que de former à priori des exemples qui piéseatent ces différens cas. En voici dans lesquels ir = 6.
D=(ar— a)(x— 4)-
F(6— x) = (x— 4)(-^— 3)(ar— 2)»(a:4-2)% D = (a:— 2Xa:— 3)(a:— 4).
F(6— x) = (x—3)(:c— 2X^—1 )»(a:+2)* , D=:cr— 3.
Remarque. LorsquUl y a des racines égales à \k dans Féqnatioa /r(x)=o, il est facile de le reconnaître en substituant \ k daos cetlt équation, et de supprimer ensuite ces racines au moyeu de la division. Lorsque Téquation contient en outre d'autres racines égaltt entre elles , on sait comment on peut l'en débarrasser : de sorte que si , après ces simplifications , il existe dans l'équation des racines qui, étant soustraites de h^ reproduisent des racines de cette équatiou , on sera certain qu'elles pourront être distribuées par couples a etby c et d^ etc. tels qu'on ait a-{-6=i&, c4-^=i^i etc., etc.
5o8. Les explications précédentes ne souffriraient que de légères modifications, si au lieu de la somme de deux racines oa supposait que /c'est leur produit, ou leur différence, ou leur qm^ tient, qui est égal à un nombre donné k.
On a vu que les équations qui renferment des racines es/an pouvaient subir un abaissement considérable. Ce cas est celui de plusieurs racines qui ont entre elles une différence k qu'on ioA wt égale à zéro, ou un quotient k qu'on ferait égal à runité. 1^
Si Ton veut considérer l'abaissement des équations sous lepoitf /«t de vue le plus général, il faudra supposer qu'il existe entre pii^lnl sieurs racines d'une équation telles relations qu'on voudra. U at facile de voir qu'alors on aura, entre ces racines inconnoes , pbi d'équations qu'il n'y a de ces racines, de sorte qu'on sera toojooii. ramené à reconnaître que plusieurs équations à une seule inooa- ^
nue doirent ayoir des racines communes. Mais pour arrÎTer à ces équations Femploi des méthodes d'ëiimination peut être nécessaire*
5og. Il y a certains cas où rabaissement ne peut s^opérer qu^à Faide de procédés nouyeaux. Afin de me faire mieux entendre , je reprends Texemple du n® 5o7 , dans lequel on doit avoir entre X et o:^ la relation x-\'x'=sk^ et, pour plus de netteté, je suppose qu'on ait effectué les simplifications dont il a été parlé dans la remarque. Soient alors
les deux équations qui doivent avoir des ra'cines communes.
Il peut arriver que toutes les racines de F(x)zszo se distribuent par couples, a ei bj c et dy etc., pour chacun desquels on ait là même relation, a^b=kj (;-f-J=i&, etc. Dans ce cas. il est évident qu'en mettant successivement chaque racine a , ^, c,... à la placede X dans la valeur a/=i& — Xj on retrouverait toutes ces mêmes racines, dans un ordre différent : de sorte que les deux équations [3] seraient identiques et rabaissement n'aurait plus lieu. C'est ce qu'on voit dans l'exemple ci-dessous, oii Kon suppose h=6i
'F(a:):i=(a:— i)(x— 2)(ar— 4)(x— 5), F(6— x)=(:c— 5)(a:— 4)(a:— 2)(x— i).
Cependant je vais montrer que l'équation proposée pourra s'abaisser à un degré moitié moindre, au moyen d'une inconnue auxiliaire Zj choisie convenablement. La condition essentielle à rem* ^ plir en choisissant cette inconnue, c'est qu'elle soit égalé à une . fonction tellement composée avec les deiix racines x et x^ d'une même couple , qu'on soit assuré d'avance que les différentes valeurs de z dépendent d'une équation de degré moindre que la ^ proposée. Ce qu'il y a de plus simple sera de prepdre pour inconnue la différence des deux racines x et x^^ ou mieux encore leur demi-différence, et de poser :r — a/=2z. De cette manière, on est certain que chaque couple de racines donnera pour z deux valeurs égales et de signes contraires, savoir :
( z=s^{à — à) 5 ( z=-î(rf— c) 5 etc.
