Qa

+Rû'*-4

Pour avoir les autres quotiens , il suffira de changer snooessivè^ ment dans celui-ci a en by en c ^ en d y etc. Si oh les ajoute et qu'on mette 5i, «S,, S3, etc. au lien des sommes a-|-&-4"^* • • 9 'a»4-^«-J-c» . . • , a^+ô'+c^ . • • , il vient

mj:~— '-4-jSi x^

a^-'+ft

-f-mP

+P*if,

+mQ

Doncy en comparant ce vésxdtat ave^ le polynôme dérivé X', Un

doit avoir ces rdaUoni; ' e

5l4 LEÇOKS D^LGëBBE.

i5,4.mP=(m— i)P,

5,4-P5.4.mQ=(m— 2) Q ,

Sz +PiSa4.QiS<4.mR=(/7i— 3) R,

\ ou , eft simplifiant ,

i,Sx+P=o, 6'3+P5a+Q5,4- 3R= o , '

*Sf;„-,+P5«-.a4-Q»5m-3 . . . +(W— 1) T== O.

Au moyen de ces éqvations, il sera facile de calculer successivement Sx, Siy Sdy • • • et enfin <Sm— x*

Ces déterminations s'arrêtent à la somme Sm^^. 9 mais il est Catdk de s'élever aux sommes Sn j Sm^i , Sm^a 9 etc. A cet effet, observons qu'en substituant successivement a^b^ c^ . . • dans Féquation [A] y on doit avoir

a«4.Pa«-«4.Qa«-*... 4-Tû4.U=o, A«»+P6^»+Qô'»-a...+T6+U = o, etc. j

multiplions ces m égalités respectivement par a'*, b'^y etc. , pais ajoutons-les : d'après la notation adoptée , il viendra

On peut faire successivement n = o, i, 2, etc., et Ton aura-^ pour déterminer S„t^ Sm-{-i > <S>m+3 9 etc. , ces relations :

rn / '^'"+* -HP*5/a -f- QSm^i . ; . -4- TSa "4- TJSi = o ,

^^^ ^ S„^,+PS„,^x + qS^ ...+T53 + U5.=o, etc.

Dans la première de ces relations on peut remplacer le terme VS^ parmU , car iS,= û*+6*+t®4-etc.=m5 et alors on voit qu'elle est comprise dans la même loi que Ie$ équiitions [B]. Cette

LEÇOirS D*lL«ÎBlK. 5l5

rdation fera trouver S^ au moyeu des sommes Stj.St^,». S^ ^ déjà connues ; et en passant successiyement à chacune des relations suivantes , on déterminera chaque somme nouvelle au moyen de sommes déjà calculées.

Il n^est pas inutile d'observer ici que toutes les sommes £f|, ^3 iS>3 , etc. , seront exprimées en fonctions entières des coef&ciens P, Q, K, etc. Cette conséquence résulte de ce que le premier terme , dans chacune des relations [B] et [G], a Tunité pour coefficient.

Pour présenter une application numérique ^ prenons Féquatioa

ar' — 7 x-f- 7 s= o.

Dans cet exemple on a

Puisque P = o , la relation jS,+P=<>I donne 611 as o ; par suite les relations qui déterminent les sommes S^^ 3»^ ^.. Sese rc« duisent à celles-ci , -

St^O, iSf, + 2Q = 0, <S3+3R=:0y

et en substituant les valeurs de Q et de R , ou trouve facilement St=:Oj iSa=i4F «^^3== — 21 > «54=98, «^5= — 24^7 «56=833.

525 Remarque. Dans Féquation i$m4.n-4-etc. = o trouvée plus haut, n peut être un nombre négatif, et par suite cette équation peut déterminer les sommes des puissances négatives des racines. Ainsi , en faisant n= — 1 , — 2, etc. , on aura

^;„~t+P*5m-, . . . +T5. + U5f«,=30, 5^-a+P5f;„^3 . . . +T5-,4-U«5-,=o, etc.

équations qui feront connaître successiyement 5.| , S^% , etc.

Mais ;1 sera plus simple de changer x en- dansFéquadon pro-

posée [A] , et de chercher ensuite , au moyen des formules [B] et [G] , les sommes des puissances positives des racines de la transformée. Il est dair en effet que ces puissances fOUt les puissances p^atives de a , 6 , c | t

5i8 LEÇONS dVlgibae.

•implicite, mais peut-être a-t-elle le défaut de n'être point assez directe. En voici une autre, dont je suis redevable à une communication obligeante de M. Poullet-Delisle^ et qui est à Tabride ce reproche.

Les racines de Téquation donnée seront toujours représentées par tfy b^ Cf etc., et Téquation elle-même par

[A] a:«4.Pa:«-»4-Qx«-» . . . 4-U = o .

