On nomme fractions intégrantes les fractions j
et quotients incomplets le nombre entier a et leurs dénominateurs b, c, d..,.
392. On appelle réduite ou fraction convergente la fraction ordinaire équivalente à une portion quelconque de la fraction continue prise à partir de son origine. Ainsi a et les fractions ordinaires équivalentes aux expressions [2] , sont les réduites successives de la fraction continue [1].
393. Ces définitions établies, appliquons la méthode que nous avons exposée au n° 389 au développement d’une quantité commensurable en fraction continue. Cette quantité n’étant
pas entière sera une expression fractionnaire de la forme 4 ,
A et B désignant deux nombres entiers.
Il est évident que le plus grand nombre entier, qui soit .
contenu dans-^j est le quotient de la division de A par B. En
nommant a le quotient et C le reste de cette division , on aura A , C , 1
en divisant par C les deux termes de la fraotion g, afin de
réduire son numérateur à l'unité.
Pour avoir de même la valeur entière approchée de la quàn-
tité g, on divisera B par C, et en appelant b le quotient et D le reste de cette division, on trouvera
= partant g=a
On divisera maintenant C par D, puis D par le reste E de cette division, et ainsi de suite. Mais on voit, sans aller plus loin, que
les opérations qu’exige la réduction de g en fraction continue
sont précisément celles qu’on doit effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur de A et de B : donc on arrivera tôt ou lard à ufle division qui se fera exacteincn! ; alors l'opération sera terminée. Si donc cette dernière division est celle de C par D et qu’elle ait donné o pour quotient, on aura
Il suit de la que, pour développer une fraction ordinaire en traction continue, il faudra chercher le plus grand commun diviseur de ses deux termes, en divisant d'abord le numérateur par le dénominateur. Le premier quotient sera la partie entière de lu fraction continue, et les suivants, pris dans l'ordre où on tes aura obtenus, seront les dénominateurs des fractions intégrantes successives.
Exemple. Réduire — — en fraction continue.
ainsi ^ =
Il n'y a pas de partie entière, car le quotient de la division de 271 par 608 est zéro.
/ 594. Cette méthode peut servir aussi à réduire en fraction continue toute quantité dont on a la valeur en décimales. Mais si cette valeur en fraction décimale n’est qu’approchée, on augmentera ou on diminuera le dernier chiffre décimal d'une unité, suivant que cette fraction sera fautive par défaut ou par excès, afin d’avoir deux limites entre lesquelles soit comprise la vraie valeur de la quantité proposée ; puis on réduira chacune de ces deux limites en fraction continue, en opérant simultanément sur toutes les deux, jusqu’à ce que l’on arrive à deux quotients différents, et on n’admettra dans la fraction continue, comme dénominateurs des fractions intégrantes, que les quotients qui seront communs aux deux opérations. Supposons, eu effet,' que a: soit une quantité comprise entre deux autres y et -, et qu’en développant y, z el x en fractions continues, on ait • trouvé les valeurs suivantes
V=a + -„ y' = b + -„, y”—c + ^, etc.;
z== a-\-~,, s'=.ô-f-p, 3"=c-j- — , etc.;
•r x' —b' x"—c'-\- etc
Puisque la valeur de x est comprise entre celles de y et de s.
et que y et s ont la même partie entière, il faut nécessairement
queo’=a, et que p se trouve entre y et p, et partant que
x' soit renfermée entre les limites y' et s'. On conclura de là , par le même raisonnement que tout à l'heure, que b' — b , et que x?' sera comprise entre y" et ce qui conduira encore à conclure que c'=cr' è t ainsi de 6Uite, de sorte que tous les quotients incomplets qui seront communs aux deux premières fractions continues appartiendront également à la troisième.
Exemple. La valeur du rapport de la circonférence au diamètre estn=3 3,1415926 à moins d’un dix-millionième et par défaut: on forcera donc l’unité sur le dernier chiffre , ce qui donnera 3,1415927, puis on cherchera le plus grand commun diviseur#' entre 31415926 et 10000000, et entre 31415927 et 10000000.
à la cinquième division , on trouve que le chiffre des centaines du quotient est 2 d’une part et 3 de l’autre, de sorte que l’opération s'arrête là. L’expression de « en fraction continue est donc
1+etc.