A la vérité , l'équation en z sera de même degré que F(t)sso, tuais elle ne devra contenir que des puissances paires de z , et Par
498 tIÇ6Vl D*ALtkBllk.
conséquent; en^ regardant z* comme llnoonnue , elle sera d*fiB degré moitié moindre.
Quant k la manière d^avoir réquation eu Zy rien de plus fadlei On a ces trois équations
Des deux dernières on tire
X=iZ + ik'j
ety en substituant cette valeur dans lapremière^ on a la transformée
On peut aisément reconnaître à posteriori que cette transformation atteint yéritableméntle but qu'on se propose. Si on décompose /^x) en ses facteurs simples, on aura
F(x) sr:(j>— fl)(jr— 6)(a>— c)(a:— d)-«
Mais y par hypothèse, k^sw^bssc^dss,..^ donc
I^^-H^Xz+i(a+b)^a][z^^^a+b)-^b]. . .
On tt^a mis ici eméyidence que les deux facteurs correspondant i un couple de racines, mais cela suffit pour comprendre que Féquatiou en z ne contiendra que des puissances paires de s.
La transformation précédente n^est point la seule qu'on puÎM employer avec succès. Par exemple, si ou pose 2=xa/, il est clair que les deux racines d'un même couple ne feront prendre qu une I ^ seule valeur à z ; et par conséquent la transformée sera de degré moitié moindre que F^x), Par une raison semblable, on pourrait poser i=x*+^*î et, en général, on peut faire l'inconnue auB-l j liaire égale à telle fonction/le x et x" qu'on voudra , pourvu ^1 cette fonction reste la même quand on y change ces deux radiA l'une dans l'autre. Seulement, on ne devra pas recourir à lasooutf -a^+^j q'ii est déjà connue. |l"
Equations réciproques»
l»to« J'appliquerai ici les considérations précédentes à
ttçmfs D'AiiOlei&B. 4^
classa d^équations très*remarqaable9, et dont la fonne même fait découvrir une relation entre leurs racines : je tcux parler des équations réciproques. On nomme ainsi celles dont on reproduit toutes les racines, mais dans un ordredifférent, en divisant snccessiyement Tunité par chacune déciles. Telle est évidemment Féquation
j:«4.Pjc»+Qa:*+P:r+i =0 :
car en changeant a: en - elle devient
et celle-ci^ en la multipliant par oc^ et renversant l'ordre des termes, n'est autre que la proposée.
5ii. Avant tout, cherchons quelles relations doivent avoir entre eux les coefficiens d'une équation pour qu'elle soit réci< proque* Soit d'ahord une équation de degré impair
a:*4-Px44.Qa:34.Ra:«+Sar4.T=o.
Si on y remplace x par *, la transformée devra avoir les mêmes
racines, et par conséquent , en la ramenant à la forme ordinaire 3:^-4-etc.=o, elle devra être identique avec la proposée. Or, cet-te transformée est
donc, pour qu'elle soit identique avec la proposée, il faut qu'on ait -— P 5: — O 5— R ——S JL — T
Xa dernière égalité donné T>=i , d'oii T=ihi \ et par suite les «utres s'accordent à donner
S=±:P, R=diQ.
X'équation proposée, pour être réciproque, doit donc avoir l'une de ces formes
[i] a:54-Pa:44-Qx3-HÎj:»+Pj:4.is:o,
5o» Liçoirs n^ÀLokBBM»
Donc, pour gu^une équation de degré impair soit réciproque^ û faut et il suffit que les termes à égale distance des extrêmes aient des coejficiens égaux et de même signe j ou égaux et ék signe contraire»
En fleccmd lieu , 5oit une équation de degré pair
a:6+Pa:5-fQi:44.Ra:34Sa:«4.Ta:4.U=o.
