A»+AB+B* (A+B/ — AB
Mais, à cause dés valeurs de a' et de A^, on a A'— B^=2l/^*-f-/?'"; et , par la manière dont A et B ont été choisis^ on a AB ss-^p ; donc y en faisant A -f" B =s a:^; il vient
et par conséquent
53a ufavi u'ài^kwaiM»
Or, par hypothèse, on a q* -4-/?^ <o ^ donc la quantité ci-denu est réelle ; donc les trois valeurs de x le sont aussi.
Il est démontré par là que , dans Thypothëse q* 4-/'^<!o i les imaginaires qui affectent les trois yaleurs de x doivent se détruire î et par conséquent il semble que le calcul doive fournir les moyens de les faire disparaître. Cependant il n'en est point ainsi ^ et, à moins de recourir à des séries non terminées , l'algèbre ne peut point opérer cette réduction. C'est cette raison qui a fait donner le nom de cas irréductible à celui que nous examinons. Tontes les fob que Féquation tombera dans ce cas , les expressions générales des racines ne seront d'aucune utilité pour calculer les valeun numériques de ces racines , et alors on pourra recourir aux procédés du chapitre XYIII. On trouvera aussi dans la trigonométrie une solution fort simple de Féquation du 3* d^é, non-seulement pour le cas irréductible , mais encore pour tous les autres.
53g. Au reste, quand on connaît une racine réelle :i/ , il est facile d'avoir les deux autres racines. On le voit d'abord par la valeur je A— B, trouvée ci-dessus^' car au moyen de cette valeur on a évidemment
Mais on le volt aussi en divisant Féquation proposée par x — j/. Pour le faire plus commodément, on observe qu'on doit avoir a/3|.3^jr'J|-2^=o et que par suite l'équation proposée peut
s'écrire ainsi
jfî — x*^'\^3p{x — xf)=o.
Donc, en divisant par a: — a/, on aura
a:*+ x:r'+ a/'-f- 3/; = o , x^-^W—y—^ijxf^+p).
Yoici maintenant com ment on reconnaît que ces valeurs s'ac^ cordent avec les précédentes. Remarquons d'abord que
UflOtl D*ALGkBU. 533
D^un autre côte, la relation x^'-f-^/'^+^J^o donnt donc enfin
Résolution de f équation du 4* degré,
540. Aprè« avoir fait disparaître le second terme, réqnation générale du 4* degré est
Soit posé X =: a -)~^ '^c i tn élevant au carré ^ il vient ^ jr'=a'+i*+c'4"^ (ûtô+tfc+^c), ou, en transposant ,
Élevons de nouveau au carré, on trouve x^— 2(a'4-J*+c')a:'4" (û*4-A^+c')» =4(a«4«+a>c*+^'c»)4-8a*c(^74-5-l-c). Puis, remplaçons a-^£-4-c par X et transposons, on obtient *
Cette équation est sans second terme, et, parla manière même dont on Ta formée , on sait qu^ell.e admet pour racine :r=:::a-|-&-4-c. Ainsi, on résoudra Téquation [i] en déterminant a , 6, c, par la condition qu'elle soit identique avec la précédente , ce qui donne
Ces égalités font voir qii*en prenant a',/;*,c", pour inconnues, ces trois quantités sont 1^ racifief d'une équation du 3* degré dont les coefficiens sont
534 UIÇOM D^ALaElftS.
par ooméquent cette équation est
et telle est la réduite d'où dépend la résolution de l'équation [1]. Supposons qu'on ait déteiminé les trois valeurs de z y et dcsignons-les par z'^ z'j z*, on aura
Si on combinait les signes de toutes les manières , on aurait hait valeurs pour o-fr^-f-c ou x. Mais comme le dernier terme de U réduite [2] a été formé en élevant au carré l'équation abcz=s — j^, il en résulte que ces valeurs renferment et les racines de la proposée y et aussi celles de l'équation qui en différerait par lé signe de q.