'f* 59i>. Après avoir ainsi expliqué le moyen de convertir une quantité donnée en fraction continue, nous allons nous occuper du problème inverse, en cherchant à revenir d'une frac- . tion continue à la quantité dont elle exprime le développement.
DBS FRACTIONS CONTINUAS.
Soit donc la fraction continue
La première réduite est La deuxième est
*-f-etc.
a ou
pj
La troisième ayant a -1 pour développement , on voit
qu’elle se déduit de la deuxième en changeant dans celle-ci b - ]
en b -f- - ; donc elle est équivalente à
a(èc c (aè+ l)c -fa
1 “ bc + 1 bc + 1
(on a multiplié les deux termes de la première expression par e, • et on a mis ensuite c en facteur commun). On reconnaît ainsi que la troisième fraction convergente se forme en multipliant les deux termes de la deuxième par le quotient incomplet correspondant à cette troisième, et en ajoutant respectivement aux deux termes de la fraction ainsi obtenue, ceux de la première.
On verrait de même que la quatrième se déduit de la troisième et de la deuxième d’après la même loi , et l’analogie porte à penser qu’il en est de même de la cinquième è l’égard de la quatrième et de la troisième, et ainsi de suite.
Pour nous assurer que cette loi est générale, nous allons supposer qu’elle soit vraie pour trois réduites consécutives de rang
296 • DES FiUCTIOMS CONTINUES.
quelconque et vérifier qu’elle aura encore lieu pour la suivante
à l’égard des deux précédentes.
Soient donc et §, quatre réduites consécutives quel-
conques, et r et s les quotients incomplets correspondants aux deux dernières. Supposons que la fraction p, se déduise des
deux précédentes en multipliant les deux termes de ^ par r et
en ajoutant les deux termes de p aux deux termes de la fraction résultante, de sorte que l’on ait identiquement
R Qr + P
R' yv+p'*
i et - étant respectivement les deux dernières fractions inté-
* R g "vrroT
grantes de p, et de gr, on voit que celle-ci se déduit de l’autre
en y remplaçant r par r -f -i donc on aura S Q(r+l) + P Ofra+D-fP* (Qr+Pis+Q R*+Q
S’- y'(r,+1)+P's fQV+P'^+Q' R'i+Q*’
Ainsi % se déduit de ^ et de ^ d’après la même loi qui a
servi à déduire^, de et de Puis donc que cette loi a été u y i
vérifiée pourja troisième réduite à l’égard delà deuxième et de la première, elle se trouve démontrée pour la quatrième à l’égard de la troisième et de la deuxième; partant pour la cinquième à l'égard des deux précédentes, et ainsi de suite; donc elle est générale. Donc
Pour former yne réduite quelconque, multiplies , par le quotient incomplet correspondant , les deux termes de la réduite
précédente , et ajoutez respectivement aux deux termes de la fraction résultante les deux termes de la réduite antéprécé dente.
On rendra celte règle, applicable à la formation de la deuxième
réduite, en faisant précéder la première de^ oudej, selon que
cette première est plus grande ou plus petite que l’unité.
Appliquons cette règle à la formation des réduites de la frac tion continue que nous avons calculée au n° 30?. Comme
la première réduite - est moindre que 1 , nous la ferons pré-
céder de -, et nous trouverons successivement
306. Nous voyons par là que quand une fraction continue est composée d'un nombre fini de fractions intégrantes , elle est le développement d'une quantité commensurable, puisque la dernière réduite est égale à la quantité génératrice.
Par conséquent le développement en fraction continue d'une quantité incommensurable se compose d'un nombre infini de fractions intégrantes, saus quoi, on n’aurait qu’à former toutes les réduites, et on obtiendrait une quantité commensurable pour valeur de la fraction continue totale.*^
307. Théorème I. Le numérateur de la différence entre deux réduites consécutives de rang quelconque est + 1 ou — 1 , suivant que celle dont on retranche est de rang pair ou de rang impair , et le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces deux fractions convergentes. On regardera , d’ailleurs, la première réduite comme étant zéro, lorsqu'il n’y aura pas de variie entière dans la fraction continue.
