fx-fx'-fx4-}- etc

Ces deux séries sont, comme les deux précédentes, très-convergentes, lorsque a; est très-petit.

Enfin , nous verrons plus loin comment la théorie des dérivées peut fournir le développement de diverses fonctions. Mais nous allons de suite exposer une méthode générale pour développer une fonction algébrique en série dont les termes procèdent suivant les puissances croissantes de la variable.

PftO'j(IESSK)NS ET SÉRIES.

58B. Soit, par exemple, la fonction tl,,c

nous nous proposons de développer en une série de la forme

A + Bx + Cx*+Dx* + Ex‘+ etc., A, B, C.D, E, etc.,

étant des coefficients à déterminer. Nous poserons en conséquence

i^±^ = A + fo + Cx- + D^+EI'+...:,

d’où , en chassant le dénominateur, effectuant les opérations et transposant : - '

0 = Aa' -j- Ba'

* + Ca'

j*+ Ea' |

+ Bè'

+ Cè'

-j-Àc’

, + Bc'

“|“ Ccf

Or , celte équation doit avoir lieu , quelque valeur que l'on donne à x ; ce qui exige que tous les coefficients soient identiquement nuis (580*). On égalera donc tous les coefficients à zéro, ce qui donnera les équations de condition :

Ba' -j- A6' — ù = 0 , .

• * Cn'-f Bù'-f AC— c?=0,

Déf-f C4'+Bc'=0\

La première fera connaître A en fonction de a et de a’. La seconde servira à déterminer B , la troisième C , et ainsi de suite. ,

* On pourrait dire aussi : l’équation devant être vérifiée quelque valeur que l’on donne à x, faisons *=0; j’en conclus que le tçrme Aa'— a = 0; supprimons ce terme et divisons l’équalion par x\ la nouvelle équation aura pour terme indépendant de la variable B<r -f- Al/ — b, et devra encore êlre salislaile quel que soit x ; d’où l’on conclura comme précédemment en faisant * = 0, que Ba' -f Ab'— b=0. Ou arrivera ainsi à égaler successivement tous les coefficients à zéro.

PROGRESSIONS BT SERIES.

En appliquant, par exemple, cette méthode au développe-

ment de l’expression — j — — — s, on posera :

- = A-f-Bx-j-Cx’-f Dx* -{-•••• etc.,

d’où

xs .

etc.

le développement cherché est donc;

1 i-; i = 1 — X -f X* — X* -f- x* — i’-f-*' — xw 4-

que l’on peut mettre aussi sous la forme :