Pour obtenir la somme S(a'*) au moyen de S{a'^^*)j multiplions 5(0""*') par S{a) on — P, on aura deux espèces de termes, savoir: ceux de la forme a", et ceux de la forme a^^^b. Si on suppose n — i^i ou ii]>s, tous les termes de chaque groupe seront différens entre eux, et Ton aura

J(û»-') S {a) = S[a**) + i'Cû"-' b) ,• ,

. donc, en transposant et observant que •^(a)=— P,

[i] âf(a»)4.Pi'(a»-»)+i'(a«-'ô) = o.

Si 72 = 2, il est facile de voir que S{û*^^b)^:=^o.S{ab) = aQ , et pir suite la relation ci-dessus ferait connaître S {à*) ou ^a.

Laissons n quelconque, et pour vAiir à SXa'^-^b) multiplions S{a"'-'^) par S{ab) ou Q. On trouvera encore deux sortes de termes, les uns de la forme aP^^b^ et les autres de la forme aP^^bc : de sorte qu^on aura

J'Ca"-») S{ab) = {Sa'^-'b) + S{a''-*bc). Donc, en transposant et observant que S{ab) r= Q, il vient

et par conséquent , en substisuant dans [i] ,

[a] i'(a«)-fPJ'(a''-')+Q^(û«-»)w-j(a»-«ic)=o.

Cette relation donnera S{a^) au moyen de S{a) et SÇ^a*) : car si 71 = S , on a Sia''-'bc)=z3S{abc) = — 3R.

Soit 71^3 , on peut décomposer S^a'^^'^bc) en deax parties comme onW fait pour J(a"'-.'&); et en continuant ainsi on arrivenj

lorsque n ne surpasse point le degré m, k uti.e «quition telle quo celle-ci

[3] ^(a»)+Pi'(a»-') +Qi'(û»-*) . . .±S{a*bc...f)j

dans laquelle chaque teiwe de la somme Sia^bc.../) renferme le carré d^une racine combinée avec n — 2 autres racines. Le signe supérieur a lieu pour n impair , et le signe inférieur pour n pair. Alors il ne restera plus qu^à opérer la décomposition de cette somme. A cet effet , on multipliera S(a) par la somme S{abc.**f) des produits 72— 1 an— i des racines. Or, en efifectuant celte multiplication , tous les termes de la forme û*^c..^ seront différens entre eux^ 'mais il est évident que chaque produit de/i lettres se trouvera répété n fois; donc, en désignant par SÇabc»»Jg) la somme des produits n kn^ il viendia

S{a)S{abc..f) as S{a^bc...f)'\'nS{abc,..fg).

Nommons M et N les coefficiens de ar"^*^* et de a:"^* dans l'équation proposée : suivant que n est impair ou. pair , on sait qu'on a

5(aic.../)=î±M, S{abc..Jg):='^:^i\

donc, pour la dernière décomposition, on aura

En substituant cette yaleur dans [3], on trouvera, sans aucune ambiguité de signes,

S{ûr) + VS{a^-^) + Q^S[ar-*) . . . + fllS{a) + wN = o, ou plus simplement , en mettant 5,, iSa, etc. au lieu de iS(fl), . 5(û*),elc.

[4] 5„+P5„-.,+QSn^ar,.+M5x+nN=:o.

Quand on applique cette équation , il ne faut pas oublier que N est le coefficient du terme en j:»*-*; de sorte que si on fait successivement /i=i, 2, 3,. • . on devra prendre N=P, Q, Rv»« On trouvera ainsi les équations qui servent à déterminer lea m

sommes 5x, Sa, .••Sm»

Pou» avoir Us sommes ultérieures, un pent tocil*menl modifiée

5ao LEcoirs D^iLecns.

h fin des raisonnnemens ci-dessus de maBiëre qn^elle s^adapte à b sapposîtion de rî^m; mais le procédé qui a été suiyi n* 524^ pouf parrenir aux équations [Cj, est préférable.

\Jpplication des fonctions symétriques à la traasfotmation des

équations.

53o. Les fonctions symétriques se présentent d'elles-mêmes dans la transformation des équations, tontes les fois cpie les racines de la transformée doivent être des fonctions rationnelles des racioes de Téquation donnée.

Soient toujours a y b, c,... les racines de Féquation idonnée : pour fixer les idées, je suppose qu'il n'entre que deux de ces racines dans la composition de chaque racine de la transformée , et je re« présente par F^a^b) la fonction rationnelle qui exprime la loi de cette composition. Imaginons qu'après avoir fait tous les arrangemens deux à deux de a, b^ c*, • . • , on mette successivement dam P(ajb)y au Ifeu de a et ^ , les deux racines de chaque arrange* ment^ il est clair qu'on aurait ainsi toutes les racines de la trans* formée , savoir :

F{afb)y F(ayc)f...y F{byà)y F(bjC)j,..j etc.

