CHAPITRE XXII

Résolution des équations générales du 3* et du

4* degré.

Résolution de Véquation du 3« déféré.

"537. Je supposerai qu'on ail fait disparaître le second terme de «équation du 3'' degré,- et, pour éviter les fractions, j'écrirai cette ^nation sous la forme

II] a:^+3pa:4-^"=o»

Tarrni les différentes manières de la résoudre , la plus simple insiste à foimer à priori une équation du 3* degré sans second ^^me, laquelle admette une raciue connue , mais exprimée avec ^s indéterminées, et à se servir ensuite de ces indéterminées c^ur rendre cette équation identique avec la proposée [1]. Pour ^^lir cette identité , il faudra poser deux égalités , et pa{ ce ^ctif on emploiera deux indéterminées.

Soit fait xs^a-^b : en élevant au cube , on aura x^:=ia}'\^b^ V^Zab{a'\^h) ; puis, en remplaçant â-|-6 par j» et transposant, il î^nt

[a] x^ — Zabx-^al — i!=o,

Sa8 uami dalgbbbi.

équation qai admet la raciae xsso-l-i, e| qu'il CuiC xendfe idcntiqae a?ec [i]. £ii AonséquencCy on posera

[3] ab=i—pf û^-f43=— ay.

La première de ces égalités don^e a^^= — p». Ainsi, on connut la somme a'+ft' et le produit a^^. Donc les valean de a* et ù^ sont les racines d'une équation du 2* d^ré, dans laqadk le coefficient du second terme est ^al à -t"^^» et le dernier tenae ^al à — /?' ; de sorte que celte équadon sera, en appelant z fiaconnne,

Cest elle qu'on nomme la réduite de Féquation [i].

Ses deux racines représentent les Talenrs de a} et b^ ; et d'ailleurs en peut indifféremment prendre Tune ou Tautre pour la nleur de a^, car cela revient à changer a en 6 et ^ en a dans la nleur jçz=za'^^6.3e prendrai

aî c= - q+Vq'+p^, i» = — ^— ^/j.+^îj et par suite il viendra

Chaque radical carré n'a ici qu'une sede valeur, mais ducoB des radicaux cubiques en a trois. Si on pouvait satisfaire aux équations [3] sans faire aucun choix entre ces valeurs , on pournît aussi, par les mêmes valeurs, rendre l'équation [i] identique i l'équation [2] ^ et puisque a-^b est racine de la seconde , on devrait satisfaire à la première en prenapt

Mais une remarque importante se présente d'elle-même : tfdi y; que chaqne radical cubrque ayant trois valeurs , il s'ensuit qnt l'expression ci-desâiùs en a neuf, tandis que l'équation [i] ne doit avoir que trois racmes. Il faut donc expliquer d'où vient oeCIl multiplicité de valeurs, et discerner parmi elles celles qui sont t^ H ritablement racines de Féquation [i]. |yi1^

LEÇONS D^ALaicBllK. S^q

A cet effet, observons qu'à proprement parler oe ne sont pas les équations [3] qui ont été résolues pour aroir a et b^ mais bien les équations

Or, si on représente par « et «* les deux racines cubiques imaginaires de Tunitéy lesquelles, comme on sait, sont le carré l'une de l'autre (52 1), il estdairque Féquation a?b^=: — p^ peut proyenir également de Félévation au cube de chacune de celles-ci

fl^ = — /?, ab=z — ap, aùssz — a'/;.

Se là il suit qite les neuf valeurs renfermées dans la formule [4] doivent donner les racines des trois équations

X6] x^-\'ipX'\-2q=o, x^+3/7«:r+;22'=o, a:^4"3/?a*a:-4-2y=ro.

On peut encore considérer ces neuf valeurs oomme les racines de Féquation du g^ degré qu^on obtiendrait en multipliant entre elles les trois équations ci-dessus. Mais il sera plus simple, et cela 'revient au même, d'éleyer au cube Tune quelconque de ces équations, après avoir transposé dans le second membre le terme qui contient p. De cette manière on^trouvera sur-le-cbamp

Quant aux racines qui se rapportent spécialement à chacune des trois équations, ce qui précède donne le moyen de les distinguer : car, selon que le coefficient de x sera/? ou up ou «*/?, il est clair qu'on ne devra ajouter que les valeurs de a et b pour lesquelles on a ab=^ — p ou ab^='^eip ou ab=^ — a'/^.

Par cette règle , il sera facile de former les racines de la proposée a:^+3^^+22'=o, la seule dont nous ayons à nous occuper. Désignons par A une des valeurs du premier radical cubique , et par B une des valeurs du second, les valeurs de a et ^ seront

a=A, «tA, rt'A,

6=;B, aB, «'B.

t>e plus supposons, ce qui est permis, que A et B représentent des ^«leurs dont le produit soit — />. D'après ce qui vient d'être dit,

53o Li6«!f« d'alsèbie*

on ne devra ajouter qae les valeurs dont le produit est AB; donc, en se rappelant que a^ ss i, il faudra prendre

X=aA+B, x=:i»A+c*B, xssa*A + «B; etd'aillcnrs on sait (5ig) qu*on a

„ = > ■ artss

Si on remplace A et B par les deux radicaux cubiques, et «| t' par leurs valeurs, il viendra

Telles seront les racines de Féquation proposée : mais il faadn bien avoir soin d'attacher aux deux radicaux cubiques le même sens restreint qu'à A et à B^ sans quoi Ton pourrait trouvera fausses racines.

538. Pour discuter ces valeurs il sera plus commode d*j laisser subsister A et B au lieu des radicaux cubiques , et d'isoler ce qui multiplie V^— -3. De cette manière, on a

Je supposerai aussi, comme on le fait ordinairement, que Ui €oej£ciens p et g de Fëquation proposée représentent des qaaiitités réelles. Alors, cette équation étant de degré impair, > toujours une racine réelle, et il est permis de supposer que A et B sont les valeurs de a et de 6 qui donnent cette racine; de sorte que A-4-li sera une quantité réelle.

Gela posé, rtporions-nous aux deux radicaux

UMOM D'iUÎElU: 53 1

Si 9*+/''^^9 chacun d*eax a une Taleur réelle; donc on peut supposer A et B réels. Par suite, A-4*B et A— B le seront aussi; donc la première racine x=sA*)-B est réelle , et les denx. autres sont imaginaires»

Si ^'-4"/^^=^} ^^ anra A=B, et alors les trois racines sont a:=A,a:=— A, a: = — A. Elles sont toutes trois réelles , et les deux dernières sont égales entre elles.

Enfin soit q^'\rP^<Cp j^^ qui exige que p soit négatif. Alors a et b n'ont nias de détermination réelle , et par conséquent les trois valeurs de x se trouyent compliquées d'imaginaires. Cependant où sait que l'une d'elles doit toujours être réelle; et même il est éyident que les cas où les trois racines de l'équation [i] sont réelles et inégales ne peuvent se trouver que dans l'hypoth^ ac« tuelle q^-^-p^^Cp. On aurait donc tort d'affirmer que les valeurs de X sont imaginaires. Je vais prouver en effet qu'aucune d'elles ne l'est ; et comme on peut toujours supposer que A et B sont des déterminations telles que la somme A-f-B représente la racine réelle dont l'existence est démontrée , tout se réduiUÀ faire voir

que la partie -(A — V)V — 3, qui se trouve dans les deux autres valeurs de x , doit être réelle.

Parles seules règles du calcul on a (A — B)(A*4*AB-(«B') = A^ — B^; donc