CHAPITRE XI

389. Supposons que l’on veuille trouver une valeur approchée d'une quantité a, qui ne peut pas être exprimée par un nombre entier. La voie la plus naturelle est de chercher le plus grand nombre entier a , qui soit contenu dans a , de sorte que a sera une valeur de a exacte à moins d’une unité, a se compose donc de a et d’une quantité moindre que l’unité, que l'on

pourra représenter par p étant ainsi plus grand que 1. On aura donc

On pourra de même chercher le plus grand nombre entier b qui soit contenu dans p, de sorte que la différence ? — b étant

moindre que l’unité, on pourra la représenter par -, y étant ainsi > 1 , et on aura en conséquence

p = ô-}--, et partant « = a-

En opérant sur y comme nous l’avons fait sur a et sur p, et en continuant ainsi , on parviendra à une expression de « qui sera de la forme suivante

d -J- etc.

Or on comprend qu’en opérant , comme nous venons de l’indiquer, on épuisera peu à peu la valeur de a, et qu’en conséquence plus on prendra de termes dans l’expression ci-dessus.

DSS FRACTIONS CONTENUES. '• 291

plus on approchera do la vraie valeur de a. 11 ne restera donc plus qu’à convertir en fractions ordinaires les expressions

« + 1, «+- « + - ï > elc. [2],

pour obtenir une suite de quantités qui seront convergentes vers la quantité cherchée. Au reste nous démontrerons bientôt celte convergence d’une manière rigoureuse,

390. L’expression de a que nous venons d’obtenir se nomme une fraction continue. Ainsi une fraction continue est une expression composée d’un nombre entier, qui peut être nul, plus d’une fraction qui a pour numérateur l'unité et pour dénominateur un nombre entier , augmenté d'une fraction qui a pour numérateur l’unité et pour dénominateur un novibre entier, augmenté d'une fraction.... ettrinsi de suite.