En même temps on voit que pour avoir seulement les racines de la proposée, il faut najouter que les valeurs de a, &, c , pour lesquelles on aa£c=: — ^q^ etdont le produit est par conséquent de signe contraire à q. Dans chaque cas particulier , il sera facile de déterminer pour les radicaux trois valeurs A, B, G , qui remplissent cette condition; et ensuite avec ces* valeurs on fo/mera les quafrc racines de la proposée, savoir :
Le plus souvent I au lieu de A , B, C, on met les trois radicaux V z'y V^j — V z'y et les valeurs de x s'écrivent ainsi :
Mais alors il faut sous-entendre qu'en appliquant ces formules ^ des cas particuliers, on prendra pour Vzy V z" ei Vz"'^ trois déterminations dont le produit soit de même signe que q. Cette observation est importante : car , faute d'y avoir égard, on pourrait trouver de fausses racii\es.
Uifoiis D^iiouiB. 535
54 1 • Par la nature des racmes de k réduite [n], on peut oonnaltre la nature de celles delà proposée [i]. Or la réduite, ayant son dernier terme négatif| a toujours une racine positire, et le produit des deux autres racines doit être positif^ donc, si ces dernières ne sont pas imaginaires, ellesseronttôutés deux positires ou toutes deux négatives. Je laisse de cÀté les cas où Ton aurait q=o, parce qu'alors la proposée se résout directement par le second degré. En conséquence, trois cas seulement sont à examiner.
1 • Cas ou les trois racines de la réduite sont positives» Alors \tÈ quatre valeurs iéx sont évidemment réelles, et si Ton regarde les radicaux Vjs',Vz",Vz^, comme représentant des déterminations positives , leur produit sera positif 3 donc les formules précédentes seront spécialement applicables à lliypothèse de q'^o. Pour q<CPy il faudrait changer le signe de Tun des radicaux.
a* Cas oà la réduite aune racine positive 2^ et deux racmes négatives z*, z"'. Le radical V7 sera réel , mais les radicaux Vz" et Vif seront imaginaires, tt par suite les quatre Taleuff de x seront imaginaires, à moins qu'on n'ait z'ssz*.
Quand z'*=:z*, l'une des deux quantitésV^?+ V^et Vz*— */? deviendra zéro^ et en supposant que ce soit la dernière, les valeurs de X seront simplement
Les deux premières sont réelles, puisque %' est positif^ et les deux autres sont imaginaires, puisque z" est négatif. D'ailleurs , comi|ie dans la réduction on a supposé VU? saV^?, on doit avoir ici V^JV?V^z^=»z* V?5 de sorte que ce produit ne pourra avoir le signe de q qu'en choisissant pour V z un signe contraire à q.
3» Cas oh la réduite a une racine positii^ x' </ deux racines imaginaires xf ^ «'. La racine positive «' étant connue, on pourra diviser la réduite par z^^z' ^ et l'on aura une équation du !i* degré qui donnera, pour x' et x*| des valeurs imaginaires de la fonne
:/-l^vcr7,
S36 UfMl t>^4X«kMIK'
Jhui dtê taleurA de x renfermeront donc Texpresnon
et les deux autres renfermeront celle-ci Mais^ par des formules connues (sSg), on a
et il faut, ainsi qu'on la remarqué au n° cité, associer les déterminations des deux radicaux x/f-^-g V — i et Vf — gV — i ^t telle sorte que leur . produit ait le même signe que V[/^+^*. Supposons donc qu'on prenne Vj^-^'g* positivement , on dtyra choisir pour Vz' une détermination de même signe queji Avec cette attention les quatre valeurs de x poiirront s'écnii comme il suit :
X=^V7 ±L\/!lf+lVf* + g%
x^ V7±:\^^f-^Vf'+g^. Deux de ces valeurs sont réelles , et deux sont imaginaires.
Réduction des expressions de la forme V^±V^ Equation dont îet
racines sont représentées par la formule x— k A-f- y^B-H V A — |/ ^
542* La résolution des équations du y degré conduit à des
expressions qui renferment des radicaux tels que V^A±\/B, et par extension on peut considérer des radicaux de la forme plo*
générale VA±\/B, Or, il arrive fréquemment que A et B sont des nombres rationnels , et alors on peut se proposer de rédoirt ces radicaux k des expressiojB^ plus simples, dans lesquelles il a'7
ait plus de radicatit suptrpos^. Celte queslioh a déjli été résolue pour les radicaux carrés, et il s'agit main tenani d'atteindre à des cas plus élevés.