En changeant j: en — , et en ramenant encore la transformée à la
forme ordinaire, on trouve
et, pour rendre cette équation identique avec la proposée, il &iU poser les conditions
De la dernière on tire U=±:i. Si- Ton prend U=s-|-i , les aulres donnent
et, si on prend Us=r— i, elles donnent
Donc Téqualion proposée doit avoir Fune de ôes formes
[3] :c«+Par5-|-Qa:44.Rar3-|-Qx»-|-Px-|- 1=0,
et toutefois il faut remarquer que rien ne s'oppose à ce qoeR soit zéro dans la première.
km%\ j pour qu'une équation de degré pair soit réciproque^ lorsque le terme du milieu ne manque pas , il faut et il suffit que les coefflciens à égale distance des extrêmes soient .égaux ti de même signe ; et , lorsque le terme du milieu manque , il fat et 'il suffit que ces coefflciens soient égaux et de même signe ^ (M égaux et de signe contraire,
5 12. ÎVIaintenaut voyons comment s'abaissent les équations réciproques. Si on considère l'équation [1] et qu'on rapproche Ici
LBÇÔ1Ï8 D^ALCBBEE. 5oK
termes Clément éloignes des extrêmes , on peut Fécrire ainsi :
(x«4.i)+Px(ar^4.i)-fQx*(a>+-i)=o.
Alors ou voit que orss— i est une de ses racines; et en divisant par or+i chacun des binftmes a:*+i , x'+i, a:+i| il vient
+Q ëf aation qui est toujours réciproque , mais de même forme que l'équation [3J.
Si on considère Féquation [2] y on reconnaît que xc= i est une de ses racines. Pour faciliter la division parx — i, on Técrira ainsi :
puis on trouvera facilement Féquation suivante, encore de même forme que Féquation [3] :
Si on considère Féquation [4], on voit qu*elle admet -|-i et-—! pour racines. Ecrivons-la ainsi
on aperçoit qu^en effet elle est divisible par x'— i , et Fon a pour quotient une équation , encore de même forme que Féquation [3], savoir :
ar44.Pa:5+(i4-Q)a:*+Px+i=o.
Quoique nous n ayons pris que des équations d*un degré déterminé, ou n'en voit pas moins clairement qu^cn simplifiant con- Tcnablement uièe équation réciproque quelconque, on la ramènera toujours à celles de la forme [3]. Par cette raison, la dénomina* tien d équation réciproque est plus spécialement appliquée à cet dernières , et c^est d^elles seules que nous avons h nous occuper.
5i3. Gonjsidérons d'une manière générale Féquation réciproque
[5] ar^^+Par^^-^-t-Qa;»/»-.*. . .+Q;r»-4-P*+ » = <>•
5oa
Puisque toutes les racines doiyent se reproduire en diyisant Vialâ successivement par chacune , on en conclut qu^elIes peuTent m
distribuer par couples tels que a et -, ^ et 7, c et —, dans du*]
cun desquels se trouvent deux racines dont le produit est ruiiit& Par les considérations du n<*5o9 on pourra donc transformer FeW tion en une autre de degré moitfé moindre , au moyen d'une iB*[ connue auxiliaire ; el ce quMl y a de plus simple sera de preoM
U est d'ailleurs bien évident qu'en mettant chaque racine ai tour dans cette expression à la place de x , le nombre des difr| rentes valeurs de z est égal à celui des couples; d'où il salti l'équation en z doit être d'un degré moitié moindre que la pn-l posée*
Pour former cette équation , il faut éliminer x entre [5] etU Qq et Ton y parvient par un moyen aussi simple qu'él^ant. il ^ divisant par x^ et rapprochant les termes également din ( des extrêmes , l'équation [5] devient I do
par conséquent y il ne s'agit plus que d'exprimer en fonction M fa
les binômes
■ Oj htio
A cet effet, remarquons d'une manière générale qu'en pliant a:"4--7 par ar-f--? on a
et que de là on tire, en remplaçant x-j- - par Zy
stte formule résoudra la question, car elle montre comment
lacun des binômes peut se déduire des deux prëçédeiu»
Si on fait suceessiyement /i=i ^ a, 3 1... on troute , en parUnt
arH" -îï = z* — 48*+ ii
etc.
B reconnaît, à la forme de ces expressions, que la transfor^ Se^en z sera en effet du degré m, ainsi qu^on FaYait prétu. <}uand on aura déterminé les valeurs de z, on troiitera lei ra* 3es de la proposée , au moyen de Téquation [6]. Or, elle ëqm- *t à celle-ci
x^ — 2j:+ï=o> d'où a:=îZ±:T V^j5*— 4J
r conséquent , il n'y aura plus qu'à substituer successivement K m valeurs de z pour obtenir les 2m valeurs de x* On trouve des exemples d'équations réciproques dans la réso* ^on des équations binômes dont je vais m'occuper à présent.
