a* . a3 . b . c . c* . cP

Or, 5,9 = 45; multiplier 45 par a3, puis le produit par a3, revient à multiplier 45 par le produit effectué de a* par a3, c’està-dire par a3 ( Arithmétique , 30); donc déjà 5. 9. a*. o3 .‘b = 45a’è. On verra de même que le produit de ce monome par c, puis par c\ est 45 a’èc3, de sorte qu’on a enfin

5 a'bc X .9 o3c!d* = 45a‘êc6d3.

Comme on peut appliquer les raisonnements qui précèdent à tels monomes que l’on voudra, on en conclut que pour faire le • produit de plusieurs monomes, il faut multiplier leurs coefficients entre eux, et écrire à la suite de ce produit toutes les lettres différentes des facteurs, en donnant à chaque lettre qui est commune à plusieurs d'entre eux un exposant égal à la somme de ceux dont elle y est affectée, et en conservant leurs exposants aux lettres qui n'entrent que dans l'un des facteurs.

Exemple. — 5 a’ècX -f-9aV!d,X — 2 a i’cV = -|- 90a* è We* .

41 . Passons maintenant à la multiplication des polynômes, et supposons d’abord que le multiplicande 6eul étant une quantité complexe, — c, par exemple, on veuille le multiplier par le monome positif d. 11 pourra se présenter trois cas, selon que d représentera un nombre entier, un nombre fractionnaire, ou une quantité incommensurable.

l°Si d est un nombre entier, le produit dea-f-ft — e par d sera la somme de d quantités égales à a 4- b — e, de sorte qu’en faisant la réduction des termes semblables , on trouvera pour résultat ad -} -bd — cd.

2° Si d est une fraction — : il s’agira de prendre une partie du

multiplicande marquée par cette fraction, et, pour cela, de diviser ce multiplicande par », puis de multiplier le quotient trouvé par m ( Arithmétique , 110}. Or, le quotient de la division de a -f- i — e par » est^ -f- ^ — c-, car, si on multiplie ce

polynôme par», on retrouvera, d'après ce qui précède (41, 1”), le dividende a-\-b — c\ donc le produit demandé sera

a , b c m , , m m , . nt . • ■/>,

— .m = a. — \-b . c. — (/4r«<A.,2oet 116),

c’est-à-dire ad -f- bd — cd.

3” Supposons que d représente une quantité incommensurable; soit d' une quantité commensurable variable qui peut

DBS OPÉRATIONS DK L ALOÊBRK.

approcher derf d’aussi près que l’on voudra. On aura, d’après ce que nous venons de démontrer,

(a-\-b — c)d'=ad' -j- b(T — cd',

et cette égalité subsistera toujours lorsque d1 tendra à devenir égal à d. Or, lorsque deux quantités variables restent constamment égales entre elles, dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent, leurs limites sont égales (Arith., 257) : mais la limite du produit (a-f-è — cjr/' est (a -f- 6 — c)d ; celle de la quantité ad' -f- bd' — cd’ est évidemment ad 4 -bd — cd; donc

(a+6 — c)d—ad-\-bd — cd.

Concluons donc que pour multiplier un polynôme par un monôme positif, il faut multiplier successivement chaque terme du multiplicande par le multiplicateur, en affectant chaque produit partiel du signe -j- ou du signe — , selon que ses facteurs auront des signes semblables ou différents, c’est-à-dire en se conformant aux règles données pour la multiplication des monomes (36 et 40).

42. Si le multiplicateur était un monome négatif — d, les raisonnements qui nous ont conduit à la règle précédente n’auraient plus de sens : mais nous observerons que, d’après la définition de la multiplication algébrique (56), un produit ne fait que changer de signe, lorsque l’on change le signe de l’un de ses facteurs; on multipliera donc a-\-b — c par le monome positif -j- d , et on changera ensuite le signe du produit ad + bd — cd, ce qui se fera évidemment en changeant les signes de tous 6es termes ; donc

— é)X( — d)= — ad — bd-\-cd.

Or, c’est précisément là le résultat auquel conduirait l’application de notre règle ; donc elle est générale.

43. Considérons maintenant le cas où le multiplicateur est aussi un polynôme, et soit, par exemple, a — b à multiplier par c — ({.Supposons que l’on ait effectué les opérations indiquées

dans le multiplicateur, et désignons par P sa valeur : le produit demandé sera donc équivalent à

(a — 6)P==aP — èP (4i et 42)=Pa — P b.

En remplaçant P par c — d , ce qui est permis, on aura (a — b) (c — d ) = (c — d)a — (c — d)b;

mais (c—d)a= ac — ad, (c— d)b=bc— bd; donc, en appliquant la règle de la soustraction (55), il viendra

(a — b)(c — d) — ac — ad — bc-\-bd—ac — bc — ad -f- bd.

Or, ac — bc est le produit de (a — b) par c, — ad + èd est le produit de ce môme multiplicande par — d : donc pour multiplier deux polynômes entre eux , on multipliera le multiplicande successivement par chaque terme du multiplicateur (40 et 4i), et on fera la somme des produits partiels.

44. Schoue. Si l’on suppose que a, b, c, d, étant quatre quantités positives, on ait de plus a > 6 etc >d, les raisonnements que nous avons faits aux numéros 41 et 45, prouvent rigoureusement, en s’appuyant uniquement sur la définition que l’on donne de la multiplication dans l'arithmétique, que (a — b) ( c — d) = ac — bc — ad -f- bd.

