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LKçont d'algèbei*. Sa3

Comme les signes sont alternativement -f- et — , il n^y aura jamais d^incertitude sur le dernier»

Yoici maintenant les opérations qui sont à effectuer > 1^ On calculera les sommes Sty Sa^ Si^ ».. jusqu'à 8%^ par les relations connues

5x4-P=o, 5fa+P5,4-îiQ=o, etcj

2,0 Dans la formule qui exprime^, on fera successivement «= I , a , 3 , • • • jusqu'à n , et on aura ainsi , pour déterminer les n sommes y*i»yi , . • ./nj

fi=^mS^ — SiS^^ yi =m*S4 —4*^,53 -f-35a«ya , etc.

3<* Enfin les relations qui existent entre ces n sommes et les n coefficiens p^ q^r^ •• • donneront les valeurs de ces coefficiens^ savoir :

533. Une marche tout-à-fait analogue à celle qu'on a suivie pour trouver Fëquation aux carrés des différences peut encore être employée dans un grand nombre de cas , et notamment dans ceux où les racines de la transformée devraient être des puissances semblables et entières de la différence , de la somme, du produit ou du quotient de deux racines quelconques de l'équation donnée.

Par exemple, supposons , que chaque nouvelle racine soit la puissance k de la somme a^^ù àe deux racines de l'équation [A]. En posant n=::im{m — i)^ la transformée devra être 'de la forme

[CJ z'*-l-/^^'*"~*+^^'*~* • • • +/«+" ^Oj

et si on fait

^«s=(^7+';)*«4.(û+c)*« . • . +. (i+c)*«+etc. ,

le calcul se réduira à exprimer y^ par une foimule générale. A cet effet, on prendra la fonction

dont le développement est

Qr 5i., STaDt le deTeloppemeot, on mibedtiie dans 9 (a?) Tcment a, 6, c, . . . au liea de x, la sommedes résnltals B^atm égth I :iJ'x'-{'2,^^Siay par saîte il est aisé d^aperceroir «ja'en fidfant la mêmes opérations sur le développement, on aura

et enfin de là on tire la formule cherchée

Lorsque Aa sera pair , on s'arrêlera au terme qui cendenl S avec deux indices égaux, et on n'en prendra que la moitié , msîs lorsque it« sera impair > on s'arrêtera an tenfto dans lequel les deux indices êonl^ka — 1) et tC^^-H*)* ®^ ^^ ^^ prendra toal entier.

EUmination par les fonctions symétriques, Vegré de P équation finak* 534* Soienl^les deux équations

[i] ar^ + Px^-'+Qx^-' + R^»^*^' •.• = 0,

[2] a^ 4. Fa:"-» +Q'x"-» -f R'x»-^ . . . = o ,

dans lesquelles P , Q, etc. , P, Q^^ • . • sont des fonctions dejr. Si on pouvait résoudre la première par rapport à a: , on en déduirait m valeurs a^ ùj Cj . • , qui seraient fonctions de jr , et tf les substituant dans la seconde , il viendrait, pour déterminer kl valeurs dej* , 772 équations délivrées de x , savoir :

a"+Pû'»-«4-Q'a«-»4-R'û«-3 . . . =0 ,

PI < c»4-P'c''--» + Q'c»-»4-R'c«--3...=o,

etc.

Mais, en général, la résolution de Téquation [i] est impossible} et la question est de trouver une équation finale qui renferme iadistinctement toutes les valeurs de j*.

On aura une équation qui remplira cette condition en multipliant entré -elles les m équations [3] : car la résultante ^era satisfaite par

I fibaque valeur àejr tirée de Fune d'elles y-et elle ne peut pai Tétre I antrement. Or , il évident que les facteurs de cette résultante ne font que changer de place | quelque permutation qu'on opèi€ entre les quantités a, bfCf etc.; le produit ne renfermera donc que des fonctions symétriques , entières et rationnelles y de ces quantités; par conséquent on pourra les exprimer au moyen des coefficiensde Féquation [i], et de cette manière on aura l'équation finale en j^«

Ce procédé d'élimination conduit en général à des calculs très* prolixes ; mais en le considérant sous un point de Tue purement analytique , il est le seul qui fasse trouver l'équation finale avec tontes les racines qu'elle doit renfermer /et sans complication de racines étrangères.