Je commencerai par le radical cubique V^A-|- yB. On ne peut pas supposer pour cette racine une quantité de la forme \/a + \/lf : car on a
{ya + yb)^=aYa + iayb + U\/a+b\/h
résultat qui contient les deux radicaux y a et \/6. Mais le caleul
même qu'on vient de faire montre qu'on trouvera un résultat de
la foune À 4-V^B en élevant au cube les etptessîons d-{-^& , et s ... :
(tf -4" V^^)V^^« Je choisirai cette dernière comme plus générale, et jeposerai.
En élevant au cube ^ il vient d'abord
A + v/B = c{a^+3ab) + c(3a*+b)\/b;
pmBy ea galant les partlfts ratioMelles cnlfe elles , et lés parties itratloxitienes entre elles,
[a] A==»cia^+iab)j .[3] VB«=c(3a»+4)»/**
La^'quéstion est donc maintenant de trouver pour a, b^ c, des valeurs rationnelles qui satisfassent à ces deux équations. Or, en élevant ces équations au carré, et en les f elraiicbant ensuite l'une de l'autre , on a
A«— B = cV— 3a4é + 3a»^« — é»5)=c'(a' — *)*; ionc
t^ldfque a ^ b doiveal èlre rationnels^ il iaodra prendre à de macère que (A^— B}t soit un cube entier ou fraolionBaîfè^ ot qui
538 IMOm l>*ALeB»M.
est toujours possible* Alors , eu nommaut M le second membn d-dessus, on aura
a«— ô=aM, d'où 6=û»— Mj et y en substituant dans Féquation [2], il Tiendra [4] 4ca*-'3Mca— À=:o.
Cette équation devra donner pour a au moins une yaleur conmensurable , sans quoi la transformation [ij sera impossible.
Si, au lieu de V^A+V/B, on avait VA — y/B à réduire, il suffirait de changer partout , dans ce qui précède , le signe de ^b»
Pour exemple y soit rexpression V^i4±V^^oo« On aurt A=:ti49 B=3 2oo, A*— B=a— 4? donc(A*— B)c=»— 4cjdonc on aura le cube —^8 en prenant cas a. Par suite on a Ms— if
b = a*-4- ï > c* Féquation [4] devient 6a^ 4" 6^— 1 4 = **• ®" 7 satisfait par la valeur commensurable a =a i , ce qui donne b ?=aa* D'ailleurs on a déjà c=a 2^ donc enfin
Vi4it:V/2oo =3 (i ±1/2) V^2.
Soit encore l'expression V^— 11 di 2 v^ — i. On fera panera sous le radical carré, et l'on aura Ass-^i i^ B 1 4f A* BmisS.
Gomme i25 est déjà le cube de 5, il suffit de faire c sa i. En
conséquence on a M^aS/^^a*^ — 5, et l'équation [4] deriesl
4^'— i5a-4-ii =3 0. Or elle est satisfaite par a =51^ donc
b as—- 4 1 ^^ P^^ ^^^
K — ii±:2V/— i = (i±v/— 4)V^ï»
54 3. Maintenant y considérons l'expression plus génénb
Va±: v^B, et posons
[5] VI±yB:=:[a±i\/b)\/c.
La question est encore de déterminer des nombres rationnels potf a^ bj Cy si cela est possible.
En élevant à la puissance n et galant séparément les padii rationpelles , il vient
LBG0V8 D'ALaSBlS. SSg
1 A=c[a»H i a»-»*4- -i — ^^T-i — ^«•-♦i'+ et.cj,
ipenmity comme pour le cas du radical cubique, ëlerer ces deux ilités au carré et les retrancher Tune de Fautre , mau les rédue- (ns s'apercoiyent mieux par le calcul suivant. Gomme on doit oir en même temps
A+l/B = c(a + V/*)"i A -VB = cia ^y/hf , tire de là , d'abord ,
lis, par des réductions facfles, on trouve
•U Q» — ^as
r^ là on voit qu^il faut choisir c de telle sorte que le second ïipbre ci-dessus soit rationnel. En le nommant M, on aura
a^^h^VL^ d'oà &=a«— M;
I en tobstituant cette valeur de b dans [6], l'équation résultante 1 a devra avoir une racine commensurable , toutes les fois que transformation [5] sera possible.