Equations hinâmes»
S 14. Les équations binômes sont celles qu'on ramène h la forme [1] x^^sssA ou a:"*— A=so,
étant une quantité connue quelconque.
On aperçoit snr-le-champ qu'elles n'ont pas de racines égales , ^ le binôme x^'^A n'a aucnn facteur commun avec sa fonction rivée 7770:"*-*". Donc les tti racines de cette équation lont diffi* E%tei entre elles.
5o4 LEÇOXfS D^ALGÊBEE.
Cts racines. étant élevées À la puissance m doivent reproduire A^ donc elles sont les mêmes que.les valeurs renfermées dans Tex* pression
Ainsi, oh est sur que ce radical a m valeurs différentes , et h proposition admise u" 241 se trouve démontrée. On peut même ajouter que si A est une quantité de la forme a-|- p V — 1 , les valeurs du radical auront aussi cette forme : car on a prouvé ( 879) quVlIe est celle de» racines de l'équation [i].
5i5« Lorsque m est un nombre comjposé, la résolution deféquation [1] se ramène à celle de plusieurs équations binômes dont les degrés sont les facteurs de m. Supposons m=:pqr: au liea de l'équation x^^' = A , on peut prendre celles-ci
xP=:a/j x'f = 3:"y x'^=:Ay
dans lesquelles x' eix" sont de nouvelles inconnues. Il est évident qu^après avoir résolu a:"^s=A, Téquatlon précédente x^9=ss^ fera connaître les valeurs de a/, et qu'ensuite réquation xf*=x' donnera toutes les racines de l'équation proposée.
Au reste , cette remarque revient à une formule déjà connue par la théorie des radicaux (^53), savoir :
V V^V^A= Va.
5 16. Désignons par a une quantité dont la puissance m est A, et posons X = «j*. L'équation\a:^ = A deviendra «"j^"» £= «", et en divisant par a'",
donc j- = V^ I , et par suite x z=aV 1 .
De là on conclut que les racines de l'équation x^=s A peuvent se former en multipliant, l'une quelconque d'entre elles par celles <le l'équation j^= i ; ou bien encore, comme au n^ T^^a, que les dlfTcrentes racines m^"*^ d'une quantité peuvent s'obtenir en mol* tipliant l'une d'elles par les racines m^'* de l'unité.
IKÇONS D*iX6BB&B. 5o5
517. Considérons pins spécialement le cas ou A est une quantité réelle, et, pour distinguer les hypothèses de A positif ou négatif, écrivons Féquation binôme comme il suit :
ar*=±:A.
On sait déterminer^ au moins par approximation , une quantité positive a telle qu'on ait û'»=A. Posons encore x=^aj' ^ Féquation ci-dessus deviendra
et c'est de celle-ci que je m'occuperai exclusivement.
5i8« On peut, sur cette équation , faire les remarques suivantes :
Lorsque m est impair et que l'équation est jr^=^\ ou • j^"*— 1=0, elle admet évidemment la racine ^=1. Elle n'a pas d'autre racine réelle; car toute autre valeur positive de^ don« neraitj^^i ou^<^i, et une valeur négative rendrait j^ négatif. Pour avoir Téquation d'où dépendent les m — i racines imaginaires, on divisera j-*—! parj»— i, et il viendra
équation qui appartient à la classe de celles qu'on nomme réci'^ croques.
Lorque m est impair et que l'équation est j''^=i^-'\ , elle a évidemment pour racine j*=k— 'i.' Des raisonnemens analogues aux précédens prouveraient que les autres racines sont imaginaires ; et on aurait l'équation dont elles dépendent en divisant ^^-4-1=0 par j*-|-i. Mais , pour avoir toutes les racines de l'équation j^'^ss — I, il est plus simple de remarquer que cette équation se déduit de l'équation y=i en changeant y en — ^J de sorte qu'il suffira de prendre toutes les racines de y^=xi avec des signes contraires.
