CHAPITRE XXI

Fonctions symétriques.

Calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation»

5a2. Il existe certaines fonctions des racines qu'on sait expri«mer d'une manière générale au moyen des coefEciens des équations j sans qu'on ait besoin pour cela de résoudre ces équations. tiCS fonctions dont il s'agit , et qui forment une classe très-étendue, sont désignées par la dénomination àe fonctions rationnelles et symétriques'^ ou, phis simplement , par celle At fonctions sy» métriques.

Elles sont dites rationnelles ^-p^rce que les racines ne doivent y entrer ni sous des radicaux ni avec des exposans fractionnaires , e^est-à-dire qu'elles n'y sont combinées que par addition , soustrictioD , mnltiplication et division ; et eUes sont dites sjmétri-

§1% USÇOVf D'iLCfcBJLE»

quc8^ parce que les racines doivent y être combinées de telle sorte

3 u-on puisse les échanger entre elles, suivant tel ordre qu'on voara, sans que la fonction change* Par exemple, les expressions

sont des fonctions de a, bj Cj tout à la fois rationnelles et symétriques. La première est entière, et la seconde. est fractionnaire. ,^ 523. Plusieurs quantités a, bj c, J, etc. étant données, si on lei arrange deux à deux de toutes les manières possibles, et que dans chaque arrangement tel'c^e ab on donne l'exposant a au premier facteur, et Texposant p au second, on aura une suite de produits de It forme a^b^ et dont la somme est évidemment une fonction symétrique des quantités a, ^, c, d^ etc. On dit en outre que cette fonction est double parce que chaque terme renferme deux de ces quantités, et on la représente d'une manière abrégée par S[a^P\, La lettre initiale S est ici employée pour désigner le mot somme. On comprend*de même ce que doivent être les fonctions symétriques triples j quadruples, etc. représentées par iS (a«éto), SÇa^ùficyd^)^ etc.

Suivant celte notation , les fonctions simples , telles qœ û«+-^«+c«-f- etc. seraient représentées par S{a^)^ mais, pour abréger davantage, on écrit ordinairement *Sa. Ainsi, on a

iSx s= a+ ^-4" c+ etc. , «y» = a'-J- ^'+ c'+ etc. ,

Ss =: «3+ 6^+ C^+ C^C. ,

etc.

La notation dont on vient de parler ne se rapporte qu'aux fonctions symétriques entières. Quand elles sont fractionnaires , on commence parles réduire au même dénominateur, et alors on a une fraction dont les deux termes sont des fonctions symétriques et entières. G est pourquoi nous n'aurons à nous occuper qnfi de ces dernières.

524. La première question à résoudre s^r'a celle-ci : Une équo'

LEGoirs d'algIsuii, Si 3

tion étant donnée^ trouverles sommes 6fi, S%^ etc* des puissances semblables et entières de ses racines.

Soit Féquation X=3=o ou

dont je désigne les m racines par a, ^, c, €/,•••• Ou a trouyé t n« 3 80 le quotient de X par x — a , et on peut avoir de même les ' quotiens de X par chacun des autres facteurs :r— «6 , a:-— c , etc. Or, en ajoutant ces m quotiens , ou sait que la eomme doit être égale au polynôme dérivé X' ou

mx-^-'+Cm— i)Paî^»+(m— 2)Qa:'»--54-(i»— 3)ILr^ . .-f-T :

il faudra donc que les mukiplicateurs des mêmes puissances de as soient égaux de part et d'autre y et de là résulte la déterminatioo des sommes demandées.

Kcprenons donc le quotient de Xpar x-

^çii.-3^3

-f-Pa'

+Pa'«-* «