Nous allons maintenant examiner quelles conventions il faut faire pour rendre cette formule applicable à toutes les hypothèses que l’on pourrait faire sur a, b, c, d, et, pour abréger, nous supposerons que ces quantités soient positives, car, si elles ne l’étaient pas, il n’y aurait qu’à mettre leurs signes en évidence.

Soit d’abord a<6 et e<d. 11 suit immédiatement de là que ac<bc, que ad<èd, et que par conséquent (ac — bc) et (ad— bd) sont des quantités négatives ; mais parce que c< d, la valeur absolue de la première est plus petite que celle de la seconde, car ces valeurs absolues sont celles des deux produits ( b—a)c et (b — a)d; donc la différence (ac—bc)—(ad—bd), c’est-à-dire ac—bc—ad-\-bd , est une quantité positive. Or, (a—b)e t (c— d) sont au contraire des quantités négatives; donc , pour que la règle du n° 45 puisse s’appliquer au cas

actuel, il faut convenir que le produit de deux quantités négatives est positif.

Si de même on suppose a<6 et e>d, ou n>6 et c<d, on reconnaîtra que le produit de deux quantités affectées de signes contraires doit être regardé comme négatif.

Ainsi se trouve justifiéela modification que nousavons faitsubir à la définition de la multiplication arithmétique, pour l’étendre à tous les cas de la multiplication desquantités algébriques.

43. Lorsqu’une lettre entre à différentes puissances dans le multiplicande et dans le multiplicateur, on ordonne ces facteurs , c’est-à-dire que l’on dispose leurs termes suivant l’ordre de grandeur des exposants de cette lettre, que l’on nomme la lettre ordonnatrice ou principale *. Alors les produits partiels du multiplicande par chaque terme du multiplicateur seront aussi ordonnés (39), de sorte que si l’on écrit ces divers produits partiels les uns au-dessous des autres, de manière que le premier terme de chacun soit placé sous le terme qui renferme la lettre ordonnatrice à la même puissance que lui , dans le produit précédent, tous les termes de ces produits partiels seront rangés dans une même ligne verticale , sous ceux qui sont du même degré qu’eux, par rapport à la lettre principale (on suppose qu'il y a une différence d’une unité entre les exposants de la lettre ordonnatrice dans deux termes consécutifs quelconques du multiplicande : s'il n’en était pas ainsi , on laisserait vide dans ce multiplicande et dans les produits partiels la place des termes qui y manqueraient), ce qui facilitera les réductions.

4G. Exemple. Multiplier 3 a'-r1 — 5ax* — 2a‘ -f par

— 3a! -f- 3 a'x3 — !ta*x*. J’ordonne par rapport aux puissances descendantes de x , et comme la première puissance de cette lettre n’entre pas dans le multiplicande, nous laisserons vide la

* Si , par exemple , on veut ordonner suivant les puissances décroissantes d'une certaine lettre x, on écrira d'abord le terme où x a le plus grand exposant , puis celui de tous les termes restants où x a le plus grand exposant, et ainsi de suite.

DBS OPÉRATIONS DE L’aLCÈBRB.

place du terme qui devrait contenir cette puissance, si le polynôme était complet. Nous disposerons en conséquence les calculs de la manière suivante :

Multiplicande \x‘ — 5o*> + SaW — ?a<

Multiplicateur... 3o!xi — 5 aV— 3as

Produit par 3o!x> 12a1!’— ISaaar‘+ Ro'x4 — SaV

Produit par —Wx1... — 20aV+2So‘*s — lSa1*4 +I0o'i2

Produit par — 3as. . . . — lîa4x'+ iSafjr>— Sa’x’+Sd*

Produit total J2a!x5— JSaV+aAa**»— 370*0*+ 8a‘x»+ a:ü>+6a»

Le premier terme — 20 a5#* du second produit partiel étant semblable au second terme du produit précédent , on l’a écrit sous ce terme ; de même le premier terme — 12n‘jc‘ du troisième produit partiel a été placé sous le terme — 15«V auquel il est semblable dans le second produit partiel. Enfin on a obtenu le produit total en faisant la réduction de . tous les termes situés dans une même colonne. Ainsi on a dit : — 15ûV — 20aax6 donnent — 35 «Ac*, etc.

47. Les deux polynômes que nous venons de multiplier sont dits homogènes parce que la somme des exposants , dans chaque terme, est constante. Comme cette somme est 4 dans le premier et 5 dans le second , on dit que le multiplicande est un polynôme du quatrième degré , et que le multiplicateur est du cinquième. Il est évident que leur produit doit aussi être homogène , et que son degré est la somme des degrés de ses facteurs. Si donc on trouvait que le produit de deux polynômes homogènes n’est pas homogène , ce serait un signe certain que ce produit est fautif, et il faudrait en conséquence recommencer la multiplication. Cette remarque est importante.

48. S’il y a dans l’un des facteurs plusieurs termes où la lettre par rapport à laquelle on veut ordonner entre à la même puissance , il faudra d’abord mettre chaque puissance de cette lettre en facteur commun des quantités qu’elle multiplie, ordonner le polynôme résultant par rapport à cette lettre et faire ensuite la multiplication.