Supposons m pair, et soit w=2rt: l'équation ^•"=«1 ou ^a» — is=:o a pour racines ^=3 -t-i etj^=3 — i. Les autres sont, imaginaires , et l'équation qui les renferme s'obtiendrait en divisant /'" — i==o par (^—1)0^+' ) ou j"'*— I } mais iH sera mieux
5oÔ LEÇOjrS p^ALGCBftlf
d'observer que y**— i=(j*— i)(y*+i), cl que par suite Téqni- ^onjr^^ — i=so peut être remplacée par ces deux autres^ qui sont plus simples,
Enfin , lorsque l'équation est j^"*=3— i ou^'*-|-i=h) , on rc- ■ marquera que les puissance paires des quantité rëcUes donnent toujours des résultats réels , et de là on condura que toutes ki racines sont imaginaires. En posant ^*axjs ^ l'équatioa s'abaisse an degré n et devient simplement 2"t=i.
5 19. Maintenant je vais développer les solutions des équations j^ — 1=0 et j^4"^==^ à^ns quelques cas particuliers.
Soit 777=32 : les équations à résoudre sont
jr*— 1=30 d'où ysssdzif ^••-1-1=30 d'où j-îlerfcv/— "!•
Soit 97iss=:3 : pour résoudre l'équation
jr^— 1=0,
on remarque d'abord qu'elle a pour racine ysssi ^ alors on la it vise par^ — i , et il vient
Donc les trois racines sont, comme on le savait déjà (^24^)1
S'il s'agit de l'équation
jrÎ4.i=o,
on observera qu'elles sont les mêmes , au signe près ^ que cella » l'équation j^^— 1=05 et en conséquence elles seront
jrsr— I, jr= , jr=i j
Soit 773?=:4 : l'équation
•e dëcompoiera en deux autres /
J^'— 1=0, jr'+isoj
et de celles-ci oii tirera les quatre racines
L^équation
se résoudra différemment. En ajoutant 2/* aux deux membres, on récrira ainsi
puis on la décomposera en deux autres,
et enfin, de celles-ci on tire les quatre valeurs dejr^
On aurait pu traiter Téquation j'^-^^issao comme équation réciproque* On aurait ^^u encore remarquer qa^elle donne jr^z=i±L^ — I , et qu'en prenant successivement -f-y/— i et — V^— I , on a
alors il n'y aurait plus qu'à ramener ces valeurs à la forme «"4"PV^ — ï > et c'est ce qui a déjà été fait n* 197,
En s'élevant aux degrés suivàns, jusqu'au 10' inclusivement , on reconnaîtra que l'équation jr^zf: 1=0 , se résout par les cas précédcns, ou par des équations réciproques qui s'abaissent à un degré moindre que le 5*. Parcourons d'abord les degrés impairs.
Si on a Féquation
mprës avoir remarqué qu'elle adniet la racinej^css i j on la divise parj"— I, etil vient
5o8 UÇOKS fi'lLGlBll.
équation réciproque qu^on abaissera au sl* degré» A cet effet on récrit d'abord sous cette forme
Alors on pose
ce qui donne j-*-| — ==iz*'^2 ; et par suite Féquation en ^ se
changera en celle-ci
— ï±V/5 ;2*+z — 1=0, dou j8= ^ —
Ces .yaleurs étant copnues , celles de j- le seront par la relation
j'A — =3 5. En effet cette relation donne
et il n^y a plus qu'à substituer, au lieu de z , successivement chtcune de ses deux valeurs, pour trouver les quatre valeurs imaginaires de^« En y joignant la valeur j^:£ i y on aura donc les cinq racines de Téquation^^— -i =3 0 , savoir :
— i+V/5^ Vi 0+21/5 .
L^équation j^7— 1=30, exigerait la résolution de l'équalioà z^+z* — 22—1 = o j et Féquation /9 — i = o , celle de l'équation z4-|-z' 3z* — 22+1=3 0.
Les équations jK^+ 1=0, j^7+i=o, jO+i=o, ontlesmêma racines que les précédentes , au signe près.