DBS fRACTlOSS CONTINUES.
ques, et r te quotient incomplet qui correspond à la troisième,
de sorte que
R Qr-fP
R' Q'r + P' dtiite de la suivante, on trouvera
(395). Si l’on retranche chaque ré-
Q P QP'<— PQ' R Q Qr-fP Q PQ — QP' .
q. p<— > R'^Q'-QV+P' Q'“ Q'R' ’
d’où l’on voit que les numérateurs de deux différences consécutives sont égaux et de signes contraires, et que le dénominateur de chacune est le produit des dénominateurs des deux réduites que l’on a considérées. Or, 6i l’on soustrait la première
réduite a de la seconde a -fi, la différence de ces deux ré-
duites sera -fri donc le numérateur de la différence entre la
deuxième et la troisième réduites sera — 1; celui de la différence entre la troisième et la quatrième sera -f 1 , et ainsi de suite. Notre théorème est donc démontré, pourvu qu’on regarde la première réduite comme étant zéro , lorsqu’il n’y a pas de partie entière dans la fraction continue.
390. Théorème II. Les diverses fractions convergentes sont des fractions irréductibles.
Soient en effet p et ~ deux réduites consécutives quelconques, on aura (597)
^ QP'-PQ'^±l;
mais si Q et Q' avaient un facteur commun , ce facteur devrait diviser le premier membre de cette égalité, et par conséquent le deuxième, ce qui ne se peut pas; donc la réduite quelconque
est irréductible.
399. Corollaire. Pour réduire une fraction ordinaire à sa ■ plus simple expression , il faut la développer en fraction continue, et former ensuite toutes les réduites. La dernière sera la fraction irréductible demandée. Soit, par exemple, la fraction
on la réduira en fraction continue, ce qui donnera celle
que nous avons obtenue au n° 395; puis on formera les ré-
duites, et on trouvera — pour la dernière (593).
400. Théorème III. La fraction continue totale est plus grande que toute réduite de rang impair et plus petite que toute réduite de rang pair. .
Soient p , p trois fractions convergentes consécutives de
rang quelconque, et r le quotient incomplet correspondant à la troisième, de sorte que (593)
R Qr+P
ÏT “~ (Fr+P
Or, i étant la dernière fraction intégrante de p, si on se reporte à l’expression de la fraction continue [3], on voit que l’on obtiendra la valeur x de cette fraction continue, en changeant r
r-j — dans de sorte que si l’on représente cette
1 s-f-etc. R
en
quantité r -
s -f- etc.
par y, on aura .. . Qÿ + P
Si maintenant on prend la différence entre x et ÿ>, il viendra
Q Qy+P Q PQ'— QP' u 1
x Q'“Q’y+P' Q'~Q'(Q 'y+P') Q'(Q'y-ff')’ ,
car PQ' — QP' est le numérateur de la différence p — et vaut
par conséquent -fl ou — -1, suivant que ^ est une réduite de
rang impair ou de rang pair. Ainsi x — q, sera >0 ou <0, c’est-à-dire que x sera > —, ou selon que cette réduite
300 UES FRACTIONS tONTINCIS.
sera de rang impair ou de rang pair. Notre théorème est donc démontré.
401. H suit de là que la valeur de la fraction continue totale est comprise entre deux réduites consécutives de rangs quelconques. Si donc on prend une réduite quelconque â pour valeur
de la fraction continue, l’erreur que l’on commettra sera raoin-
dre que la différence , qui existe entre cette réduite et la R ’
suivante^. Donc
L'erreur commise, en prenant une réduite quelconque pour la valeur de la fraction continue totale , est moindre que l’unité divisée par le produit du dénominateur de celte réduite multiplié par celui de la suivante.
402. Si l’on observe que R' étant égal à Q’r P' (398), vaut au moins Q' -f- P', on en conclura que
gTr<W+p~v de sortequc C5]-
D’un autre côté y qui représènte r-
— ----- est une quantité s ~j“ etc.
moindre que r-fl , de sorte que Q'y-(-P'<Q'(r-t-l)+P'=;R'-{-Q’;
donc Q'iQ'y+F) 681 p,us grand que qwW/ donc
Q^QÏQ'+R')
11 résulte des inégalités [5] et [6] que Quand on prend une fraction convergente pour valeur de la fraction continue totale, l’erreur que l’on commet est moindre que l 'unité divisée par le produit de son dénominateur multiplié par la somme faite de ce dénominateur et de celui de la réduite précédente; et qu’ elle est plus grande que V unité divisée par le produit du dénominateur de la réduite, que ion considère multiplié par la somme faite de ce dénominateur et de celui de la fraction convergente qui suit.
DE» FtUCTtONS COXTIM'ES.