544* Dans la résolution des équations du 3* degré , ce qui rend cas irréductible si remarquable ^ c'est qu'alor», quoiqu'on soit Uré que les trois racines sont réeUes, il est cependant imposte de faire disparaître les imaginaires autrement que par la e des séries. Cette difficulté n*est point propre uniquement an legré : elle se rencontre également dans la formule générale
8] x= V^Â+b7^4- V^A— BV/— I,
laquelle je vais m^arrèter nn moment.
l considérer cette expression dans toute sa généralité, on
540 LlÇONi D^ALCilHI.
devrait combiner les n déterminations de VA-|>^fiV/*— i iiTecM
71 déterminations de Va — By — i; de sorte qu'il y aurait a tout n* valeurs ponr x. Mais elle se prend rarement daîis un MÉ aussi étendu , et je vais préciser celui qu'on 7 attaché ordinai» ment.
Comme les deux radicaux réprésentent des racines d*éqniidôii binftmes, on est sûr que leurs détertninations sont ^les à des qoiBtités de la forme /-f-^\/ — 1 (379)5 de plus , il est m&nîfésteqil|i| chaque détermination da premier radical , il en correspond une.li second, laquelle n'est dififérente que par le signe de ^— i.Qti on suppose que ces valeurs correspondantes sont celles quidoindl s'ajouter dans la formule [8J ; et avec cette restrittion les Taleno de X sont toutes réelles et an nombre de n seulement.
Le produit de ces deux valeurs radicales, ainsi prises daikm| même couple , est réel et positif. Or, le produit des deux radie
étant en général V^A»+B* ne çeut àyoït qu'une seule valeoril cette espèce; par conséquetit, en la nommant K*. onpooni encore caractériser les valeurs conjuguées , qui doivent être ajM* tées, par la condition que leur produit soit égal à K*.
la formule [8] peut être regardée comme l*€ipresnon géààik des racines d'une équation dont le clegré est inarqué par lé noiibre de valeurs dont cette expression est Sttséeptible 5 par coniiquent , suivant qu'elle sera prise dans sa plus grande exteiuioi ou avec la restriction dont on vient de parle^, le degré de ïéipt tion doit être n* ou n.
545« Cette dernière remarque nous conduit à expliquer conwwt on formé une équation lorsqu'on connaît l'expression de saraciM C'est-à-dire qu'une expression donnée étant susceptible de prcfr* dre différentes valeurs, à raison du sens multiple des radicM qu'elle contient| il faut trouver une équation débarrassée de niSr cauxy qui ait ces valeurs pour^racines. Je prendrai pour exenfb l'expression [8] elle-même.
Pourabrégér^ faisons
LB||OS| B'ALfittM. S4l
t la question reviendra à éliminer j* et z enivre les trois équa-
-Mais ici Félimination |Mttt être dirigée d'après un procédé fort ianple, aualogue à celui qui a été employé pour les équations réiproques. Par les règles de la multiplication on a
\ty^%^=iX etj^ZrrrV^aZ^^'donçen faisant encorey pour abréger, y a =3 c, il Tiendra
Lu Bioyen de cette formule on pourra exprimer, en fonction de x p de Cy suGcesayement toutes les quantités j-*-{- z*, X^'\' ^^j etc. l^iUind on s^ra parvenu à ^"^"'"9 ^^ pourra remplacer j^-f-^'* P^^ i-(-Ay et alors on aura l'équation cherchée, laquelle sera de àt^
;ré ''r n n
flette équation contient c : or, on a c^=^ ab = V^A^+B* j
tdnc ç est en général susceptible de n valeurs différentes. En
nettantdans Féquation chacune de ces n valeurs à son touc, on aura
t écjoations, et par suite nXn ou n* valeurs de x. G*est en effet ce
nii doit être, d'après ce qui a été dit à la fin du n* précédent.
M on Tonlait avoir une équation unique qui eût toutes ces valeurs
pour racines , il resterait encore à éliminer c entre Féquation du
Aegrë n en :r et Féquation c^ssab.
Mais si dans la formule [8] on ne veut associer que les valeurs
ftdicales dont le produit est réel, alors ce sera uniquement cette
valeur réelle qu'il faudra chobir pour c, et on n'aura plus qu'une
fteule équation du degré n pour déterminer toutes tes valeurs
dé X,
S4a LlflOHI d'aLMBU.