Parcourons les degrés pairs. Les équations ;^^* — i=o, y^ — is=:Oy ^" — i=o, n'offrent aucune difficulté, puisque chacune déciles le décompose en deux autres dont les racine» sont connues.
En prenant -^i au lieu de -— i , les équations analogues sont
j-"-f-I=:0, d*OÙ
Or, on connaît les yaleurs de V— i , {/ — i , y — 1 5 il n'y aurait donc plus qu'à en extraire les racines carrées par les procédés du n® 197. Mais il sera plus simple de traiter ces équations comme réciproques : car les transformés en Zy dont elles dépendent, ont leurs racines réelles et sont très -faciles à résoudre.
520. Les équations en z du 3* et du 4* degrés auxquelles conduis sent les équations y7— 1=0 et jr^ — i.*=o sont complètes, et nous donnerons plus tard des méthodes pour résoudre les équations générales de ces deux d^rés. Pour le moment^ ]e me bornerai à remarquer que ces méthodes étant connues depuis long-temps, la résolution deFéquation ^^''^^iisio Tétait aussi pour les 10 premiers degrés. Dans les degrés supérieurs on pouvait bien encore, d'après la remarque du n® 5i5, regarder comme résolus ceux dont les exposans sont desnombres composés des facteurs premiers 2, 3,5, 7. Mais^ quand on passait à Féqùation y" — 1=0, tout ce qu'on pouvait faire était de la ramener à une transformée du 5* degré, qui était complète aussi , et qu'on ne savait pas résoudre (*).
On* en était là lorsque Yandermop^db donna Texpression de la racine de cette équation j-*'— «iso, à la suite d'un beau mémoire sur la résolution générale des équations , imprimé parmi ceux de l'académie des sciences, année 177 1. Mais elle n'était présentée que comme un résultat de sa méthode générale , et elle est restée . long-temps ignorée. Elle Tétait encore en iSoi , époque où Gauss publia un procédé aussi original qu'ingénieux pour résoudre tous les cas de l'équation^'" — 1=0. Plus tard, ce procédé a encore été perfectionné par Lagbakge , et c'est dans cet auteur qu'il convient de l'étudier aujourd'hui , Résolut, des
{*) Pour la règle de M. Stu&x, on reconnaît facilement que toutes les rtcinei de cei transformées en z sont réelles*
5ro u^wa D'iLoinii.
équat» num. Nofs XTV. An reste, les ezpreations qu^il fournit pour les racines sont en général peu utiles à cause des imaginaires qui les compliquent ; et quand on yeut les obtenir sous la forme 0c-|.^y/' — I , il yaut mieux recourir à d'autres procédés^ fondés, sur les propriétés des lignes trigonométriques. Vojez ma trigonométrie, p. 100.
521. J'exposerai encore ici une propriété des racines de l'unité, qui est fort curieuse par elle-même et dont les analystes font im usage très-fréquent. . Elle a déjà été remarquée pour le 3* depf (a43) , et elle consiste en ce qu'on peutj dans chaque degré, re» produire toutes Us racines de V unité par les puissances if «le J des racines imaginaires,
Beprenons Téquation .]
et supposons d'abord que m soit un nombre premier. Soit « l'iine quelconque des racines imaginaires de cette équation , on dern ayoir a"'sssi ; par conséquent, en désignant par n ua nombre entier quelconque positif ou négatif, on aura
donc toutes les puissances de m satisfont à Téquation [a]«
Il n'en résulte pas cependant plus de m valeurs ponr^ .- car de «'"si on conclut
«'»+»=:a, a**+*=a% etc.,
c'est-à-dire qu'on n'obtient plus de nouvelle racine au-delà de a*". Il en serait encore de même. si on prenait des puissances né* gatives : car on a
««-»=a"X«-*=«i-S »'»-»=«"«Xa--'=»«-« , etc.
D'un autre côté, il sera facile de prouver que si m estai nombre premier, les m quantités i, a, »%...«•-« sontUgales. En effet , admettons pour un moment que , n et n4-r élut deux nombres moindres que m, on puisse avoir «H^=a», On en dt duirait «'^=15 donc « serait une racine commune aux deux éff^ tions 1 1
uçon B*iLGlsni. 5ii