535. Ce procédé a surtout l'avantage de conduire à un tliéovème général sur le degré de l'équation finale. Dans ce qui vient d^étre dit , la prenlière équation est du degré m , la seconde est du dc^gré n; et P, Q, etc. y V , Qf y etc., sont des fonctions quelconques dejr ; mais, pour le théorème dont il s'agit, ces fonctions dcÂTcnt être, comme au n? ^oSy des polynômes tels que la somme des exposans de j? et àejr soit au plus égale à m dans chaque terme de l'équation [i], et au plus ^le à n dans chs^que terme de l'équation [a]. Alors nous avons à examiner à quel degré j- peut s^élever dans les fonctions symétriques qui composent le produit dee équations [3J.

Qiaque terme de ce produit est lui-même le produit de m termes pris respectivement dans ces m équations , de sorte qu'en désignant ces termes par Yâ«, Y'ùfiy YV/, • • • le terme du produit sera

YY'Y". . . X û«w^y. . •

Mais le produit des m équations étant symétrique par rappert aux quantités a^by Cy • • • , on doit y trouver tous les termes de même forme qu'on peut faire avec ces quantités : par conséquent , on est sûr qu'il renferme tous les termes représentés par

[4] XX'X'...'X,S{a^bP(ff...)y

et il faut évaluer le degré de cette expression. Or, d'apfès les luppositions , le degré de jr m^ au plm ^al à

526 LBGONS D^lLaÈlEI.

7î — a dans Y, à n — p dans Y', à n — y dans Y", etc. J donc dans YY'Y*'. • . il sera au plus égal à m/i— ^ — ?— 'y- • • • D'un antre cÀté , si on se reporte (524) ^^^ relations d'où se tirent les sommei Sty S 9, Si y etc. , on voit que P étant au plus du i**" degré en/, Q du 2*, R du 3*, etc. , le degré de ^ dans ces sommes ne doit point surpasser Findice de la lettre i9; et scmblablement , sien « reporte (526) aux formules qui expriment les fonctions doubles, triples, etc., on reconnaît encore, que dans SCa^bfic'/ • • •) le degré de j* ne doit point surpasser «-|-P"H^' • • • Donc, dans Texprcssîon [4] , le degré de jr sera au plus égal à mn. La même chose peut se dire de toutes les fonctions symétriques dont la soisme compose le produit des m équations [3]; donc enfin V équation fi' nale ne peut point être d'un degré supérieur à mn.

La démonstration semble exiger queFéquation [i] renferme k terme x^. Mais on peut supposer qu'il y ait eu d'abord de?ant af^ unr coefficient A , indépendant de j^, et qu'o\i ait diyisé tonte Féquation par A. Alors, Féquation finale en y devant subsister. quel que soit A, on pourra y faire A = o, et il est clair que cette supposition ne saurait en élever le degré. Du reste, il faut entendre le théorème en ce sens, que Félimination entre deuit équations g^ nérales, Fune du degré m et Fautre du degré n, doit donner nœ équation finale du degré mn^ mais que dans des cas particolies 1 ^ ce degré peut devenir moindre. Iré|,

Les deux équations a:— ^""sso, a:"-}-^''-l*^j'4-c=o , qaoiqMléi|||j très-simples, donneront véritablement une équation finale dutfe- 1 . gré mn : car en substituant dans la seconde la valeur de :t: , tirée 1 de la première, il vient j''""-|-^'*-4-^-|-c=o. I

Au contraire , en éliminant x entre les équations x^^-y^^^ ^n-|-^j«'»-j-^j--J-c= o , on aurait une équation finale de deg» moindre que m/z, savoir : j^-f-^y^"l"^"l"^ = ®*

536. ^n étendant le théorème à un nombre quelconque Si' quations, on aura le théorème général du à Bezout, et dontoii déjà rapporté Fénoncc n* 4^4> savoir : que sij entre des équaM^ en nombre pareil à celui des inconnues ^ on élimine toutes les * connues hors une , le degré de V équation finale dei^ra être toi au plus égal au produit des degrés de ces équations .

Avant Bjszout , le théorème était connu pour le cai de detf

tcrxi] In

)ooi ttab kot

Iquatîoiis seulement; et Gramcb, dans un appendice de son Introroduction à Vanaîjrse des lignes courbes , en avait donne une lémoustration fort simple qui , au fond, ne diffère point de :elle que nous ayons exposée. Il était à désirer que la même dénonstration fût appliquée à tous les autres cas, et c*cst ce qu^a 'ait M. Poisson dans un Mémoire qui est imprimé parmi ceux du SLl* cahier du Journal de TEcole Polytechnique , et que M. La* 2ROIX a aussi inséré dans le Complément de ses élémens d'algèbre ' sn raccompagnant de tous les développemens nécessaires.