Pour mettre une puissance d’une certaine lettre en fac
leur commun (les quantités qu'elle multiplie, on écrit entre parenthèses les termes dont il s’arjit , abstraction faite de cette puissance, et on écrit celte même puissance hors des parenthèses; ou mieux encore on dispose les termes ainsi préparés dans une colonne, en les séparant, par un trait vertical, de la puissance qu'on y a supprimée. Ainsi le trinôme — 8«’6V-{~10aô1xt-{-2«Jô,z* pourra être écrit de l’une ou de l’autre des deux manières suivantes: , * •
(2 a’è — 8 a’é1 + 1 Oa63>z‘ ou 2 a3b
La quantité placée ainsi entre parenthèses ou dans une ligne verticale , et que l’on a d’ailleurs soin d’ordonner par rapport à l’une des lettres qui y entrent , doit être considérée comme un simple coefficient.
oO. Exemple. Multiplier a* — b*x— 3b,x'-{-3ab,x— 26‘-f-2a’xI par — 6aô*:r-|-26*-|-3a\r*-j-a* — 2b!>x-\-Zb'lx>. En ordonnant ces polynômes par rapport à x , on disposera les calculs comme cidessous.
Multiplicande
j*+ 3ab’
Multiplicateur
x2— Gab’
Produit par 3a’ |x’
Ga'
+ 2a*bî
— Cl>*
+ Gab*
— Ga’b*
Produit par — Gab’lx
x’ — Ga’b’
+ I8ab*
+ I2ab*
+ Gb»
Produit par a1
+ Gab*
— Gb*
Produit total
— ôa’b’
+2iab‘
+ 18ab*
On a été conduit à effectuer les neuf multiplications partielles qui suivent :
(2a*— 3&,)(3a,+2&'), (3a6*— If) (3a*+2Pj , (a*— 26l) (3a'-f 26*) ; (2a1— 36*) (—Gab'—îlé) , (3 aV—V) (— 6aé*— 2&ï),
(a*— 2i*)(— 6aè*— 2ôs);
(2a* — 36*) (a*-j-2é*), (3a6»— é*)(a‘— 2ô‘), (a*— 2é*)(a‘+2fr‘).
SI . En appliquant les règles de la multiplication à la formation du carré de (a ±6) et à celle du produit de (a-f-è) par (a — b) , on trouvera :
(a+ô)*=a‘+2aè+ b\
(a — b)t=a' — 2 aô -}-&*,
En comparant chacun de ces produits avec ses facteurs, on en conclut les théorèmes suivants :
1° Le carré de la somme de deux quantités est égal à la somme des carrés de ces quantités augmentée de leur double produit.
Exemplb. (2a’x — Zaix^f= 4aV— 1 2a*x3 -f 9 a‘x*.
2“ Le carré de la différence de deux quantités est égal à la somme des carrés de ces quantités diminuée de leur double produit. Exemple, (ôa'x*— 3a,x»)*=25a*x*— 30a*x* -f9a"x*.
3° Le produit de la somme de deux quantités multipliée par leur différence, est égal à la différence des carrés de ces quantités. ’ .
Exemple.
(5a' x? — 3a’xJ-f- 4a*x — 2a*) (5 a’x* — 3a*x* — 4a*x -f- 2a*].
Ce produit revient à
j (5a' x* — 3a*x*)-{-(4a‘x — 2a*)( . j(5 a'x* — 3 a’x*) — (4a‘x-f-2a“) j, en vertu de la règle du n° 53, et est en conséquence égal à
32. Puisque pour multiplier un polynôme par un autre polynôme, il faut multiplier chaque terme du multiplicande successivement par tous ceux du multiplicateur (43), on voit que le carré d’un polynôme renfermera : 1° les carrés de ses différents termes ; 2° le produit de chaque terme par tous les autres. Mais ces derniers produits sont évidemment tous égaux deux à deux, car le produit du 3' terme par le 7% par exemple, est identique avec celui du 7* par le 3* : on peut donc dire que le carré d'un polynôme se compose des carrés de ses différents termes et du double de la somme des produits qu'on obtient en multipliant chacun d'eux par tous ceux qui le suivent.
Exe.m ple . (2 x* — 3 ax} -\-4a'x — 2a1)* = 4x* -f- 9 a’x* -}- 1 6 a'x* -f- 4a" — 12axt-|- 16a’xk — 8a*xs — 24asxJ-f- 12alx’ — 16«,x=4xf — llax1- f- 25a’x‘ — 32a*xs -f 28a‘x* — l6asx -(- 4a,!.