Par conséquent, cette équation, décomposée en facteurs, serait

[^— /(a b)] [z—Fl^ayC)]... = o.

Ce produit ne varie pas en faisant entre a^ b; c,... tel échange qu'on voudra , car alors les facteurs ne font que se placer dans ua autre ordre : on est donc sur qu'après la multiplication , les coefficiens des différentes puissances de z seront des fonctions symétriques et rationnelles de a,b, c,... Ainsi, en se servant des procédés expliqués dans ce chapitre, on pourra exprimer ces coefficiens au moyen de ceux de la proposée.

53 1. Voici maintenant une autre manière d'employer les fonctions symétriques, qui sera souvent préférable. Elle est fondée sur cette observation très-simple que les relations [B] et [CJ trouvées n9 5i4^ entre les coefficiens d^une équation et les sonmies des puissances semblables des ra^cines, peuvent servir à découvrir les

eoefSciens de l'équation, quand ils sont inconnus , pourra qu'on connaisse ces diffërentei sommes jusqu'à celle des puissances dont l'ordre est marqué par le nombre des coei&ciens inconnus ^ o'està-dîre , par le degré de l'équalion .

En conséquence , jpour arriVer à la transformée j on déterminera d'abord à quel degré elle doit s'élever 5 ensuite , on cherchera les sommes des puissances premières, secondes, etc., de ses racines jusqu'aux puissances dont l'ordre est égal au degré de oette trans^ fbr&ée ; puis , à Faide de ces sommes, on calculera les coefBciens inconnus. Et quant à ces différentes sOmaMi^ il est manifeste qu'elles sont des fonctions symétriques des racines de la proposée, et qu'elles peuvent s'exprimer par les coefficiens de cette équation*

âSa. Comme exemple, je reprendrsi im Fimportante question d« l'équation aux carrés des différences, déjà traitée n^ 4^7*^^^^*^^^' tîons symétriques en donnent la solution la plus simple et la plus élégante dont elle soit susceptible. La question est celle-ci :

2iouuer Vexation dont hè racines 9ont^les carrés des différences de celles d*une équation donnée

[A] :t«-4-Pa?'«^»+Q«'«-»...'s30.

Représentons Féquation cherchée par .

Les m racines de [A] étant a, h, c,.*, celles de [B] seront

(a— ^)', {a — c)*, (a — tf)*,..., (è— c)*, (3 — ^•,..., {c — ^),—, etc.

Le nombre de ces carrés est évidemiAent celui des combinaisons deux à deux qu'on peut faire avec les m quantités a^ b y c , etc. ^ donc le degré de Féquation cherchée sera

Les coefficiéds/7, ^, fy,.. seront faciles à trouver quand on connaîtra les sommes des puissances semblables et entières des racines de l'équation [B], depuis la somme des premières puissances jusqu'à celle des puissances /!«'**•. Désignons donc par^i, ^, /s, etc. ces nouvelles sommesy et cherchons la valeur générale dey^, « étant un noinbre quelconque, entier et positif.

5%^ LEÇONS D^ALGEBRB.

Les racines de celle équalion sont les carrés {a — &)', etc., rapportés plus haut; donc en les élevant à la puissance a , on a

/«aa(a— *)»«+. (a— c)'a+(a—rf)««...-f(*—0**+ etc.

Pour trouver cette somme , considérons Texpression

^(x)=(a:— o)»«+(j:— *)*«+(a:— c)*«+elc.,

qui comprend les m binômes x — a^x^^b^x — c, etc. Si oa y fait successivement x^=iaj bj .c, elc, et qu'on ajoute les /it résultats , il vient évidemment

2/; = (p(a)4- <p{Jb) + (p{c) 4- etc.

Or 9 si on développe les puissances qui composent çipc) , on troofe

+ etc.,

ou plus simplement, en se servant de la notation S^j «9i, etc.,

20( i2tf ^"1^

(p(a:)=:wa:««— 2a5xa:»«-»-| ^^ ^S^x""^*. . .+5a«;

donc, en substituant successivement â, &,€!,••• au lieu de x^ f^ ajoutant les résultais , il viendra

!2/*a = w5aa -^2»iynJaa^x 1' 6'aiSa«— »• • .-l-7?;iSaa.

Dans le second membre , il est aisé de reconnaître que les termes à égale distancis des extrêmes sont égaux ; par conséquent , en s'ar* rètant au terme du milieu, et ne prenant que la moitié de ce terme, on aura la valeur générale dey^, savoir :

r o COI ^^C^*"**!) o c(